以問題為中心引領教學以思維為核心促進發(fā)展

1、以問題為中心引領教學，以思維為核心促進開展孫居國【專題名稱】高中數學教與學【專 題 號】G312【復印期號】2021年04期【原文出處】?中學數學教學參考?(西安)2021年11上期第5256頁【作者簡介】孫居國，江蘇省南京師范大學附屬中學。【關 鍵 詞】EEUU    一、研究目的    數學教學過程是一系列數學問題的提出并解決的活動過程，問題貫穿著課堂的始終，它們是組織教學的聚焦點和動力源，是引導學生學習的方向標和里程碑，是維持課堂活力的加油站和接力棒，也是學生開展的催化劑和啟動器。課堂教學過程是不斷發(fā)現問題、

2、探究問題、解決問題并提出新問題的過程，在這一過程中，讓學生的數學思維得到充分的開展。    基于問題對數學課堂教學過程及學生的數學思維開展有著重要的意義，我們提出“以問題為中心引領教學，以思維為核心促進開展的根本觀點。    通過研究，能夠挖掘目前數學課堂教學中存在的一些問題，進一步提高課堂效率，促進學生的數學思維開展，形成有南京師范大學附屬中學特色的數學課堂教學行為。    通過研究，對學生數學學習的規(guī)律、特點有進一步的了解和認識，結合學生的特點，使他們形成主動提出問題、勇

3、于探索問題、獨立思考問題、理性分析問題、科學解決問題的研究意識和能力。    通過研究，促進每一位教師學習和研究的意識，自覺學習教育教學的理論知識，關心課程與課堂教學的開展與改革動向，形成研究的文化和氣氛，投身課堂教學改革的行列。    二、背景分析    1.歷史背景    南京師范大學附屬中學數學教研組是一個具有優(yōu)良傳統(tǒng)的教研組，一直處于中國中學教育教學改革的前列，在根底教育的理論總結和實踐探索方面做出了杰出的奉獻，形成了教師不做教

4、書匠而要做教育家的優(yōu)良傳統(tǒng)。秉承“尊重教學規(guī)律，關注學生開展的教育理想，在建設教師隊伍、提升課堂效率、提高教學質量、研究教育教學等方面有著較大的影響和驕人的成績，為學校的課題研究打下了良好的根底。    2.現實背景    (1)新課程改革給學校的課題研究帶來了良好的機遇，給教師提供了豐富的學習時機和良好的開展平臺，同時，也帶來了許多的思考與困惑，促使教師加強學習和研究，以適應新的開展的需要。    (2)目前由于評價模式比擬單一，課堂教學受應試教育、升學的影響，更多地關注學

5、生的考試成績、應試技巧等，無視了學生的學習規(guī)律和心理壓力，加重了學生的學習負擔，違背了教育教學的科學規(guī)律，往往使得廣闊學生失去了自信和對數學學習的興趣，對學生的開展產生了不利的影響。    (3)前不久江蘇省教育廳提出?關于進一步標準中小學辦學行為深入實施素質教育的意見?的五項規(guī)定，其中要求嚴格控制學生在校集中教學活動的時間，嚴格執(zhí)行國家課程方案，切實減輕學生的學習負擔，深入實施素質教育，對課堂效率提出了更高的要求。    (4)隨著社會經濟等方面的開展，學生的開展呈現出多元化開展的趨勢，越來越多的學生選擇到國外去

6、開展。為了適應國外對人才選拔的要求，高校自主招生的方案逐步擴大，對學生的考查越來越注重能力、潛能及特長和個性。    3.現狀分析    目前教學反映出以下一些特點：    (1)在一節(jié)課的教學過程中，教師往往能注意到以問題開始，注重從具體數學問題出發(fā)組織學習和教學，有一個問題引出的情境、實驗或懸念。    (2)問題給出后，教師的啟發(fā)或引導往往過多過細，給學生獨立思考的時間過少，學生思維的空間不大，忽略了啟發(fā)引導學生去動手、動腦，并在

