第5章時變電磁場

1、第第5 5章章 時變電磁場時變電磁場黃丘林黃丘林電子工程學(xué)院電子工程學(xué)院西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)1 1本章提綱1 法拉弟電磁感應(yīng)定律2 位移電流3 麥克斯韋方程組4 時變電磁場的邊界條件5 坡印廷定理和坡印廷矢量6 時諧場7 交變電磁場的波動性2 2當(dāng)做為場源的電荷和電流隨時間變化時，它們產(chǎn)生的電場和磁場不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也隨時間變化。而且變化的磁場要產(chǎn)生電場，時變的電場也要產(chǎn)生磁場。此時電場和磁場互為因果，成為統(tǒng)一的電磁場的不可分割的部分。3 31 法拉弟電磁感應(yīng)定律1831年，英國物理學(xué)家法拉弟（Faraday）總結(jié)大量的實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與一個由導(dǎo)線組成的閉合回路相交鏈的磁

2、通量發(fā)生變化時，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，進(jìn)而引起感應(yīng)電流。而且感應(yīng)電動勢等于 磁通量變化率的負(fù)值。這里 的參考方向與磁通量 的正方向成右手螺旋關(guān)系。inddt （伏）總磁通in4 4若 隨t增加， ，則 ，表示 的實際方向與參考方向相反；若 隨t減少， ，則 ，表示 的實際方向與參考方向相同。在此之后，英國物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家麥克斯韋（Maxwell）對電磁感應(yīng)定律進(jìn)行了深入的分析，揭示了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)，并得出了電場和交變的磁場之間的關(guān)系。他認(rèn)為回路中感應(yīng)電動勢是由于交變的磁場激發(fā)了一種非保守的電場的結(jié)果。這個電場稱為感應(yīng)電場。感應(yīng)電動勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為：1 法拉弟電磁感應(yīng)定律0ddt0in

3、0ddt0ininininCE dl5 5故電磁感應(yīng)定律可表示為：以上討論是導(dǎo)體回路的情況。但感應(yīng)電場是由變化的磁場激發(fā)的，不論導(dǎo)體是否存在，只要磁場變化，就要激發(fā)感應(yīng)電場，所以上式不只適合于導(dǎo)體回路，對任一閉合回路都是成立的。由斯托克斯公式，上式可改寫為：1 法拉弟電磁感應(yīng)定律CSBE dldSt CSSBE dlE dSdSt 6 6即：由于S任意，所以：這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律的微分形式，它清楚地表明了交變磁場和感應(yīng)電場間的關(guān)系。1 法拉弟電磁感應(yīng)定律0SBEdStBEt 7 7考察安培環(huán)路定律在時變場情況下是否成立。先看一個例子。一個中間填理想介質(zhì)的電容器接在交流電源的兩端，l為一個與

4、導(dǎo)線交鏈的閉合回路。若取一個以l為邊界的曲面 與導(dǎo)線相交，則由安培環(huán)路定律： i導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流若取一個曲面 不與導(dǎo)線相交而通過兩極板之間，則：2 位移電流1S1lSH dlJ dSi0lH dl8 8這樣磁場強度沿同一閉合路徑的線積分出現(xiàn)了兩種結(jié)果，這說明安培環(huán)路定律用于時變場要產(chǎn)生矛盾。麥克斯韋首先注意到并從理論上解決了這一矛盾。他首先分析了這一矛盾的實質(zhì)，這實際上反應(yīng)了恒定電流條件下的安培環(huán)路定律與時變條件下的電流連續(xù)性方程之間的矛盾。安培環(huán)路定律：而在時變場中，電流連續(xù)性方程是：二者是矛盾的。電荷守恒定律是普通正確的，而安培環(huán)路定律在時變場情況下必須加以修正。2 位移電流HJ0JH 要

5、求Jt 9 9Maxwell認(rèn)為，在時變情況下，高斯定理和磁通連續(xù)性原理仍然適用。即：這樣電流連續(xù)性方程可寫為：即：此式表明，在時變場中， ，但矢量 的散度等于0。2 位移電流,D r tr t,0B r t ,SD r tdSQ t,0SB r tdS0JJDtt 0DJt10100JDJt若用此矢量代替安培環(huán)路定律中的 ，即得：這樣，它與電流連續(xù)性方程就是相容的了。引入位移電流之后，一開始的例中的矛盾也就不復(fù)存在，因為：上式表明，變化的電場也將激發(fā)磁場。2 位移電流JDHJtDt位移電流密度（A/m）22dlSSDDH dlJdSdSitt1111上述兩個方程構(gòu)成了Maxwell方程組的核

