202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)7.3空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系課件

1、7.3空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系20102019年高考全國卷考情一覽表 考點82考點83考點84考點82空間中的平行關(guān)系1.(2019全國1,文19,12分,難度)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點.(1)證明:MN平面C1DE;(2)求點C到平面C1DE的距離.考點82考點83考點84(1)證明連接B1C,ME. 由題設(shè)知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)解過C作C1E的垂線,垂足為H.由已知可得

2、DEBC,DEC1C,所以DE平面C1CE,故DECH.從而CH平面C1DE,故CH的長即為C到平面C1DE的距離.由已知可得CE=1,C1C=4,考點82考點83考點842.(2017全國2,文18,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90.(1)證明:直線BC平面PAD;(2)若PCD的面積為2 ,求四棱錐P-ABCD的體積.(1)證明在平面ABCD內(nèi),因為BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.考點82考點83考點84(2)解取AD的中點M,連接PM,CM

3、.由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四邊形ABCM為正方形,則CMAD.因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因為CM底面ABCD,所以PMCM.取CD的中點N,連接PN,則PNCD, 考點82考點83考點843.(2017浙江,19,12分,難度)如圖,已知四棱錐P-ABCD,PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.(1)證明:CE平面PAB;(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.考點82考點83考點84(1)證明如圖,設(shè)PA中點為F,連接E

4、F,FB.因為E,F分別為PD,PA中點,所以EFAD且EF= AD,又因為BCAD,BC= AD,所以EFBC且EF=BC,即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF.因此CE平面PAB.(2)解分別取BC,AD的中點為M,N,連接PN交EF于點Q,連接MQ,因為E,F,N分別是PD,PA,AD的中點,所以Q為EF中點.在平行四邊形BCEF中,MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中點得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,考點82考點83考點84那么平面PBC平面PBN.過點Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影

5、,所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè)CD=1.考點82考點83考點844.(2016全國3,文19,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.考點82考點83考點84(1)證明由已知得AM= AD=2.取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TNBC,TN= BC=2.又ADBC,故TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因為AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解因為PA

6、平面ABCD,N為PC的中點,所以N到平面ABCD的距離為 PA.取BC的中點E,連接AE.考點82考點83考點845.(2016山東,文18,12分,難度)在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求證:ACFB;(2)已知G,H分別是EC和FB的中點.求證:GH平面ABC.考點82考點83考點84證明(1)因為EFDB,所以EF與DB確定平面BDEF.連接DE.因為AE=EC,D為AC的中點,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF.因為FB平面BDEF,所以ACFB.(2)設(shè)FC的中點為I,連接GI,HI.在CEF中,因

7、為G是CE的中點,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因為H是FB的中點,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因為GH平面GHI,所以GH平面ABC.考點82考點83考點84 在解決線面、面面平行的判定問題時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時,其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”.考點82考點83考點846.(2015全國2,文19,12分,難度)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1

8、B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.考點82考點83考點84解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱柱,所以其體積的比值考點82考點83考點847.(2014全國2,文18,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明

9、:PB平面AEC;(2)設(shè)AP=1,AD= ,三棱錐P-ABD的體積V= ,求A到平面PBC的距離.考點82考點83考點84(1)證明設(shè)BD與AC的交點為O,連接EO.因為ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點.又E為PD的中點,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.作AHPB交PB于H,由題設(shè)知BC平面PAB,所以BCAH.故AH平面PBC. 考點82考點83考點848.(2014安徽,文19,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2 .點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH平面ABCD,BC平

10、面GEFH.(1)證明:GHEF;(2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積.(1)證明因為BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可證:EFBC,因此GHEF.考點82考點83考點84(2)解連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK.因為PA=PC,O是AC的中點,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面內(nèi),所以PO底面ABCD.又因為平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因為平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,且GK底面ABCD,從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的