7、數學問題解決的過程中發(fā)現、產生新的問題。    (3)教師的設計更注重于知識層面，只是為了得到一個確定的結論，而忽略了探究問題的過程，不能促進學生建構靈活的知識根底，不能有效開展學生解決問題的能力，無視了學生的創(chuàng)新精神和實踐意識的培養(yǎng)。    (4)在整個課堂當中，歸納猜測少，演繹論證多，從問題提出到得出結論的時間短，而從得出結論到穩(wěn)固應用的時間長。    由此可見，問題的意識并沒有充分地形成，問題的價值沒有得到充分的開發(fā)，學生的思維不能有效的、充分的開展。 

8、60;  三、研究過程    1.加強理論學習    (1)為了了解當前數學教育教學的前沿情況和理論研究現狀，筆者所在學校屢次請專家到學校作專題報告，使教師對當前的課程及課堂教學的理論研究有了一些了解。其中，有以下一些講座：    李克正“數學在金融方面的應用；    馬明“教材對教學的制約作用；    涂榮豹“數學中的元認知“教與學的對應；   

9、 章建躍“新課程背景下的十個論題；    葛軍“數學的解題策略；    李善良“教師的專業(yè)開展；    邱學華“嘗試法教學；    單壿等“數學思維和解題方法。    (2)為了了解當前課堂教學情況，筆者所在學校積極組織教師參觀學習，積極參加全國及省市組織的各項教研活動，廣闊教師對目前的課堂教學情況有了進一步的認識。    (3)加強教師對當前教育

10、教學理論的學習，認真學習專著和最新的教育論文，并收集相關資料，個體學習和集中學習相結合，并及時整理反思，形成自己的觀點。    2.加強實踐探索    (1)為了做到理論與實踐相結合，筆者所在學校組織了豐富多彩的特色教研活動：    研討學習新課程：?對稱與群?邢偉、?信息平安與密碼?周杰；    現代技術培訓“幾何畫板與圖形計算器的使用陶維林；    講座：附中數學組優(yōu)良傳統(tǒng)陶維林、仇炳生、沈建

11、國；    組內賽課活動，每年一度的青年教師賽課活動；    接待外地學校的來訪美國、新加坡，臺灣、浙江等國外和國內的學校；    研討IB課程對高中數學課程的影響；    研究性教與學專題研究；    研課活動常態(tài)化；    錄像分析教案反思；    對教師進行與新課程有關的調查研究；  

12、0; (11)每年一度的教育教學論文評比。    (2)為了更好地促進學生的全面主動開展，筆者所在學校開展了各式各樣的學生活動，進一步拓寬學生的學習渠道，促進學生的思維開展，主要有以下學生活動：    數學根本功大賽；    數學史知識競賽；    數學文化周活動；    每月一題專欄；    學生的研究性學習和社團活動；  &

13、#160; 境外數學競賽EUCLID競賽、FEMAT競賽、無境數學競賽；    全國高中數學聯賽；    參觀大學，體會專業(yè)文化機構的氣氛；    數學講座；    學生數學論題的研究與論文撰寫；    (11)開展豐富多彩的校本課程：中學數學思維方法選講、幾何畫板、圖形計算器、數學史等選修課。    3.加強調查研究  

14、60; 為了了解學生的真實學習情況，了解教師的課堂教學情況，更好地設計教學過程，提高教學效率，促進學生的開展，學校進行了形式多樣的調查統(tǒng)計。    (1)教師的聽課評價調查；    (2)學生的課前知識準備的調查；    (3)高中數學課堂情況調查；    (4)學生對數學史學習活動情況的調查；    (5)對圖形計算器改善課堂教學的調查；    

15、(6)高中學生對導數的學習現狀調查。    四、研究結論    1.以學生的思維水平為起點，有效地開發(fā)和選擇問題    (1)目標明確，內容充實    案例1等比數列的求和。    問題：從前，一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口容許了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數都比上一天多一萬；但借錢第一天，窮人還1分

16、錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，但怕上當受騙，所以很為難。請在座的同學思考一下，幫窮人出個主意。    問題設計的目的是為了讓學生得出一個等差或等比數列求和的形式。而學生要抽象出這些模型需要花費大量的時間，注意力往往集中在實際問題的數學化，與本節(jié)課的主要內容沒有本質的聯系，偏離了本節(jié)課數列求和的教學重點，干擾了學生的思維。筆者認為完全可以按照以下問題的形式展開教學：前面我們研究了等差數列的求和問題，那我們今天來研究等比數列怎么求和。這樣直截了當，學生的注意力就集中到本節(jié)課的重點上來。 