6、心，同時麥克斯韋認(rèn)為除了高斯定理在時變情況下成立外，磁通連續(xù)性原理也是成立的，它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組。1865年，麥克斯韋方程組發(fā)表。3 麥克斯韋方程組12123 麥克斯韋方程組 微分形式 積分形式0CSCSSSVDH dlJdStdE dlB dSdtB dSD dSdVQ 13130DHJtBEtBD 3 麥克斯韋方程組在各向同性的線性媒質(zhì)中，各場量之間的關(guān)系是：從以上方程不難看出，前面討論過的靜電場，恒定電場和恒定磁場的基本方程都不過是Maxwell方程組在 時的特例。Maxwell方程組構(gòu)成了宏觀電磁理論的框架，電磁問題的求解最終都可歸結(jié)為求Maxwell方程組的解。DEB

7、HJE0ddt14143 麥克斯韋方程組15153 麥克斯韋方程組1616 麥克斯韋方程組的一個解3 麥克斯韋方程組1888年Hertz產(chǎn)生了電磁波驗證了麥克斯韋方程的正確性17173 麥克斯韋方程組Hertz實驗的簡單原理18183 麥克斯韋方程組Marconi發(fā)明了電報電磁波開始為人類所利用 1890,1897,190119193 麥克斯韋方程組作業(yè)：P187：5.5，5.6，5.920204 時變電磁場的邊界條件磁場強度 的邊界條件由麥克斯韋第一方程：HlSSDH dlJ dSdSt21ttDHlHlJ bh lbh lt sDJblbh lt 21ttsDHHJbbht21214 時變

8、電磁場的邊界條件 有限，所以第二項為0或?qū)懗墒噶啃问剑杭矗憾?任意若無傳導(dǎo)電流，則 或Dt21ttsHHJb21sHbnHbnJb21snHnHbJbb21snHHJ12ttHH210nHH22224 時變電磁場的邊界條件電場強度 的邊界條件由麥克斯韋第二方程： 有限，而即：或：ElSBE dldSt 21ttBElElbh lt Bt0h 210ttEE12ttEE電場強度切向分量連續(xù)210nEE23234 時變電磁場的邊界條件磁感應(yīng)強度 的邊界條件由麥克斯韋第三方程與恒定磁場類似的討論可得：或：B0SB dS12nnBB磁感應(yīng)強度的法向分量連續(xù)210nBB24244 時變電磁場的邊界條件電

9、感應(yīng)強度 的邊界條件由麥克斯韋第四方程與靜電場類似討論可得：或：DSD dSQ21nnSDD21SnDD25254 時變電磁場的邊界條件綜上所述，交變電磁場中的邊界條件可歸納為：21121221ttSbttnnnnSHHJEEBBDD2121212100SSnHHJnEEnBBnDD或26264 時變電磁場的邊界條件特例理想導(dǎo)體表面上交變場的邊界條件。理想導(dǎo)體：對于 很大的良導(dǎo)體，當(dāng)頻率很高時，電磁場只能存在于導(dǎo)體表面很小的薄層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)（以后在均勻平面波部分詳細(xì)講）。 越大，集膚效應(yīng)越顯著，透入深度越?。ㄈ缭?0GHz，透入銅的深度為6.6 10-5cm。 時，透入深度為0，即

10、在理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場處處為0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知，電荷和電流只能存在于理想導(dǎo)體的表面上。 27274 時變電磁場的邊界條件根據(jù)上述邊界條件，在理想導(dǎo)體表面上：（將介質(zhì)1設(shè)為理想導(dǎo)體）結(jié)論：在理想導(dǎo)體表面上，電場只有法向分量，磁場只有切向分量。00tSbtnnSHJEBD00SSnHJnEn Bn D或28284 時變電磁場的邊界條件例例 已知兩無限大理想導(dǎo)體板相距為a，如圖，其間電場強度為 （ ）， 求兩板內(nèi)壁上的面電流密度。解：解：欲求 ，應(yīng)先求由麥克斯韋第二方程： 即： 0sincosymEa Extzam常數(shù)SJnHSJH0BHEtt 0yyEEHxzzxt 29294 時變電

