等腰直角三角形的全等問題

1、等腰直角三角形中的全等問題在證明三角形全等時(shí)，我們常常遇到圖形中有等腰直角三角形，由于等腰直角三角形有一組直角邊相等, 恰恰可以為我們證明三角形全等提供必要的條件，現(xiàn)舉幾例說明。2、已知：在等腰直角 ABC中， / BAC=90 , AB=AC,過點(diǎn)A作直線FG,過點(diǎn)B做BD，F(xiàn)G于D,過點(diǎn)C 做 CE，F(xiàn)G 于 E,求證：DE=BD-CE分析：題中有幾個(gè)直角，往往可以得到許多角互余，所以有一些角相等，題中有AB=AC ,我們可以得到 AB與AC所在的三角形（ ABD與ACAE）全等，則 BD=AE,AD=CE,結(jié)論及可證明。證明（略）結(jié)論：一組直角邊相等，思路1:可以觀察兩邊是否在一個(gè)三角形

2、中，若在，即這個(gè)三角形是等腰三角形思路2:若不在一個(gè)三角形中，往往可得到其所在的兩個(gè)三角形有一組對(duì)應(yīng)邊相等，為證三角形全等奠定條件。練習(xí)：3、在等腰直角 ABC中， Z BAC=90 , AB=AC,BD平分/ ABC,過點(diǎn)C做BD的垂線CE,垂足為E,求證：CE=1/2 BD提示：可通過角平分線構(gòu)建全等形，即延長CE交BA的延長線于F,則4BEF與4BEC全等，所以 CF=2CE,只需證明CF=BD即可，即證明 ABD與4ACF全等。4、在等腰直角 ABC中， / BAC=90 , AB=AC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，AF，BD于G,過點(diǎn)C做CE / AB, 交AF的延長線于點(diǎn) E,求證：EF=D

3、F提示：要證明結(jié)論成立，需證明 EF與DF所在的兩個(gè)三角形 CFD與/ CFE全等即可。關(guān)鍵差一組邊或一組角相等，有題中條件，很容易可證明ABD與 CAE全等，可為證明 CFD與 CFE全等提供幫助。65、如圖， ACD和AEB都是等腰直角三角形，/(1) EC=BD(2)EC BD1 S四邊形EBCD =EC *BD(4)Saade=Sabc2EAB= / CAD=90 ，求證:B C6、已知：在等腰直角 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC,E 為AC上一點(diǎn)，CD，BE于D,連接AD,若AD=2 , CD=3 ,求BD的長。BC提示：由于等腰直角三角形的特征，把 CA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

4、90。，即可與BA重合，所以，可把 DA同樣處理，使之旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) E處，則4 CAD與 BAE全等，即可得到結(jié)論。在等腰直角 ABC中，/ ACB=90 , D是AC中點(diǎn)，/ ADF= / CDB ,連接CF交BD于E,求證：BDXCF.ABC中，/ ABC=90 , D為AC的中點(diǎn)，過 D點(diǎn)作 DEL7. （2011秋？斫口區(qū)期中）如圖，在等腰直角DF,交AB于E,交BC于F.求證：（1）DE=DF（2） /DEF=45 .J8 （2014秋？武漢校級(jí)月考）如圖， BD是等腰直角 ABC的腰AC上的中線，AELBD交BD、BC于E、F, 求證：（1） / ABD= / CAF;（2） Z AD

5、B= / CDF.9. （2011秋？嘉陵區(qū)期末）如圖，在 RtAABC中，/ BAC=90 是AC的中點(diǎn)，AC=2AB .（1）求證： EABA EDC.（2）判斷 EBC的形狀.（有些角用數(shù)字表示更醒目）,等腰直角三角板 ADE如圖放置，點(diǎn) D恰10 . （2008秋？自貢期末）在等腰直角 ABC中，/ C=90 , AC=BC , D是AB上任一點(diǎn)，AE CD于E,BFXCD交CD延長線于 F, CH AB于H ,交 AE于G .求證：（1） BD=CG ; （2） DF=GE .11 .如圖，銳角 ABC分別以A、B為直角頂點(diǎn)，向 ABC外作等腰直角三角形 ACE和等腰直角三角形 BC

6、F , 再分別過點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為 M, N.求證：EM+FN=AB .12.如圖1,已知A (0, 2)、B (-1, 0)兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第二象限作等腰RtAABC.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2,直線 CB交y軸于E,在直線 CB上取一點(diǎn) D,連接 AD ,若AD=AC ,求證：BE=DE .如圖， CAB, CDE都是等腰直角三角形,13如圖，在等腰直角 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC交BC于D , DELAB于E.(1)求證： ACDA AED;(2)若AB=6 ,求 DEB的周長.M是DB中點(diǎn)，求證：CM AE.如圖，4ACE為等腰直角三

7、角形， Z ACE=90 , B為AE上一點(diǎn)， ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)到達(dá) EDC的位置，AC=%8 cm, (1) Z DEC=(2)求四邊形 CBED的面積；(3)連結(jié) BD,若AB=1cm,求線段 BD的長.已知 ABC和 DEC都是等腰直角三角形， C為它們的公共直角頂點(diǎn)，連接AD、BE, F為線段AD的中點(diǎn),連接CF(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，BE與CF的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是(不用證明)；(2)如圖2,把 DEC 然成立？若成立，請(qǐng)證明;(3)如圖3,把 DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0 a 90 ),其他條件不變，問(1)中的關(guān)系是否仍 若不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明；,

8、BE、CD 交于點(diǎn) M,若/ DCF=30,求CM /BM 的值.繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45OAEDGBB如圖擺放,o圖3其中/ ACB= / DCE=90圖:ABC 和 DECB D C圖1兩塊等腰直角三角板 點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn).(1)如圖1,若點(diǎn)D、和位置關(guān)系為E分別在AC、,F是DE的中點(diǎn)，H是AE的中BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想 FH和FG的數(shù)量關(guān)系為(2)如圖2,若將三角板 DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說明理由；3, (1)中的猜想還成立嗎？直接寫出(3)如圖3,將圖1中的 DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖 結(jié)論，不用證明.DHCHH卻如圖(1), ABC為等腰直角三角形，/ ACB=90 ,E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) E與A, C不重合)，以.連接 BE, AD, BE延長線交 AD于點(diǎn)P.猜CE為邊在 ABC外作等腰直角三角形 ECD , / ECD=90 想線段BE, AD之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)直接寫出線段 BE,