17、;   (2)難易適度，啟發(fā)得當    案例2橢圓的簡單幾何性質。    問題：初中我們學習過二次函數，知道它的圖象是拋物線，我們討論過拋物線的哪些性質？    現在我們手里都有一個橢圓模型，你能發(fā)現這個橢圓有什么性質嗎？    誰能告訴我們橢圓是什么對稱圖形？    幾何圖形的對稱性有哪幾種類型？    我們怎么證明橢圓的對稱

18、性？    我們能不能從橢圓的方程入手來研究橢圓的幾何性質呢？    拋物線可以向某個方向無限延伸，那么橢圓是否有這個特點呢？那么橢圓的范圍受到了怎樣的限制呢？        從問題到問題來看，問題過細，針對性太強。應留給學生足夠的時間來思考，從幾何方法不好入手，只能從代數方法來討論。必須要知道方程，從而通過方程解決問題。    (3)力求開放，層次清楚   

19、0;案例3“直線的方程單元復習。    問題：直線l經過點P(1,2)，請同學們自己再加另一個條件，求直線l的方程。    以下選擇了局部學生的答復：    k=2；    與直線y=-x垂直；    與y=7x+2平行；    原點到該直線的距離為1；    與相切；    在

20、x軸與y軸上的截距相等；        與兩坐標軸圍成的面積是3。    降低思維的起點，是創(chuàng)設思維活動的根底。由于各類學生的差異性和個性特征不同，為了讓不同的學生都有思考的空間，所以教學的設計要能促使每一位學生都有思維活動的根底，以拓寬問題的出口，展示思維的過程和風格。    (4)靈活變更，有效遷移    案例4面面垂直的判定。    問題：如圖1，PA

21、平面ABC，問在這個圖形中，有哪些面互相垂直。    這個問題有較大的可變更性，可以根據學生的情況，做出相應的簡化或深入，例如可以做如下的調整：        圖1    寫出一對互相垂直的平面；    寫出所有互相垂直的平面；    如果添加條件CAAB，那么有多少種面面垂直關系？    如果添加條件BCAB，那么有

22、多少種面面垂直關系？    在這個圖形中，至多有多少種面面垂直關系？其他的為什么不垂直？    綜上所述，問題的開發(fā)和選擇來自教師和學生兩個方面，尤其是學生生成的問題，更能調動學生學習的積極性和創(chuàng)造性，促進思維的深入和開展。    2.以學生的思維過程為線索，合理地組織和呈現問題    從當前研究的課堂行為分析和整理，筆者認為以問題為中心引領教學的課堂模式有以下幾種根本模式：    (1)分步串聯

23、，層層遞進    問題以串聯的形式出現，聯系緊密，依次展開，層層遞進，通過問題串的逐步解決，完成教學任務圖2。        圖2    案例5函數單調性。    本節(jié)課設置了如下幾個問題：    問題1：函數是描述事物運動變化規(guī)律的數學模型，如果了解了函數的變化規(guī)律，那么也就掌握了相應事物的變化規(guī)律。在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質。觀察

24、圖3中各個函數的圖象，你能說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規(guī)律？        圖3    問題2：根據函數的定義，對于自變量x的每一個確定的值，變量y有唯一確定的值與它對應。那么，當一個函數在某一區(qū)間上是單調遞增或遞減的時候，相應的，自變量的值與對應的函數值的變化規(guī)律是怎樣的？        問題4：歸納函數單調性的定義。    (2)分類并聯，類比聯

25、想    問題以并聯的形式出現，相對獨立，根據學生的生成情況因勢利導，并列展開，逐個解決，完成教學任務圖4。        圖4    案例6同角三角函數的關系。        問題2：下面請大家來探索同一個角的六個三角函數之間有哪些關系式。    問題3：這么多關系式，我們怎么來認識它們呢？能不能給它們歸歸類？你有什

