復變函數(shù)習題答案第4章習題詳解_第1頁
復變函數(shù)習題答案第4章習題詳解_第2頁
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1、第四章習題詳解1 下列數(shù)列是否收斂？如果收斂，求出它們的極限：1) ；2) ；3) ；4) ；5) 。2 證明：3 判別下列級數(shù)的絕對收斂性與收斂性：1) ；2) ；3) ；4) 。4 下列說法是否正確？為什么？1) 每一個冪級數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂；2) 每一個冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內可能有奇點；3) 每一個在連續(xù)的函數(shù)一定可以在的鄰域內展開成泰勒級數(shù)。5 冪級數(shù)能否在收斂而在發(fā)散？6 求下列冪級數(shù)的收斂半徑：1) （為正整數(shù)）；2) ；3) ；4) ；5) ；6) 。7 如果的收斂半徑為，證明的收斂半徑。提示：8 證明：如果存在，下列三個冪級數(shù)有相同的收斂半徑；。9 設級數(shù)收斂，而發(fā)散

2、，證明的收斂半徑為。10 如果級數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收斂。11 把下列各函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出它們的收斂半徑：1) ；2) ；3) ；4) ；5) ；6) ；7) ；8) 。12 求下列各函數(shù)在指定點處的泰勒展開式，并指出它們的收斂半徑：1) ，；2) ，；3) ，；4) ，；5) ；6) ；。13 為什么在區(qū)域內解析且在區(qū)間取實數(shù)值的函數(shù)展開成的冪級數(shù)時，展開式的系數(shù)都是實數(shù)？14 證明在以的各冪表出的洛朗展開式中的各系數(shù)為，。提示：在公式中，取為，在此圓上設積分變量。然后證明的積分的虛部等于零。15 下列結論是否正確？用長除法得因為 所以 16 把下列各函數(shù)在指定的圓環(huán)域內展開成洛朗級數(shù)：1) ，；2) ，；3) ，；4) ，；5) ，在以為中心的圓環(huán)域內；6) ，在的去心鄰域內；7) ，。17 函數(shù)能否在圓環(huán)域展開成洛朗級數(shù)？為什么？18 如果為滿足關系的實數(shù)，證明提示：對展開成洛朗級數(shù)，并在展開式的結果中置，再令兩邊的實部與實部相等，虛部與虛部相等。19 如果為正向圓周，求積分的值。設為：1) ；2) ；3

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