11、高.由AB=8,EB=2,得EBAB=KBDB=14,考點82考點83考點84考點82考點83考點849.(2013全國2,文18,12分,難度)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點.(1)證明:BC1平面A1CD;(2)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱錐C-A1DE的體積.考點82考點83考點84(1)證明連接AC1交A1C于點F,則F為AC1中點.又D是AB中點,連接DF,則BC1DF.因為DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)解因為ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D為AB的中點,所

12、以CDAB.又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.考點82考點83考點84考點83空間中的垂直關(guān)系1.(2019全國2,文17,12分,難度)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點E在棱AA1上,BEEC1.(1)證明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱錐E-BB1C1C的體積.考點82考點83考點84(1)證明由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由題設(shè)知RtABE RtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,A

13、A1=2AE=6.作EFBB1,垂足為F,則EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱錐E-BB1C1C的體積V= 363=18.考點82考點83考點842.(2019江蘇,16,14分,難度)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點,AB=BC.求證:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E.考點82考點83考點84證明(1)因為D,E分別為BC,AC的中點,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因為ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因為AB=BC,E為AC的中點,所以B

14、EAC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C平面ABC.又因為BE平面ABC,所以C1CBE.因為C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因為C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.考點82考點83考點843.(2018北京,文18,14分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點.(1)求證:PEBC;(2)求證:平面PAB平面PCD;(3)求證:EF平面PCD.考點82考點83考點84證明(1)PA=PD,且E為AD的中點,PEAD.底面A

15、BCD為矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD為矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如圖,取PC的中點G,連接FG,GD.考點82考點83考點844.(2018江蘇,15,14分,難度)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.考點82考點83考點84證明(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因為AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A

16、1B1C.(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因為AA1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,因此AB1A1B.又因為AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因為A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因為AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.考點82考點83考點845.(2017全國1,文18,12分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)證明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為 ,

17、求該四棱錐的側(cè)面積.考點82考點83考點84(1)證明由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,從而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解在平面PAD內(nèi)作PEAD,垂足為E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.考點82考點83考點846.(2017全國3,文19,12分,難度)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)證明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點,且AEEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.考點82考點83考點84(1)

18、證明取AC的中點O,連接DO,BO.因為AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.從而AC平面DOB,故ACBD.(2)解連接EO.由(1)及題設(shè)知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由題設(shè)知AEC為直角三角形,所以EO= AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO= BD.故E為BD的中點,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的 ,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的 ,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.考點82考點

19、83考點847.(2017山東,文18,12分,難度)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD的交點,E為AD的中點,A1E平面ABCD.(1)證明:A1O平面B1CD1;(2)設(shè)M是OD的中點,證明:平面A1EM平面B1CD1.考點82考點83考點84證明(1)取B1D1的中點O1,連接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因為

20、ACBD,E,M分別為AD和OD的中點,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD.所以A1EBD,因為B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.考點82考點83考點848.(2017江蘇,15,12分,難度)如圖,在三棱錐A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EFAD.求證:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.考點82考點83考點84證明(1)在平面ABD內(nèi),因為ABAD,EFA

21、D,所以EFAB.又因為EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因為AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC,所以ADAC.考點82考點83考點849.(2017北京,文18,12分,難度)如圖,在三棱錐P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點,E為線段PC上一點.(1)求證:PABD;(2)求證:平面BDE平面PAC;(3)當(dāng)PA平面BDE時,求

22、三棱錐E-BCD的體積.考點82考點83考點84(1)證明因為PAAB,PABC,所以PA平面ABC.又因為BD平面ABC,所以PABD.(2)證明因為AB=BC,D為AC中點,所以BDAC.由(1)知,PABD,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)解因為PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因為D為AC的中點,考點82考點83考點8410.(2016全國1,文18,12分,難度)如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6.頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.(1)證明:G是AB的中點

23、;(2)在題圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積.考點82考點83考點84(1)證明因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以ABPD.因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,從而G是AB的中點.(2)解在平面PAB內(nèi),過點E作PB的平行線交PA于點F,F即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連接CG,因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心.考點