26、么發(fā)現？    學生歸類，可以分成倒數關系、平方關系、商數關系可能還有其他關系。    (3)分解探究，演繹證明    問題以交叉的形式出現，當要解決一個問題時，不容易得出結論，需要從不同側面、不同角度解決幾個問題，然后在解決幾個問題的根底上經過推理論證完成任務圖5。        圖5    案例7三角函數的誘導公式。   &

27、#160;問題1：求390°的正弦、余弦值。    問題2：你能找出和30°角的正弦值相等，但終邊不同的角嗎？    問題3：兩個角的終邊關于x軸對稱，你能得出什么結論？兩個角的終邊關于原點對稱呢？    問題2是問題1的開展，事實上可以看成是“假設兩個角的終邊相同，那么它們的正弦值相同的逆命題，即“假設兩個角的正弦值相同，那么兩個角的終邊相同。但這里是以問題的形式提出的，這樣設計一方面很自然，因為我們在研究問題的時候常常會研究它的逆命題、否命題、等價命題

28、等，問題的設置處在學生的最近開展區(qū)；另一方面，實際上教會了學生一種自己研究問題的方法。    (4)整合分析，歸納概括    當一個問題比擬抽象或涉及范圍較大時，不能直接得出結論。需要從不同的既相對又獨立的幾個問題分別研究，從中分析差異，找出共性，歸納類比，從而抽象概括出本質特征圖6。        圖6    案例8指數函數。    情境1：某種細胞分裂時

29、，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，一個這樣的細胞分裂n次后，能分裂成多少個細胞？    情境2：某種商品的價格從今年起每年降低10%，設原來的價格為1，那么，x年后的價格y是多少？    問題1：從以上情境中你能抽象出哪些函數關系式，請寫出這些函數解析式，并利用圖形計算器作出它們的圖象。    問題2：你能再舉出類似的函數嗎？并利用圖形計算器作出它們的圖象。    問題3：觀察上述函數的解析式及它們的圖象，你能歸納出這

30、些函數的性質嗎？    從上述幾個問題中，發(fā)現其形式及本質上的區(qū)別及統(tǒng)一，從而得出指數函數的概念及性質。    3.以學生的思維開展為核心，科學地分析和解決問題    (1)創(chuàng)設問題情境，激發(fā)創(chuàng)造性思維    案例9三角函數起始課。    問題：假設摩天輪所做的是勻速圓周運動。如圖7，不妨設該摩天輪的半徑為1個單位長度，點O距地面的高度為個單位長度，點P為輪上的一點，起始位置在最低點處，摩天輪每2

31、分鐘轉一圈。請考察在這個運動中，有哪些相應的函數關系？請寫出其中的一些函數關系。        圖7    設計此問題的目的，首先，加深學生對原先學習的函數概念的認識，從函數的觀點來看待問題，拓展思維，形成相應的函數模型；其次，面對新的情境和問題，讓學生充分調動自己的已有知識，經歷直觀感受、觀察發(fā)現、空間想象、歸納類比、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，使其得到充分的表達和應用；再次，使學生的認識過程經歷由模糊到清晰，從片斷到整體，從不和諧到和諧，

32、從不平衡到平衡，從零碎到系統(tǒng)，從無到有，形成理性思考的習慣。思維能力得以較充分的開展，從中提出一系列的新問題，開闊學生的思路，營造獨立的探究活動空間，串聯本章節(jié)的主要知識點，使知識來源自然，符合學生的認知規(guī)律。    (2)提供多樣選擇，培養(yǎng)發(fā)散思維    案例10解三角形。    問題：在一般三角形ABC中，a、b、c,A、B、C之間有何數量關系？    在問題提出后，留給學生足夠的思考時間。學生經過思考討論給出以下四種解決途徑：    途徑1：通過大量一般三角形邊角值的測量，分析所得數據，歸納出邊角的一般關系此種研究方法表達了由特殊到一般的歸納式數學研究思想。    途徑2：將一般三角形轉化為直角三角形進行研究此種研究方法表達了數學中將未知化為、復雜化為簡單的化歸思想。    途徑3：局部學生聯想到任意角的三角函數的定義方式，建立直角坐標系研究其邊角關系表達了將幾何問題轉化為代數問題