中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

1、中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題順平縣文教局教研室 鄭泉水中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是對(duì)初中三年所學(xué)的知識(shí)做一個(gè)全面、系統(tǒng)的梳理，并在此根底上深化對(duì)原有知識(shí)的理解，提高解題的能力，即到達(dá)中考復(fù)習(xí)的總體目標(biāo)“系統(tǒng)、穩(wěn)固、深化、提高。因此，中考復(fù)習(xí)決不能只是知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單羅列與重復(fù)，而必須明確方向，抓住重點(diǎn)，理清關(guān)系，明了規(guī)律，把握方法，提升能力。下面就中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題談幾點(diǎn)粗淺的看法，供參考。一、關(guān)于抓主干知識(shí)問(wèn)題案例1 復(fù)習(xí)“整式及其運(yùn)算師：我們先回憶整式中有哪些根本概念？板書(shū)1：?jiǎn)雾?xiàng)式：學(xué)生答復(fù)師：誰(shuí)能舉個(gè)例子？生1：2a. 生2：5a. 生3：4a. 生4：10a. 生5：.板書(shū)2：代數(shù)式：學(xué)

2、生未能答復(fù)出來(lái)，教師給出用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子.師：誰(shuí)能舉個(gè)例子？生1：. 生2：4x+6. 生3：4x. 生4：1.師：?jiǎn)为?dú)一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式。板書(shū)3：多項(xiàng)式學(xué)生答復(fù)師：誰(shuí)能舉個(gè)例子？生1：2a+3b. 生2：2a+3. 生3：.板書(shū)4：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)學(xué)生答復(fù)、舉例板書(shū)4：多項(xiàng)式的次數(shù)學(xué)生答復(fù)、舉例評(píng)析：這些知識(shí)顯然稱不上“主干知識(shí)，充其量也就是“毛刺， 這些“毛刺的東西占據(jù)了課堂的大局部時(shí)間，復(fù)習(xí)效率可想而知；退一步講，就算是主干知識(shí)，但這種復(fù)習(xí)也僅僅是一些知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單羅列與再現(xiàn)，根本談不上深化與提高；這種既抓不住“主干知識(shí)、又談不上深化知識(shí)的復(fù)習(xí)，實(shí)際上是在白

3、白浪費(fèi)學(xué)生的珍貴時(shí)間！河北省中考試題明確規(guī)定：重點(diǎn)考查代數(shù)式的運(yùn)算、方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、三角形和四邊形等學(xué)科核心主干內(nèi)容及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、統(tǒng)計(jì)意識(shí)、隨機(jī)思想、待定系數(shù)法、換元法等因此，在復(fù)習(xí)時(shí)我們必須做到心中有數(shù)，切不可主次不分，眉毛胡子一把抓。更有甚者，少數(shù)教師總認(rèn)為給學(xué)生補(bǔ)充的知識(shí)越多越好，作起題來(lái)會(huì)更快，于是乎，立方和、差公式，射影定理，正弦定理，都成為補(bǔ)充的對(duì)象。評(píng)析：教師的愿望是好的，但不能違背教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，不能無(wú)謂增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)；這種做法既達(dá)不到預(yù)期的目的，甚至事與愿違，更與抓 “主干知識(shí)不沾邊！二、關(guān)于對(duì)知識(shí)與方法的深

4、化理解問(wèn)題案例2 復(fù)習(xí)“實(shí)數(shù)的有關(guān)概念師：什么叫相反數(shù)？你是怎樣理解的？生1：相加為0的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù). 生2：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù).教師補(bǔ)充：0的相反數(shù)是0 生3：在數(shù)軸上，訓(xùn)練題：1.水位上升3米與水位下降2米，其中的兩個(gè)數(shù)是相反數(shù)嗎？2.與互為相反數(shù)嗎？，那么a=？4.在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離為3的點(diǎn)表示的數(shù)是 ；5.假設(shè)a，b互為相反數(shù)，那么6.假設(shè)一個(gè)數(shù)的平方根為a3，2a+3，那么這個(gè)數(shù)為 。評(píng)析：教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度對(duì)相反數(shù)的概念進(jìn)行定義，有助于學(xué)生對(duì)“相反數(shù)這一重要概念的深化理解，同時(shí)也調(diào)動(dòng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性；訓(xùn)練題1，2是對(duì)學(xué)生的一種反面訓(xùn)練，旨在消除學(xué)