24、82考點83考點84由(1)知,G是AB的中點,所以D在CG上, 由題設(shè)可得PC平面PAB,DE平面PAB, 由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6,可得考點82考點83考點8411.(2016江蘇,16,12分,難度)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側(cè)棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求證:(1)直線DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.考點82考點83考點84證明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DEAC,于是DEA1C1.又因為DE平面A1C

25、1F,A1C1平面A1C1F,所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因為A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因為A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因為B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因為B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因為直線B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.考點82考點83考點8412.(2015全國1,文18,12分,難度)如圖,四邊

26、形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側(cè)面積.(1)證明因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.考點82考點83考點84(2)解設(shè)AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得考點82考點83考點8413.(2015湖南,文18,12分,難度)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點.(1)證明:平面AEF平面B1B

27、CC1;(2)若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45,求三棱錐F-AEC的體積.考點82考點83考點84(1)證明如圖,因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1.又E是正三角形ABC的邊BC的中點,所以AEBC.因此,AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1.(2)解設(shè)AB的中點為D,連接A1D,CD.因為ABC是正三角形,所以CDAB.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1,于是CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角.考點82考點83考點8414.(2015重慶,文20,12分,難度)如圖

28、,三棱錐P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC= ,點D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,點F在線段AB上,且EFBC.(1)證明:AB平面PFE;(2)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長.考點82考點83考點84(1)證明如圖,由DE=EC,PD=PC知,E為等腰PDC中DC邊的中點,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,從而PEAB.因ABC= ,EFBC,故ABEF.從而AB與平面PFE內(nèi)兩條相交直線PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.考點82考點83考點84考點82考點83

29、考點8415.(2015福建,文20,12分,難度)如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D為線段AC的中點,求證:AC平面PDO;(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值;(3)若BC= ,點E在線段PB上,求CE+OE的最小值.考點82考點83考點84(1)證明在AOC中,因為OA=OC,D為AC的中點,所以ACDO.又PO垂直于圓O所在的平面,所以POAC.因為DOPO=O,所以AC平面PDO.(2)解因為點C在圓O上,所以當(dāng)COAB時,C到AB的距離最大,且最大值為1.考點82考點83考點84(3)解在POB中,PO=OB=

30、1,POB=90, 所以PB=PC=BC,所以CPB=60.在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面BCP,使之與平面ABP共面,如圖所示.當(dāng)O,E,C共線時,CE+OE取得最小值.所以在OCP中,由余弦定理得考點82考點83考點8416.(2014全國1,文19,12分,難度)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點為O,且AO平面BB1C1C.(1)證明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.考點82考點83考點84(1)證明連接BC1,則O為B1C與BC1的交點.因為側(cè)面BB1C1C為菱形,所

31、以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)解作ODBC,垂足為D,連接AD.作OHAD,垂足為H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以O(shè)HBC.又OHAD,所以O(shè)H平面ABC.因為CBB1=60,所以CBB1為等邊三角形,考點82考點83考點8417.(2014福建,文19,12分,難度)如圖,三棱錐A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求證:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點,求三棱錐A-MBC的體積.考點82考點83考點84(1)證明AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.

32、又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)解由AB平面BCD,得ABBD,考點82考點83考點8418.(2014山東,文18,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC= AD,E,F分別為線段AD,PC的中點.(1)求證:AP平面BEF;(2)求證:BE平面PAC.考點82考點83考點84證明(1)設(shè)ACBE=O,連接OF,EC.由于E為AD的中點,AB=BC= AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四邊形ABCE為菱形,所以O(shè)為AC的中點.又F為PC的中點,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BE

33、F,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由題意知EDBC,ED=BC.所以四邊形BCDE為平行四邊形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因為四邊形ABCE為菱形,所以BEAC.又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.考點82考點83考點8419.(2013全國1,文19,12分,難度)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)證明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.考點82考點83考點84(1)證明取AB的中點O,連接OC,OA1,A1B.因為CA=CB