11、磁場的邊界條件兩邊對t積分得：00sinsincoscosmmmExtz xExtz zaaa0Ht 0000sincoscossinEmmmHxtz xExtz zaaa 0000sinSxxmJxHxEtz za 00sinmyEtza30304 時變電磁場的邊界條件001sinmsx ax amJxHyEtza 3131作業(yè)：P187：5.8，5.115 坡印廷定理和坡印廷矢量交變場中電場、磁場均隨時間變化，所以電場能量密度、磁場能量密度也必隨時間變化，而空間各點電磁能量密度的變化說明能量發(fā)生了轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化。下面從麥克斯韋方程出發(fā)，導(dǎo)出表征電磁能量守恒和轉(zhuǎn)換關(guān)系的坡印廷定理，以及描述能量轉(zhuǎn)

12、移情況的電磁能流矢量坡印廷矢量。電磁能量守恒坡印廷定理由麥克斯韋第一、二方程：DHJtBEt （5-1）（5-2）32325 坡印廷定理和坡印廷矢量（5-2） -（5-1） 得：而：同理：HEBDHEEHHJ EEtt （5-3）1122mHwBHHB HB Httttt 1122eDwDEEE DE Dttttt emHEEHwwJ Et 33335 坡印廷定理和坡印廷矢量由矢量恒等式：上式兩邊積分：即：EHHEEHemEHwwJ Et wJ Et VVVwEH dVdVJ EdVt SVWEH dSJ EdVt 34345 坡印廷定理和坡印廷矢量即：由焦耳定律，單位體積內(nèi)的損耗功率為 ，顯

13、然右邊第二項為體積V內(nèi)的損耗功率。左邊為電磁能量的減少率，即減少的功率。而體積V內(nèi)電磁能量的減少不外乎兩種原因，一是損耗掉而轉(zhuǎn)化為其它形式的能量，另一是轉(zhuǎn)移到V之外。顯然，右邊第一項代表的是通過S流出體積V的功率。若媒質(zhì)為無耗的（ ），則 此時，V內(nèi)減少的功率就等于流出V的表面S的功率。坡印廷定理體現(xiàn)了電磁場中的能量守恒關(guān)系。SVWEH dSJ EdVt 坡印廷定理J E 020VVJ EdVE dV 35355 坡印廷定理和坡印廷矢量電磁能流與坡印廷矢量因為 代表經(jīng)曲面S流出體積V的功率，所以被積函數(shù) 代表通過單位面積的功率流，或能流密度矢量。令： 的方向為能量流動的方向，大小為垂直流過單位

14、面積的功率?？臻g只要有電場和磁場同時存在，就會有能量流通。即使在直流情況下也是如此，下面用能流概念分析傳輸線上直流功率的傳輸問題。SEH dSSEH 坡印廷矢量（W/m）S3636EH5 坡印廷定理和坡印廷矢量例例 內(nèi)、外半徑分別為a、b的同軸線，加電壓 ，端接電阻R，導(dǎo)體上有電流 ，求輸入到電阻的功率。解：解：輸入到R的功率等于通過任一橫截面的功率0U0I2lEr而002ln2lnbllaUbUEdrbaa37375 坡印廷定理和坡印廷矢量這與電路中的結(jié)果是一致的，但它揭示了能量傳輸?shù)臋C理。負(fù)載消耗的能量是通過同軸線中的內(nèi)、外導(dǎo)體間電磁場傳輸?shù)模皇峭ㄟ^導(dǎo)體傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起引導(dǎo)作用。0ln

15、UErbra02IHr0 0212 lnU ISEHzbra2002012 lnbSSaU IPS dsS zdsrdrdbra 0 0U I而：38386 時諧場前面的討論是針對隨時間任意變化的電磁場進(jìn)行的，在實際問題中，通常只需要研究隨時間作正弦變化的電磁場，這種電磁場稱為時諧場。在線性媒質(zhì)中，即使是按任意規(guī)律隨時間變化的電磁場，也可按時間展開成傅立葉級數(shù)，因此可看作許多個時諧場的迭加。研究正弦電磁場，可以象正弦交流電路中的相量一樣，引入一個復(fù)數(shù)來表示時諧場，從而使分析、計算簡化。39396 時諧場場量的復(fù)數(shù)表示法以電場強度為例： 的x分量的瞬時值可表示為：可表示為：其中 稱為 的復(fù)振幅E