5、生可能存在的模糊認(rèn)識(shí)；訓(xùn)練題3是一種逆向思維的訓(xùn)練，旨在訓(xùn)練學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面理解；訓(xùn)練題4是從“數(shù)形結(jié)合的角度理解相反數(shù)；訓(xùn)練題5，6那么是與其它知識(shí)相結(jié)合的一種綜合運(yùn)用；通過(guò)這樣的訓(xùn)練有助于提高學(xué)生的解題能力。案例3 “分類思想專題復(fù)習(xí)題組1.,且0，那么+=？2，a，3，b是直線y=kx+5上的點(diǎn)，試比擬a，b的大小。假設(shè)是完全平方式，那么=?一水果經(jīng)銷商方案將一批蘋(píng)果從我市運(yùn)往某地銷售，有汽車、火車兩種運(yùn)輸工具可供選擇，兩種運(yùn)輸工具的主要參考數(shù)據(jù)如下：運(yùn)輸工具途中平均速度單位：千米/時(shí)途中平均費(fèi)用單位：元/千米裝卸費(fèi)用單位：元汽車7581000火車1006米2000設(shè)我市到某地的路程為x

6、千米，這批水果在途中的損耗為150元/時(shí)，假設(shè)選用汽車運(yùn)輸，其總費(fèi)用為y1元，假設(shè)選用火車運(yùn)輸，其總費(fèi)用為y2元。1分別寫(xiě)出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式：2請(qǐng)你為水果經(jīng)銷商設(shè)計(jì)較省錢(qián)的運(yùn)輸方案。問(wèn)題：上述題組具有怎樣的共同特征？題組2. 等腰三角形的一個(gè)角是80，那么另兩個(gè)角的度數(shù)是多少？直角三角形的兩邊分別為3和4，那么第三邊的長(zhǎng)是多少？等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分為9和12兩局部，那么其腰長(zhǎng)為 。江蘇2000問(wèn)題：上述題組具有怎樣的共同特征？題組3. 等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，求頂角的度數(shù)。在半徑為5cm的圓中有兩條長(zhǎng)分別為6cm和8cm的平行弦，那么它們之間的距離為 。

7、圖1BA如圖1，在106的網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)，A的半徑為1，B的半徑為2，要使A與靜止的B內(nèi)切，那么A由圖示位置需向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)河北07圖2BCAP假設(shè)直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，4，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，試確定直線的解析式。問(wèn)題：上述題組具有怎樣的共同特征？題組4. 如圖2，RtABC中，AC=6cm，CB=8cm，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿CB、BA到A不與A重合，速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。求ACP的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系。ABCDOPQ圖3：如圖3，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=6cm，ABC=60，BDDC，點(diǎn)P以2cm/s的速度從B到C

8、，點(diǎn)Q以1cm/s的速度從C到D，設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t0.(1) t為何值時(shí)，PCQ與BCD相似？(2) t為何值時(shí)，OPC為等腰三角形？問(wèn)題：上述題組具有怎樣的共同特征？通過(guò)上述幾組題目，你對(duì)“分類思想有了怎樣進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？與同學(xué)交流你的想法。評(píng)析：上述每組題目都有一個(gè)由淺入深的難度循環(huán)，且每組題目都具有共同的特征，這樣，即照顧了大多數(shù)學(xué)生，又能培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)的能力；通過(guò)上述幾組題目的思考、討論、交流，相信學(xué)生對(duì)“分類思想會(huì)有更加深刻的理解。三、關(guān)于總結(jié)規(guī)律問(wèn)題案例4 由拋物線的位置確定一次項(xiàng)系數(shù)b的符號(hào)，有的教師總結(jié)出如下的規(guī)律讓學(xué)生記憶：軸左a正b為正，軸左a負(fù)b為負(fù)；