34、,所以O(shè)CAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B為等邊三角形,所以O(shè)A1AB.因為OCOA1=O,所以 AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長為2的等邊三角形,所以O(shè)C=OA1= .又A1C= ,則A1C2=OC2+O ,故OA1OC.因為OCAB=O,所以O(shè)A1平面ABC,OA1為三棱柱ABC-A1B1C1的高.又ABC的面積SABC= ,故三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=SABCOA1=3.考點82考點83考點8420.(2012全國,文19,12分,難度)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,ACB=90

35、,AC=BC= AA1,D是棱AA1的中點.(1)證明:平面BDC1平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.考點82考點83考點84(1)證明由題設(shè)知BCCC1,BCAC,CC1AC=C,所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1,所以DC1BC.由題設(shè)知A1DC1=ADC=45,所以CDC1=90,即DC1DC.又DCBC=C,所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1,故平面BDC1平面BDC.(2)解設(shè)棱錐B-DACC1的體積為V1,AC=1.又三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=1,所以(V-V1)V1=11.故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比

36、為11.考點82考點83考點8421.(2011全國,文18,12分,難度)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)證明:PABD;(2)設(shè)PD=AD=1,求棱錐D-PBC的高.考點82考點83考點84(1)證明因為DAB=60,AB=2AD,由余弦定理得BD= AD.從而BD2+AD2=AB2,故BDAD.又PD底面ABCD,可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)解如圖,作DEPB,垂足為E.已知PD底面ABCD,則PDBC.由(1)知BDAD,又BCAD,所以BCBD.故BC平面PBD,BCDE.則DE平面PB

37、C.考點82考點83考點8422.(2010全國,文18,12分,難度)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足為H,PH是四棱錐的高.(1)證明:平面PAC平面PBD;(2)若AB= ,APB=ADB=60,求四棱錐P-ABCD的體積.考點82考點83考點84(1)證明因為PH是四棱錐P-ABCD的高,所以ACPH.又ACBD,PH,BD都在平面PBD內(nèi),且PHBD=H,所以AC平面PBD,故平面PAC平面PBD.考點82考點83考點84考點84折疊問題和探究性問題中的位置關(guān)系1.(2019全國3,文19,12分,難度)圖1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BF

38、GC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2. (1)證明:圖2中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.考點82考點83考點84(1)證明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因為AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中點M,連接EM,DM.因為ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四邊形BCGE是菱形,

39、且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM= ,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.考點82考點83考點842.(2018全國1,文18,12分,難度)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC為折痕將ACM折起,使點M到達(dá)點D的位置,且ABDA.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)Q為線段AD上一點,P為線段BC上一點,且BP=DQ= DA,求三棱錐Q-ABP的體積.考點82考點83考點84解(1)由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.由已

40、知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱錐Q-APB的體積為VQ-考點82考點83考點843.(2018全國3,文19,12分,難度)如圖,矩形ABCD所在平面與半(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點P,使得MC平面PBD?說明理由.考點82考點83考點84解(1)由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為 上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點時,MC平面

41、PBD.證明如下:連接AC交BD于O.因為ABCD為矩形,所以O(shè)為AC中點.連接OP,因為P為AM中點,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.考點82考點83考點844.(2016全國2,文19,12分,難度)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明:ACHD;考點82考點83考點84(1)證明由已知得ACBD,AD=CD. 由此得EFHD,EFHD,所以ACHD. 所以O(shè)H=1,DH=DH=3. 故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以A

42、C平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以,OD平面ABC.考點82考點83考點84 (1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量.一般情況下,折線同一側(cè)線段的長度是不變量,而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化,抓住不變量是解決問題的突破口.(2)綜合折疊前后的圖形,既要分析折疊后的圖形,也要分析折疊前的圖形.考點82考點83考點845.(2016北京,文18,12分,難度)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求證:DC平面PAC;(2)求證:平面PAB平面PAC;(3)設(shè)點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA平面CEF?說明理由.考點82考點83考點84(1)證明因為PC平面ABCD,所以PCDC.又因為DCAC,所以DC平面PAC.(2)證明因為ABDC,DCAC,所以ABAC.因為PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點F,使得PA平面CEF.證明如下:取PB中