16、, , , ,cos, ,xxmxEx y z tEx y ztx y zx角頻率初相角ReRejtj txxxmxEE eE ejxxxmEEexE40406 時諧場同理：故電場強度 可表示為：Rej tyyEE ejyyymEEeRej tzzEE ejzzzmEE eExyzExEyEzERej txyzxEyEzEeRej tEexyzExEyEzE 的復(fù)振幅E41416 時諧場場量與復(fù)振幅具有一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，研究電磁場可通過研究其復(fù)振幅進(jìn)行。以后將會看到研究復(fù)振幅的好處。注意如何由瞬時值寫出復(fù)振幅或由復(fù)振幅求瞬時值。電磁場中的其它物理量 ， ， ， ， 也可用相應(yīng)的復(fù)矢量或標(biāo)量

17、表示。DBHJ42426 時諧場復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組既然電磁場量可用復(fù)數(shù)表示，則麥克斯韋方程也可用復(fù)數(shù)表示。以第一方程為例：DHJtReRej tj tHH eH eRej tJJ eReRej tj tDDej Dett43436 時諧場可見引入復(fù)振幅后，可把對時間的微分運算變成代數(shù)運算，從而使計算簡化。復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組：ReRej tj tH eJj D eHJjD0HJjDEjBBD DEBHJE44446 時諧場復(fù)數(shù)形式的坡印廷矢量設(shè)簡諧場中場的瞬時值為：則坡印廷矢量 的x分量為coscoscosxmxeymyezmzeExEtyEtzEtcoscoscosxmxhymyh

18、zmzhHxHtyHtzHtScoscoscoscosxymzmyezhzmymzeyhSEHttE Htt1cos 2cos21cos 2cos2ymzmyezhyezhzmymzeyhzeyhEHtE Ht45456 時諧場 在一個周期內(nèi)的平均值為：xS01TxavxSS dtT11coscos22ymzmyezhzmymzeyhE HE H11ReRe22jjyezhzeyhymzmzmymEHeE He1*Re2yzzyE HE H 46462=T（其中，）6 時諧場同理：所以，坡印廷矢量的平均值為：1*Re2yavzxxzSE HE H 1*Re2zavxyyxSE HE H avx

19、avyavzavSxSySzS1*Re2yzzyzxxzxyyxx E HE Hy E HE Hz E HE H 1*Re2EH47476 時諧場令：則坡印廷矢量的平均值等于復(fù)坡印廷矢量的實部：今后主要討論簡諧場，所研究的場量一般都是復(fù)振幅。為書寫方便省去“”。應(yīng)注意根據(jù)情況區(qū)分是瞬時值還是復(fù)振幅。1*2SEH復(fù)坡印廷矢量 ReavSS48486 時諧場例例 已知矩形波導(dǎo)中主模的電磁場為：求通過矩形波導(dǎo)橫截面的平均功率。0sincosEyExtza00sincoscossinHxExtzazExtzaa 49496 時諧場解：解：0sinjzEyEx ea00sincosjzjzHxEx ezjEx eaaa 2220012*sinsin22SEHzExj xExaaa 220ResinavSSzExa22000sinbaavavSPSdSExdxdya 202Eab5050作業(yè)：P188：5.13，5.15，5.1751517 交變電磁場的波動性麥克斯韋第一方程和第二方程說明，變化的電場激發(fā)磁場，變化的磁場激發(fā)電場。一旦交變的場源在空間激發(fā)起電磁場，由于電場和磁場的相互激發(fā)，即使場源消失，電磁場仍可獨立地存在，并由近及遠(yuǎn)地向外傳播，從而形成電磁波。任何波動都滿足一個共同的規(guī)律波動方程。下面從麥克斯韋方程出發(fā)導(dǎo)出電磁場的波動方程。52527 交變電磁場的波動性波動方程若媒