9、軸右a正b為負(fù)，軸右a負(fù) b為正。案例5 由k，b的符號(hào)確定直線y=kx+b的位置，有的教師總結(jié)出如下的規(guī)律讓學(xué)生記憶：當(dāng)a0，b=0時(shí)，直線y=kx+b在一、三象限；當(dāng)a0，b=0時(shí)，直線y=kx+b在二、四象限；當(dāng)a0，b0時(shí)，直線y=kx+b在一、二、三象限；當(dāng)a0，b0時(shí)，直線y=kx+b在一、三、四象限；當(dāng)a0，b0時(shí)，直線y=kx+b在一、二、四象限；當(dāng)a0，b0時(shí)，直線y=kx+b在一、三、四象限。更有教師將上述規(guī)律總結(jié)成順口溜杜郎口中學(xué)：直線升降是重點(diǎn)，頻頻亮相到處見(jiàn)，何方神圣決定它，系數(shù)k,b不等閑，k的取值大于0，左低右高向上升，k的取值小于0，左高右低向下沖，b的作用也明

10、顯，y軸交點(diǎn)它主管，正交正來(lái)負(fù)交負(fù)，b為0時(shí)在原點(diǎn)，要想性質(zhì)掌握好，函數(shù)口訣須記牢。評(píng)析：總結(jié)規(guī)律的目的是便于學(xué)生記憶與掌握規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決問(wèn)題。但如果總結(jié)的規(guī)律很復(fù)雜，學(xué)生掌握起來(lái)很困難，豈不事與愿違？事實(shí)證明多數(shù)學(xué)生無(wú)法掌握上述規(guī)律，甚至一些成績(jī)很不錯(cuò)的學(xué)生也反映：常常將符號(hào)記錯(cuò)，將象限記錯(cuò)！我們不能責(zé)怪學(xué)生！只能怪我們未能認(rèn)識(shí)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。做任何事情，我們不能憑想當(dāng)然，不要以為有好的愿望就會(huì)有好的結(jié)果，而必須要了解學(xué)生，符合學(xué)生實(shí)際，否那么，達(dá)不到預(yù)期效果，甚至走向反面。我們不能不記取上述教訓(xùn)！那么，總結(jié)規(guī)律應(yīng)遵循怎樣的原那么呢？我自以為以下原那么是值得考慮的：1. 簡(jiǎn)潔性便于學(xué)生

11、記憶與掌握2. 必要性針對(duì)重點(diǎn)與難點(diǎn)知識(shí)，不要到處總結(jié)規(guī)律3. 一般性即適用范圍要廣，適用范圍窄的規(guī)律不總結(jié)也罷4. 科學(xué)性即不能出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤案例6 對(duì)于等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系，有的教師總希望學(xué)生記住以下規(guī)律：斜邊等于直角邊的倍，直角邊等于斜邊的倍。評(píng)析：教師是希望學(xué)生運(yùn)用規(guī)律快速得到結(jié)果，但學(xué)生記憶得東西太多了就未必是好事，教學(xué)實(shí)踐證明，一些中等或偏下學(xué)生常常將數(shù)據(jù)記憶混淆，造成不必要的錯(cuò)誤！事實(shí)上，這種規(guī)律是沒(méi)必要去總結(jié)的，學(xué)生只需運(yùn)用所學(xué)知識(shí)就能迅速得到結(jié)果，記憶它只是增加了學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。案例7 專題復(fù)習(xí)“與多邊形面積有關(guān)的計(jì)算ABCDEFG圖4題目：如圖4，矩形的長(zhǎng)和寬分

12、別為4和3，現(xiàn)將矩形折疊，使A與C重合，EF為折痕，求重合陰影局部的面積。學(xué)生給出如下方法：設(shè)DF=GF=x,那么AF=4-x,GF=x,AG=CD=3,由勾股定理，可得：,解出x,進(jìn)而求得重合陰影局部的面積，即三角形AEF的面積。師生給予肯定后，進(jìn)行下一個(gè)問(wèn)題，評(píng)析：解題的目的是運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，并由此掌握解決問(wèn)題的方法與策略，而不僅僅是會(huì)解這一道題。因此，通過(guò)解題進(jìn)而掌握解決問(wèn)題的方法與策略就顯得特別重要！事實(shí)上，此題是一道典型的圖形折疊問(wèn)題，由此總結(jié)出解決這一類問(wèn)題的方法與策略就是必要的了：此題還可以運(yùn)用相似形的知識(shí)求得AF的長(zhǎng)，即我們不能滿足于一種方法，要善于引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題

