高等數學D7_3-5齊次方程

1、齊次方程 第三節(jié) 第七章 一、齊次方程一、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當 C = 0 時, y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數 )

2、0C此處例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說明說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 為任意常數)求解過程中丟失了. x由光的反射定律:可得 OMA = OAM = 例例3. 探照燈的聚光鏡面是一張旋轉曲面, 它的形狀由)0()(:yxfyL解解: 將光源所在點取作坐標原點, 并設入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求

3、, 在其旋轉軸 (x 軸)上一點O處發(fā)出的一切光線，從而 AO = OMOPAP xOy 坐標面上的一條曲線 L 繞 x 軸旋轉而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx yO經它反射后都與旋轉軸平行. 求曲線 L 的方程.21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2積分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉拋物面.于是方程化為(齊次方程) yxAO頂到底的距離為 h ,hdC82說明說明:)(222CxCy2,2dyhCx則將這時

4、旋轉曲面方程為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達式得)0,(2C整理課件一階線性微分方程 第四節(jié) 第七章 整理課件一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPCyd)(e稱為齊次方程齊次方程 ;整理課件xxPCyd)(e對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數變

5、易法常數變易法:,e)()()(xxPxuxyd則xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得整理課件例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數變易法常數變易法求特解.,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23)

6、1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(令整理課件在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例例2. 有一電路如圖所示, ,sintEEm電動勢為電阻 R 和電. )(tiLERQ解解: 列方程 .已知經過電阻 R 的電壓降為R i 經過 L的電壓降為tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律:其中電源求電流感 L 都是常量,整理課件解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始條件: 00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)

7、cossin(222ttLRdedC利用一階線性方程解的公式可得LERQ整理課件tLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRL因此所求電流函數為解的意義: LERQ整理課件),(yxfy 可降階高階微分方程 第五節(jié))()(xfyn),(yyfy 第七章 整理課件一、一、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個任意

8、常數的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 整理課件例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC整理課件tFO,00tx例例2. 質量為 m 的質點受力F 的作用沿 Ox 軸作直線運動,在開始時刻,)0(0FF隨著時間的增大 , 此力 F 均勻地減直到 t = T 時 F(T) = 0 . 如果開始時質點在原點, 解解: 據題意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時設力 F 僅是時間 t 的函數: F = F (t) .

9、 小,求質點的運動規(guī)律. 初速度為0, 且對方程兩邊積分, 得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT整理課件120)2(ddCTttmFtx利用初始條件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求質點運動規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx整理課件),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設, )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、整理課件例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3

10、0 xy解解: ),(xpy 設,py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為整理課件例例4. 繩索僅受重力作用而下垂,解解: 取坐標系如圖. 考察最低點 A 到sg( : 密度, s :弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHTsa1tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 設有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線

11、? 任意點M ( x, y ) 弧段的受力情況: T A 點受水平張力 HM 點受切向張力T兩式相除得HAyxO整理課件211yya , aOA 設則得定解問題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有axysh兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為axaych)ee(2axaxa懸懸 鏈鏈 線線a21pMsgTHAyxO整理課件三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程

12、化為),(ddpyfypp設其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy整理課件例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCCy1e2解解:),(ypy 設xpydd 則xyypddddyppdd整理課件M : 地球質量m : 物體質量例例6. 靜止開始落向地面, (不計空氣阻力). 解解: 如圖所示選取坐標系. 則有定解問題:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv設tvtydddd22則tyyvdddd

13、yvvdd代入方程得,dd2yyMkvv積分得122CyMkv一個離地面很高的物體, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面時的速度和所需時間整理課件122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2兩端積分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有l(wèi)ylyylMkltarccos22lylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”號號整理課件由于 y = R 時,gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y = R )時的速度和所需時間分別為lRlRRlglRtRyarccos212lRlRgvRy)(222

14、ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO整理課件內容小結內容小結1. 一階線性方程一階線性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 先解齊次方程先解齊次方程 , 再用常數變易法再用常數變易法.方法方法2 用通解公式用通解公式( ) d( ) de( )edP xxP xxyQ xxC整理課件內容小結內容小結可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 則整理課件思考與練習思考與練習1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說, 用前者方便些. 均可. 有時用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?答答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數計算簡便.(2) 遇到開平方時, 要根據題意確定正負號.整理課件作業(yè)作業(yè)P309 2 (2);P315 1 (3), (6); 2 (5);P323 1