等腰直角三角形的全等問題

1、等腰直角三角形中的全等問題在證明三角形全等時，我們常常遇到圖形中有等腰直角三角形，由于等腰直角三角形有一組直角邊相等, 恰恰可以為我們證明三角形全等提供必要的條件，現(xiàn)舉幾例說明。2、已知：在等腰直角 ABC中， / BAC=90 , AB=AC,過點A作直線FG,過點B做BD，F(xiàn)G于D,過點C 做 CE，F(xiàn)G 于 E,求證：DE=BD-CE分析：題中有幾個直角，往往可以得到許多角互余，所以有一些角相等，題中有AB=AC ,我們可以得到 AB與AC所在的三角形（ ABD與ACAE）全等，則 BD=AE,AD=CE,結論及可證明。證明（略）結論：一組直角邊相等，思路1:可以觀察兩邊是否在一個三角形

2、中，若在，即這個三角形是等腰三角形思路2:若不在一個三角形中，往往可得到其所在的兩個三角形有一組對應邊相等，為證三角形全等奠定條件。練習：3、在等腰直角 ABC中， Z BAC=90 , AB=AC,BD平分/ ABC,過點C做BD的垂線CE,垂足為E,求證：CE=1/2 BD提示：可通過角平分線構建全等形，即延長CE交BA的延長線于F,則4BEF與4BEC全等，所以 CF=2CE,只需證明CF=BD即可，即證明 ABD與4ACF全等。4、在等腰直角 ABC中， / BAC=90 , AB=AC,點D為AC的中點，AF，BD于G,過點C做CE / AB, 交AF的延長線于點 E,求證：EF=D

3、F提示：要證明結論成立，需證明 EF與DF所在的兩個三角形 CFD與/ CFE全等即可。關鍵差一組邊或一組角相等，有題中條件，很容易可證明ABD與 CAE全等，可為證明 CFD與 CFE全等提供幫助。65、如圖， ACD和AEB都是等腰直角三角形，/(1) EC=BD(2)EC BD1 S四邊形EBCD =EC *BD(4)Saade=Sabc2EAB= / CAD=90 ，求證:B C6、已知：在等腰直角 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC,E 為AC上一點，CD，BE于D,連接AD,若AD=2 , CD=3 ,求BD的長。BC提示：由于等腰直角三角形的特征，把 CA繞點A逆時針旋轉

4、90。，即可與BA重合，所以，可把 DA同樣處理，使之旋轉到點 E處，則4 CAD與 BAE全等，即可得到結論。在等腰直角 ABC中，/ ACB=90 , D是AC中點，/ ADF= / CDB ,連接CF交BD于E,求證：BDXCF.ABC中，/ ABC=90 , D為AC的中點，過 D點作 DEL7. （2011秋？斫口區(qū)期中）如圖，在等腰直角DF,交AB于E,交BC于F.求證：（1）DE=DF（2） /DEF=45 .J8 （2014秋？武漢校級月考）如圖， BD是等腰直角 ABC的腰AC上的中線，AELBD交BD、BC于E、F, 求證：（1） / ABD= / CAF;（2） Z AD

5、B= / CDF.9. （2011秋？嘉陵區(qū)期末）如圖，在 RtAABC中，/ BAC=90 是AC的中點，AC=2AB .（1）求證： EABA EDC.（2）判斷 EBC的形狀.（有些角用數(shù)字表示更醒目）,等腰直角三角板 ADE如圖放置，點 D恰10 . （2008秋？自貢期末）在等腰直角 ABC中，/ C=90 , AC=BC , D是AB上任一點，AE CD于E,BFXCD交CD延長線于 F, CH AB于H ,交 AE于G .求證：（1） BD=CG ; （2） DF=GE .11 .如圖，銳角 ABC分別以A、B為直角頂點，向 ABC外作等腰直角三角形 ACE和等腰直角三角形 BC

6、F , 再分別過點E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為 M, N.求證：EM+FN=AB .12.如圖1,已知A (0, 2)、B (-1, 0)兩點，以B為直角頂點在第二象限作等腰RtAABC.(1)求點C的坐標；(2)如圖2,直線 CB交y軸于E,在直線 CB上取一點 D,連接 AD ,若AD=AC ,求證：BE=DE .如圖， CAB, CDE都是等腰直角三角形,13如圖，在等腰直角 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC交BC于D , DELAB于E.(1)求證： ACDA AED;(2)若AB=6 ,求 DEB的周長.M是DB中點，求證：CM AE.如圖，4ACE為等腰直角三

7、角形， Z ACE=90 , B為AE上一點， ABC經過旋轉到達 EDC的位置，AC=%8 cm, (1) Z DEC=(2)求四邊形 CBED的面積；(3)連結 BD,若AB=1cm,求線段 BD的長.已知 ABC和 DEC都是等腰直角三角形， C為它們的公共直角頂點，連接AD、BE, F為線段AD的中點,連接CF(1)如圖1,當點D在BC邊上時，BE與CF的數(shù)量關系是,位置關系是(不用證明)；(2)如圖2,把 DEC 然成立？若成立，請證明;(3)如圖3,把 DEC繞點C順時針旋轉a角(0 a 90 ),其他條件不變，問(1)中的關系是否仍 若不成立，請寫出相應的正確的結論并加以證明；,

8、BE、CD 交于點 M,若/ DCF=30,求CM /BM 的值.繞點C順時針旋轉45OAEDGBB如圖擺放,o圖3其中/ ACB= / DCE=90圖:ABC 和 DECB D C圖1兩塊等腰直角三角板 點，G是BD的中點.(1)如圖1,若點D、和位置關系為E分別在AC、,F是DE的中點，H是AE的中BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想 FH和FG的數(shù)量關系為(2)如圖2,若將三角板 DEC繞著點C順時針旋轉至 ACE在一條直線上時，其余條件均不變，則(1)中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；3, (1)中的猜想還成立嗎？直接寫出(3)如圖3,將圖1中的 DEC繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖 結論，不用證明.DHCHH卻如圖(1), ABC為等腰直角三角形，/ ACB=90 ,E是AC邊上的一個動點(點 E與A, C不重合)，以.連接 BE, AD, BE延長線交 AD于點P.猜CE為邊在 ABC外作等腰直角三角形 ECD , / ECD=90 想線段BE, AD之間的數(shù)量關系和位置關系.(1)獨立思考：請直接寫出線段 BE,