13、，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。四、關(guān)于解題的入手點(diǎn)問(wèn)題例1在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b和y=bx+a其中ab0，ab，a+b0的圖象可能為 OxyAOxyBOxyCOxyD解析：此題假設(shè)按常規(guī)的方法是無(wú)法確定正確答案的！注意到此題條件中的a+b0，而當(dāng)x=1時(shí)，兩個(gè)一次函數(shù)y=ax+b和y=bx+a的函數(shù)值均為a+b，即兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)為1，a+b，由a+b0可知此交點(diǎn)在第一象限，應(yīng)選BGABCDEF圖5例2 北京06如圖5，直角梯形ABCD中，C=45，AD=1，CD=，BECD于E。求BE=？解析：此題有C=45聯(lián)想到等腰直角三角形，從而可作出如下圖的兩種輔助線，即：1作

14、DFBC于F；2延長(zhǎng)BA，CD，交于G。30AyxDEBC圖6 例3 山東淄博06如圖6，ABC中，AB=AC=1, BAC=30，點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng)，且保持DAE=105,設(shè)BD=x，CE=y。求y與 x之間的函數(shù)關(guān)系。解析：因?yàn)閥與 x分位于兩個(gè)三角形中，且有DBA=ACE =105,由此猜測(cè)是否可應(yīng)用相似三角形的知識(shí)找到y(tǒng)與 x之間的函數(shù)關(guān)系？圖7ABCDE事實(shí)上，由于DAB+CAE=10530=75，DAB+D=75，CAE=D。DABAEC。例4 北京06定義：對(duì)角線相等的四邊形叫做等對(duì)角線四邊形。探究：當(dāng)?shù)葘?duì)角線四邊形中兩條對(duì)角線的夾角為60時(shí)，這對(duì)60角所對(duì)的兩邊之和與其中

15、一條對(duì)角線的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。解析：兩條等對(duì)角線的夾角為60，聯(lián)想到頂角為60的等腰三角形是等邊三角形，于是平移一條對(duì)角線，從而構(gòu)成等邊三角形如圖7，問(wèn)題得以順利解決當(dāng)然，還要考慮等腰梯形這一特殊情形。從條件出發(fā)，從圖形特征出發(fā)，進(jìn)行充分的聯(lián)想、猜測(cè)，找到解題的突破口，從而形成正確的解題思路。ABCDPENM圖8例4 ：如圖8，正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP，過(guò)點(diǎn)P作PEPB，交CD于E。過(guò)點(diǎn)P作MNAD，分別交AB、CD于M、N。1求證：BMPPNE；2四邊形MBNE的面積是否會(huì)因P點(diǎn)位置的變化而改變？并說(shuō)明理由。對(duì)于第1問(wèn)，學(xué)生沒(méi)問(wèn)題，而對(duì)于第2問(wèn)，不少學(xué)生就不知

16、道從哪里入手了！事實(shí)上，應(yīng)該首先看四邊形MBNE的面積與哪些因素有關(guān)，即：S=。然后再分析MB+NE是否發(fā)生變化。由第1問(wèn)的結(jié)論：BMPPNE可知，MB=PN，NE=PM。 MB+NE= PN+ PM=MN。S=定值。即四邊形MBNE的面積不會(huì)因P點(diǎn)位置的變化而改變。確定解決問(wèn)題的方向、應(yīng)用已經(jīng)得到的結(jié)論，不失為一種解決問(wèn)題的有效策略。五、關(guān)于學(xué)生思維的障礙點(diǎn)問(wèn)題BCDAMOFE 圖9在我輔導(dǎo)學(xué)生的實(shí)踐中，經(jīng)常遇到學(xué)生思維“卡殼的情形，他們不是不會(huì)，而是想不到，請(qǐng)看下面的例子：例1 如圖9，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，M是AD的中點(diǎn)。求陰影局部的面積。面對(duì)這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都知道要將陰影局部的面積

17、轉(zhuǎn)化為正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積，但當(dāng)求OAM、OBC的高時(shí)，他們就“卡殼了，不知道要用什么方法。而當(dāng)你告訴他用相似形時(shí)，他就恍然大悟。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情形呢？原來(lái)，學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)有很多，當(dāng)他們面對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不是很明確的問(wèn)題時(shí)像點(diǎn)x,x-2位于第一象限，那么x的取值范圍是 ,這樣的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)就很明確！，他們無(wú)法在大腦中馬上“搜索到要用哪一個(gè)知識(shí)點(diǎn)！于是就“卡殼了。DABCEFO圖10類似的例子：如圖10，直角梯形ABCD中，BC=3，AB=4，DAC=30，現(xiàn)將其折疊，使A、C重合，求折痕的長(zhǎng)度。面對(duì)這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都知道首先要作出折痕的位置，即圖中的EFEF垂直平分AC，由勾股定理求

18、得AC=5，OA=,在RtAOE中，應(yīng)用三角函數(shù)可求出OE的長(zhǎng)，而當(dāng)求OF的長(zhǎng)時(shí)，他們就又“卡殼了。那么，怎樣防止這種情形的出現(xiàn)呢？我們可引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)幾何計(jì)算常用到的知識(shí)與方法：經(jīng)過(guò)這樣的梳理，學(xué)生再遇到這種情形時(shí)，也許就可防止“卡殼現(xiàn)象。ABCDOPQ圖11例2 ：如圖11，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=6cm，ABC=60，BDDC，點(diǎn)P以2cm/s的速度從B到C，點(diǎn)Q以1cm/s的速度從C到D，設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t0.(1) t為何值時(shí)，PQBC？(2) t為何值時(shí)，OPC為等腰三角形？對(duì)于問(wèn)題1，不少學(xué)生通過(guò)看圖形會(huì)產(chǎn)生疑惑：PQ怎會(huì)與BC垂直？應(yīng)該是與CD垂

19、直吧？對(duì)于問(wèn)題2，多數(shù)學(xué)生知道要分兩種情況，即：CO=CP,PO=PC。對(duì)第一種情況CO=CP，能夠順利解決，而對(duì)第二種情況PO=PC那么束手無(wú)策，因?yàn)閺膱D形中看，絞盡腦汁也不知道怎樣求出PO的長(zhǎng)。事實(shí)上，學(xué)生是受到了原圖形的誤導(dǎo)！他們忘記了原圖形是不符合題意的，是需要自己畫(huà)出符合題意的靜態(tài)圖形的。而一旦畫(huà)出了符合題意的圖形，問(wèn)題解決起來(lái)就不那么難了。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的解題出現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，我們僅僅教給他們?cè)鯓咏?、怎樣更正還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，還必須要了解學(xué)生出現(xiàn)問(wèn)題的原因，找出他們思維的障礙點(diǎn)在哪里，這樣，才可能對(duì)癥下藥，取得較好的效果！六、關(guān)于展示教師的思維過(guò)程問(wèn)題我們的學(xué)生常常有這樣的疑問(wèn)，教師課上分析

20、問(wèn)題時(shí)“要求或證什么，需要求或證什么，還需要求或證什么，最后總能成功！可為什么當(dāng)論到自己這樣分析問(wèn)題時(shí)卻經(jīng)常碰壁呢？這其中到底有怎樣的奧秘呢？作為教師，我們不能不考慮學(xué)生的所思所想！我們不僅要展現(xiàn)解題中思維正確的一面，更有必要展現(xiàn)思維碰壁及轉(zhuǎn)彎的一面。讓學(xué)生看到教師思考問(wèn)題的全過(guò)程，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也許更加珍貴！從而也消除學(xué)生的上述疑問(wèn)及教師形成正確解題思路的神秘感，使學(xué)生更加感受到探究的樂(lè)趣。一天，我們家屬院的一名初中學(xué)生問(wèn)了我兩道試題，下面就將我在與學(xué)生的共同探究中，展示解決問(wèn)題的思維過(guò)程，特別是思維的碰壁過(guò)程、轉(zhuǎn)彎過(guò)程的情形做一簡(jiǎn)要的介紹，期冀能對(duì)大家的數(shù)學(xué)解題教學(xué)有所啟發(fā)、有所幫助。1.

21、按從小到大順序排列的20個(gè)正整數(shù)的和是2210,求第5個(gè)數(shù)的最大值.分析:面對(duì)這樣一道試題，開(kāi)始時(shí)我也沒(méi)有思路，只是試著用字母將它們表示一下：，表示完之后，就發(fā)現(xiàn)了解決問(wèn)題的途徑，要使最大，必須最小，而的最小值顯然為1，2，3，4；的最小值顯然是在上加上最小的數(shù)，即。這樣就得到：1+2+3+4+。即，所以=130.試一試很重要，在試中也許你會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，不試你就不會(huì)找到解題的思路！而我們很多同學(xué)在解題中就缺乏試的勇氣，他們只是在大腦中思考，沒(méi)有思路時(shí)就不動(dòng)筆寫(xiě)寫(xiě)、畫(huà)畫(huà)，這不是探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的好習(xí)慣，必須予以摒棄！試一試是形成正確解題思路的常用途徑！ABCDEFGHK圖122：如圖12，正方形

22、ABCD中有內(nèi)接四邊形EFGH，其中BEG、AHF均為銳角，EG=3，F(xiàn)E=4，四邊形EFGH的面積為5，求正方形ABCD的面積。分析：從條件EG=3，F(xiàn)H=4出發(fā)，將EG進(jìn)行平移，使EG與FE位于同一個(gè)三角形中，但發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH的面積無(wú)法應(yīng)用，此路不通！從四邊形EFGH的面積為5出發(fā)，作HKEG于K，作FZEG于Z(圖13).EGFZ+EGHK=5，ABCDEFGHKRTNZ圖13EG=3，F(xiàn)Z+HK=。聯(lián)想到“正方形中互相垂直的兩條線段相等這一結(jié)論，故延長(zhǎng)FZ交AD于T。為將FZ、HK加在一起，過(guò)點(diǎn)H作HRFT交FT的延長(zhǎng)線于R，那么FT=EG=3，ZR=KH。即FR=.RT=FRFT

23、=。如何求得HR的長(zhǎng)？中FH=4還未用！觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：在RtFRH中，由勾股定理可求得HR=.TH=.為求得正方形的邊長(zhǎng)，需將這些條件及正方形的邊長(zhǎng)集中，為此過(guò)點(diǎn)F作FNAD于N，那么RtFNTRtHRT。，從而求得FN=。正方形ABCD的面積為。七、關(guān)于訓(xùn)練到位問(wèn)題圖14O2xy3案例8 復(fù)習(xí)不等式及其應(yīng)用教師出示如下訓(xùn)練題：函數(shù)y=kx+b的圖像如圖14所示：那么關(guān)于x的不等式kx+b0的解集是 。師：誰(shuí)說(shuō)一說(shuō)自己的解題思路？生1：將0，2和3，0代入y=kx+b，解出k、b的值，然后解不等式kx+b0。師：其他同學(xué)呢？多數(shù)同學(xué)同意這種思路生2：從圖像中可以看出不等式kx+b0的解集是x

24、3.師：比擬兩種方法，哪種方法更好些呢？生眾：第二種方法。師：總結(jié)一下不等式的解法。評(píng)析：既然多數(shù)同學(xué)“數(shù)形結(jié)合的意識(shí)較差，那么，僅僅靠比擬一下而沒(méi)有進(jìn)一步的訓(xùn)練是不能解決問(wèn)題的！事實(shí)上，我們可以馬上出示幾個(gè)類似的問(wèn)題讓學(xué)生解決：1關(guān)于x的不等式kx+b2的解集是 ；圖15O2xy31y1y3在原圖像的根底上再參加y1=mx+n如圖15，關(guān)于x的不等式kx+b mx+n的解集是 ，關(guān)于x的不等式kx+b mx+n的解集是 ，這樣，“數(shù)形結(jié)合的方法得到進(jìn)一步的訓(xùn)練與穩(wěn)固；知識(shí)和方法的掌握、能力的培養(yǎng)都需要訓(xùn)練，空洞的說(shuō)教是不行的！訓(xùn)練需要到位，但怎樣做才叫到位？是值得我們深入思考的一個(gè)問(wèn)題。八、

25、關(guān)于學(xué)生的評(píng)價(jià)問(wèn)題案例908年市中考復(fù)習(xí)研討會(huì)課例ABCDGKHEF圖16-1操作例如 將一個(gè)三角形割補(bǔ)成矩形分別過(guò)邊AB，AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)作BC邊的垂線，垂足為D，G，然后將RtBDE割補(bǔ)到RtAKE的位置，將RtCGF割補(bǔ)到RtAHF的位置，這樣，ABC就被割補(bǔ)成矩形DGHK如圖16-1操作探究 對(duì)于任意四邊形ABCD，你如何將其割補(bǔ)成矩形？學(xué)生開(kāi)始在練習(xí)本上畫(huà)，學(xué)生甲自告奮勇到黑板上去做，作法如圖16-2所示，到此，該學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)有誤，做不下去了。BADC圖16-2PGFHE此時(shí)，教師將學(xué)生甲的畫(huà)圖擦掉，“其他同學(xué)誰(shuí)到黑板上來(lái)作？學(xué)生乙上去并正確地割補(bǔ)，學(xué)生甲回到自己的座位，這里僅就教師

26、對(duì)待學(xué)生甲的做法，談幾點(diǎn)感想：1數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：對(duì)學(xué)生要多元評(píng)價(jià)，不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程和思維過(guò)程，通過(guò)評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，建立自信。本案例中，學(xué)生甲的想法無(wú)疑是正確的，這從學(xué)生甲的畫(huà)圖中可以看出，P，E，F(xiàn)分別是AD，AB，DC的中點(diǎn)，他是想將四邊形ABCD割補(bǔ)成三角形PGH，從而將四邊形的割補(bǔ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成操作例如中的三角形的割補(bǔ)問(wèn)題但由于四邊形ABCD是任意四邊形，其想法無(wú)法實(shí)現(xiàn)，這就是學(xué)生探究過(guò)程中思維的閃光點(diǎn)！教師假設(shè)從多元評(píng)價(jià)的角度對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)，無(wú)疑對(duì)學(xué)生樹(shù)立良好的自信心大有益處！而教師僅僅看到了學(xué)生錯(cuò)誤的結(jié)果，未能發(fā)現(xiàn)其思維的閃光點(diǎn)，這對(duì)學(xué)

27、生是一種無(wú)情的否認(rèn)，學(xué)生會(huì)感到沮喪，這對(duì)于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)開(kāi)展也顯然是不利的！2教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注預(yù)設(shè)學(xué)生乙的作法顯然是教師在備課中要求的方法預(yù)設(shè)，也要關(guān)注動(dòng)態(tài)生成。本案例中，教師假設(shè)能抓住學(xué)生甲的思路是正確的這一時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生探索：四邊形ABCD在什么條件下，學(xué)生甲的作法是可行的？這樣，不僅激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，對(duì)學(xué)生甲來(lái)說(shuō)也是一種無(wú)聲的鼓勵(lì)因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，學(xué)生甲雖未發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，但他畢竟為我們提供了問(wèn)題的素材！事實(shí)上，通過(guò)探究可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)ADBC時(shí)，學(xué)生甲的作法是可行的！假設(shè)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論，既讓學(xué)生享受了成功的喜悅，又使得動(dòng)態(tài)目標(biāo)得以達(dá)成，豈不一舉兩得？3通過(guò)2中的探

28、究，不僅可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)生成目標(biāo)，而且學(xué)生對(duì)“轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)也會(huì)有更加深刻的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，從而也實(shí)現(xiàn)了預(yù)設(shè)的目標(biāo)。由此可見(jiàn)，預(yù)設(shè)與生成不是對(duì)立的，而是相輔相成的，預(yù)設(shè)中有生成，生成中有預(yù)設(shè)。案例10 三角函數(shù)的復(fù)習(xí)題目 ABC中，A=30，C=105，AC=6。求BC=？ABCD圖17633一學(xué)生板演如下：如圖17，作CDAB于D，A=30，CD=AC=3C=105，ACD=60，DCB=45B=45由勾股定理得：BC=師：他有沒(méi)有錯(cuò)誤？生眾：有！師：哪里？評(píng)析：這是我們?cè)谡n堂上經(jīng)常見(jiàn)到的情形，教師只看到了學(xué)生的錯(cuò)誤錯(cuò)誤的結(jié)果，而未看到學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)學(xué)生思路清晰，步驟完整，其后果是學(xué)生沒(méi)有成功的喜悅，有

29、的只是沮喪，其學(xué)習(xí)的積極性也許會(huì)大打折扣；我們平時(shí)總是埋怨學(xué)生學(xué)習(xí)不積極主動(dòng)，而很少找自身的原因：我們給學(xué)生創(chuàng)設(shè)主動(dòng)學(xué)習(xí)的氣氛了嗎？我們注意調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性了嗎？當(dāng)然，指出學(xué)生的錯(cuò)誤是必要的，也是必須的！但要講究評(píng)價(jià)的藝術(shù)，比方可以這樣評(píng)價(jià)：其思路清晰，步驟完整，只可惜結(jié)果錯(cuò)誤，不然就是很完美的了！這樣，即保護(hù)了學(xué)生的積極性，又讓學(xué)生自己感到遺憾，今后應(yīng)該汲取教訓(xùn)。九、關(guān)于學(xué)生的能動(dòng)性問(wèn)題案例11 復(fù)習(xí)不等式的應(yīng)用教師出示如下的訓(xùn)練題：將一堆蘋(píng)果分給幾個(gè)孩子，假設(shè)每人5個(gè)，還剩12個(gè)；假設(shè)每人8個(gè)，那么有一個(gè)孩子分到的蘋(píng)果缺乏8個(gè)。問(wèn)有多少個(gè)蘋(píng)果？幾個(gè)孩子？教師給學(xué)生幾分鐘的思考時(shí)間，然后

30、到講臺(tái)上去講解自己的解題方法。生1：設(shè)有x個(gè)孩子，那么有蘋(píng)果5x+12,根據(jù)題意可得：15x+128x18，解得：4x，x=5，6。課堂上絕大多數(shù)學(xué)生都是運(yùn)用這種方法，但教師并沒(méi)有就此打住，而是進(jìn)一步提出問(wèn)題：哪位同學(xué)有不同的想法？生2：設(shè)有x個(gè)孩子，那么有蘋(píng)果5x+12,根據(jù)題意可得：8x15x+128 x。師：請(qǐng)你解釋一下式子的含義？生2：類似的例子：試卷講評(píng)課題目 ：如圖18，AB是O的直徑，ABC=60，弦AC=6，BCD=120，那么BD= .ABCDOE圖18教師：你們認(rèn)為哪道題最需要幫助？學(xué)生：幾個(gè)學(xué)生主動(dòng)到講臺(tái)上去講解自己的解題思路：生1：由AB是O的直徑，ABC=60可知A=30，ACB=90，D=30,BC=.在等腰三角形BCD中，應(yīng)用三角函數(shù)就可求得 BD的長(zhǎng)為6。生2：由條件可知A=ABE=30, D=DBC=30,EA=EB，EC=ED。BD=AC=6。評(píng)析：?jiǎn)栴}讓學(xué)生思考，思路讓學(xué)生講解，教師給學(xué)生提供了充分發(fā)揮自己能動(dòng)性的時(shí)空，給學(xué)生提供了展現(xiàn)自己風(fēng)采的舞臺(tái)，這樣，學(xué)生才會(huì)學(xué)得積極，學(xué)得主動(dòng)，學(xué)習(xí)才會(huì)高效；教師沒(méi)有滿足于問(wèn)題的解決與答案的正確，而是引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問(wèn)題，正是由于此，才有了學(xué)生2的別具一格的解法！否那么的話，這樣一種好的想法豈不被埋沒(méi)？學(xué)生2豈不也失去了展現(xiàn)自己風(fēng)采的一次時(shí)機(jī)？這是腰山二中