高等數(shù)學(xué)（下）教學(xué)-d(3)

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九節(jié)歐拉方程 歐拉方程歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(為常數(shù)kp,tex 令常系數(shù)線性微分方程xtln即 第七章 歐拉方程的算子解法歐拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令則xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222計算繁! tyyxddtytyyxdddd222 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,ln xt 則,ddtD 記則由上述計算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddkt

2、DkkkyDD) 1(用歸納法可證 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是歐拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 則,ddtD 記則原方程化為ttyyDyDD222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr則對應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeCY221機動

3、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的通解為41ln21ln212221xxxCxCy4121212221tteCeCytt換回原變量, 得原方程通解為設(shè)特解:CtBtAy2代入確定系數(shù), 得4121212tty機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 將方程化為xyyxyx22 (歐拉方程) ,ddtD 記則方程化為,tex 令teyDDD2)1) 1(即teyDD2) 12(2特征根:, 121 rr設(shè)特解:,2 tetAy 代入 解得 A = 1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

4、例例3.滿足設(shè)函數(shù))(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由題設(shè)得定解問題xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtD 記則化為teyDDD54) 1(teyD5)4(2特征根: ,2ir設(shè)特解: ,teAy代入得 A1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得通解為tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始條件得21, 121CC故所求特解為xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu