借圖形之力促概念建立

1、借圖形之力，促概念建立百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識教學(xué)案例研究【研究背景】數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)和形的關(guān)系非常密切。把數(shù)和形結(jié) 合起來,能夠使抽象的數(shù)學(xué)知識形象化，形象的圖形數(shù)學(xué)化。用數(shù)形結(jié)合思想幫助理解算理、 數(shù)量關(guān)系，早已在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分重視、應(yīng)用，并效果不菲。百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是人教版六 年級上冊第六單元的第一課時(shí)，是小學(xué)階段百分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的起始，是拓展學(xué)生“數(shù)”的知識的 重要一課。如何轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)單一的概念建構(gòu)模式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，有效促進(jìn)學(xué)生對百分 數(shù)概念的深刻理解和建構(gòu)呢？我們以“借形助數(shù)”為切入口，進(jìn)行了麿課研究。授課老師是 有十幾年教齡的許老師。第一次試教過程：材料太少一一感悟欠深（片斷

2、一：百分?jǐn)?shù)的引入）1圖1出示3名籃球隊(duì)員的投籃成績。（圖1）投中個(gè)數(shù)投籃總個(gè)數(shù)1號5202號7253號1150師：這是三位隊(duì)員的投籃成績，從數(shù)學(xué)的角度看，你認(rèn)為誰投籃最準(zhǔn)？2、接著教師引導(dǎo)得出應(yīng)該先求出投中個(gè)數(shù)占投籃總數(shù)的幾分之幾，適時(shí)出示圖2投中個(gè)數(shù)投籃總個(gè)數(shù)投中個(gè)數(shù)占投籃總數(shù)的幾分之幾投中個(gè)數(shù)占投籃總數(shù)的百分之幾1號5205/2025%2號7257/2528%3號115011/5022%（圖2）師：這里的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)，哪一個(gè)能更清晰地看出2號隊(duì)員投籃最準(zhǔn)？為什么？師小結(jié)：百分?jǐn)?shù)比一般的分?jǐn)?shù)更便于比較。（片斷二：百分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)）1、請學(xué)生說說命中率28%勺意義。2、PPT出示82頁情境圖中

3、的百分?jǐn)?shù)。師：這里有許多不同的百分?jǐn)?shù)，請同學(xué)們選擇一個(gè)自己喜歡的，向大家介紹這個(gè)百分?jǐn)?shù)的意義生答，師引導(dǎo)概括為： 命中率28%： （投中個(gè)數(shù)）是（投 籃 總數(shù)）的28%。 電腦軟件安裝14%： （已安裝的）是（總數(shù)）的14%。 車輛銷售比去年同期增長120%： （增長的數(shù)量）是（去年同期）的120%。引導(dǎo)小結(jié)：百分?jǐn)?shù)表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾，百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比3、練習(xí)辨析，小結(jié)。【研究者對第一輪實(shí)踐的評價(jià)】（1）百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)是學(xué)生對“數(shù)”學(xué)習(xí)的拓展。為什么要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)，是“概念為本”教 學(xué)的核心。教學(xué)中，能突出概念學(xué)習(xí)的核心，創(chuàng)設(shè)“三個(gè)學(xué)生投籃研究命中率”的問題情境 導(dǎo)入百分?jǐn)?shù)的學(xué)

4、習(xí)，既符合學(xué)生實(shí)際，也符合概念為本教學(xué)的要求，是必要且有效的。（2）引入部分用“圖表”的形式讓學(xué)生比較3個(gè)隊(duì)員誰投籃最準(zhǔn)，形式簡練、清晰，易于 學(xué)生比較、感受。但三個(gè)人物的材料太少，在感受百分?jǐn)?shù)的優(yōu)越上還不夠突出。（3）探究百分?jǐn)?shù)意義部分的學(xué)習(xí)材料來源于課本，形式上也作了引導(dǎo)鋪墊，可以說，重 難點(diǎn)是突出的。但是，這樣照本宣科的處理，并沒有引導(dǎo)學(xué)生真正理解百分?jǐn)?shù)的意義。尤其 是“車輛銷售比去年同期增長120%”這個(gè)百分?jǐn)?shù)的理解就更加困難，許多學(xué)生并不能真正理 解，對百分?jǐn)?shù)意義的感悟不夠深刻。【采取策略】 新課標(biāo)指出：教師是學(xué)生數(shù)學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者。教師要積極利 用各種教學(xué)資源，創(chuàng)造性

5、地使用教材，提供豐富而典型的學(xué)習(xí)材料。經(jīng)過老師們的討論和研 究，我們達(dá)成了共識：教材是教學(xué)的依據(jù)，教材提供的情境、材料是有限的。在實(shí)際教學(xué)中， 我們應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際，靈活、創(chuàng)造性地補(bǔ)充、豐富學(xué)習(xí)材料。因?yàn)椋瑢W(xué)生形成抽象的數(shù)學(xué)概 念，總是從對具體的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行充分感知開始的?；谶@個(gè)理解，許老師開始了第二次實(shí)踐：第二次實(shí)踐過程：只重形態(tài)理解不透（片斷一：百分?jǐn)?shù)引入）1、如前所示出示圖1，討論三個(gè)隊(duì)員的投籃情況，引出分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)。2、師：?；@球隊(duì)共有10名隊(duì)員。這是10名隊(duì)員的投籃成績。多媒體表格的方式補(bǔ)充出示共10個(gè)隊(duì)員的投籃成績。（圖3）隊(duì)員投中個(gè)數(shù)投籃總數(shù)投中個(gè)數(shù)占投籃總數(shù)的幾分之幾投中個(gè)數(shù)占

6、投籃總數(shù) 的百分之幾（命中率）1號5202號7253號11504號3105號5156號7287號10268號23509號114010號930師：這里有校籃球隊(duì)10個(gè)隊(duì)員的投籃成績，用分?jǐn)?shù)你們能馬上判定誰的投籃最準(zhǔn)？ 生：（安靜了好一會兒）太多了，不能馬上比出來，要通分。師（利用多媒體迅速把10個(gè)分?jǐn)?shù)通分，呈現(xiàn)通分后的分?jǐn)?shù)：10個(gè)分?jǐn)?shù)的公分母特別大） 生：哇，分?jǐn)?shù)這么大！還是不能一下子看清哪個(gè)分?jǐn)?shù)最大。師：如果用百分?jǐn)?shù)來比較呢？師適時(shí)把10個(gè)同學(xué)的投籃命中率用百分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)。師：現(xiàn)在你能告訴大家，誰的投籃最準(zhǔn)？（片斷二）：（百分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)）1、 說說投籃命中率28% 25% 22%勺意義。引導(dǎo)小結(jié)

7、，命中率：（投中個(gè)數(shù)）是（投籃總數(shù)）的百分之幾。2、師：這樣的百分?jǐn)?shù)教材中也舉了很多。請同學(xué)們在教材中選擇一個(gè)你喜歡的百分?jǐn)?shù)， 向大家介紹這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意思？理解“安裝完成了14%的意義、“車輛同期銷售增長120%這兩個(gè)百分?jǐn)?shù)的意義。師引導(dǎo)小結(jié)，同樣板書成（）是（）的百分之幾的形式。3、生活中，像這樣的百分?jǐn)?shù)非常多。請你舉一個(gè)你身邊的百分?jǐn)?shù)，說一說它的意義。（老師擇機(jī)板書成（）是（）的百分之幾。）4、 師：黑板上有這么多各式各樣、大小不同的百分?jǐn)?shù)，請大家思考：上面的這些百分 數(shù)，有哪些相同的地方？到底什么是百分?jǐn)?shù)？引導(dǎo)出示百分?jǐn)?shù)表示（一個(gè)數(shù)）是（另一個(gè)數(shù)）的百分之幾【第二次討論】研究組的老

8、師觀課后，一起坐了下來。第二次的教學(xué)實(shí)踐中， 對于感受百分?jǐn)?shù)的優(yōu)越這一環(huán)， 老師們都反映： 運(yùn)用多媒體的“圖 表”形式讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)在比較上的不同，由于材料充分，學(xué)生已經(jīng)很明顯地感受 到了百分?jǐn)?shù)在比較上的優(yōu)越。這一點(diǎn)，是比較成功的?？磥?，形態(tài)上的“圖表”引用在讓學(xué) 生感受“為什么要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)”上是有效的?？墒?，在理解概括百分?jǐn)?shù)的意義這一環(huán)節(jié)中，雖然也列舉了不少生活中、數(shù)學(xué)書中不同 的百分?jǐn)?shù)，并把它們具體的意義排列成了一排，從列舉的量上來說，應(yīng)該是夠充分了。但是， 本次實(shí)踐中，學(xué)生對百分?jǐn)?shù)意義的理解，依靠更多的是對情境圖中百分?jǐn)?shù)的模仿遷移，或是 對老師引導(dǎo)時(shí)小心翼翼的揣測。對到底什么是百

9、分?jǐn)?shù)？也就是百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義到底是什么， 學(xué)生的認(rèn)識理解不夠明晰和深刻。那么，針對我們的學(xué)生實(shí)際，怎樣的教學(xué)才能變抽象為形 象，變表面為深刻，讓學(xué)生真正理解百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義呢？【第二次反思】 老師們的討論和學(xué)生的回答猶如利器劃過心田， 許老師限入了深深的思 考。是啊，老師們都知道，百分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)其實(shí)是一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)比較的一種結(jié)果，是一種 用百分率（百分之幾）來反映的比較結(jié)果?？吹竭@個(gè)百分?jǐn)?shù)，直接想到的是兩個(gè)量之間的一種 比率關(guān)系。而學(xué)生對于百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，難道更多的只停留在“有百分號”的認(rèn)識上嗎？都說 概念課提供的例子一定要充分，難道這個(gè)充分僅僅是指量的增加嗎？在量變的基礎(chǔ)上如何實(shí) 現(xiàn)向質(zhì)的轉(zhuǎn)變

10、，引導(dǎo)學(xué)生真正理解百分?jǐn)?shù)本質(zhì)意義？在此，需要一個(gè)把手可視、可思、可支 撐?！静扇〔呗浴?老師們重新對“借形助數(shù)”進(jìn)行了思考與分析，認(rèn)為：數(shù)形結(jié)合方法的實(shí) 質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來。這里的“形”不僅僅是指材料呈現(xiàn)方式上的， 即形式上的形，當(dāng)然還包括各類圖像、實(shí)物、幾何圖形等等。如果在百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)理解中， 也有合適的“圖”來幫助學(xué)生理解“百分?jǐn)?shù)是兩個(gè)量比較結(jié)果的一種比率關(guān)系” ，那么學(xué)生對 百分?jǐn)?shù)意義的理解將會更加深刻。下面是許老師的第三次實(shí)踐。第三次實(shí)踐：片斷1：（導(dǎo)入教學(xué)不變）片段2：（百分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)）形數(shù)結(jié)合深刻建構(gòu)師：同學(xué)們，通過剛才的比較，我們已經(jīng)知道了2號隊(duì)員的命中率

11、最高：28%誰能向大 家具體地解釋一下，這個(gè)28%勺意思？生：28%表示2號隊(duì)員的投中個(gè)數(shù)是投籃總個(gè)數(shù)的28%師：如果他投籃的總個(gè)數(shù)是100個(gè)，那他投中的個(gè)數(shù)是？生齊：28個(gè)。師：我聽明白了。命中率28%是每投100個(gè)球，中28個(gè)。那如果共投200個(gè)球呢，中幾個(gè)？1000個(gè)球呢，他投中了幾個(gè)？你是怎么想的？如果投了50個(gè)球呢？如果投中了28個(gè)，總共投了幾個(gè)？師：同學(xué)們說得非常好。如果老師用這樣的100個(gè)方格來表示2號隊(duì)員的投籃總數(shù)，你覺得他投中的數(shù)量可以怎么表示？（師出示百格圖）生1:可以橫著涂滿28格。生2:豎著涂28格也可以。生3:橫著豎著都可以，無論怎么涂，只要涂上28格就行。（師用多媒

12、體依次展示了三種不同的涂色方法，每次都涂上28個(gè)。）小結(jié)：28%表示占了100格的28格，無論怎么涂，只要占了這樣的大小就行。師：如果老師用200個(gè)小方格表示投籃總數(shù)，那么他投中的個(gè)數(shù)可以怎么表示？（師多媒體演示200格里面涂上56格）師：你還有其它的涂法嗎？（再演示第二種不同的涂法）師多媒體一起出示百格圖中的28格、200格圖中的56格、50格圖中的14格 師：請同學(xué)們觀察這三幅圖中的28%你有什么發(fā)現(xiàn)？生1:好象是一樣的。生2:涂著色的大小是一樣的。生3:總的格子雖然不同，圖中的格子數(shù)也不同，但是，從前面看，每幅圖中涂色的大小是一樣的。師：是呀，總格數(shù)和涂色的方格都不同，但是，28%所占的

13、大小是一樣的。師：繼續(xù)演示：如果用這樣的10個(gè)方格表示投籃的總數(shù)，投中的個(gè)數(shù)大約是多少?生答：大約是2個(gè)多，3個(gè)不到，準(zhǔn)確地說是2.8個(gè)師繼續(xù)圖示：如果把這10格翻轉(zhuǎn)，縮減成這樣的一條線段表示投籃的總個(gè)數(shù)，2號隊(duì)員投中的個(gè)數(shù)大概是多少？請你比劃比劃。1-總生答略。師利用多媒體課件把100格圖、200格圖、50格圖、10格圖、線段圖放在一起，引導(dǎo)學(xué) 生分析感受：這些圖例都可以用28%表示。從而引導(dǎo)小結(jié)：命中率28%是 （投中個(gè)數(shù)）和（投 籃總數(shù)）比較的一種結(jié)果，表示（投中個(gè)數(shù)）占（投籃總數(shù)）的28%反映的是這兩個(gè)量之 間的一種比率關(guān)系。如此，在上述的問題情境中，以“問題”為導(dǎo)向，借助直觀的格子圖

14、、線段圖，通過不斷 的層層追問，進(jìn)一步深化了學(xué)生對百分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識。在這個(gè)過程中，因?yàn)橛辛诵蜗蟮摹皥D” 作為支撐，再通過不斷的追問引導(dǎo)，學(xué)生在思維上、情感上經(jīng)歷了模糊、若有所思、茅塞頓 開、悠然心會的過程，對百分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)都有了更深切的體會。而后，教師再引導(dǎo)學(xué)生交流了許多生活中常見的百分?jǐn)?shù)素材（如：班級男女生人數(shù)百分比、 校園綠化覆蓋率、電腦下載率等等引導(dǎo)抽象出百分?jǐn)?shù)的意義）【課后收獲】第三次實(shí)踐得到了專家朱樂平老師的肯定與指導(dǎo)。他認(rèn)為，借形思數(shù)是一 種有效地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的好辦法。特別是在“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”中，能想到用格子圖、線段圖 幫助學(xué)生深刻理解百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義更是一次有意義的嘗試，在其

15、它的概念教學(xué)中，我們也 可以引薦。是的，“數(shù)形結(jié)合”，不僅僅是指形態(tài)上的巧妙遷移，更重要的，是要將抽象的數(shù) 學(xué)概念和形象的實(shí)物、圖形、線段結(jié)合起來，變抽象為直觀，把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，同 時(shí)，又將形的變化慢慢地抽象成數(shù)學(xué)符號，從而完成了抽象一一形象一一抽象的數(shù)學(xué)化過程 看來，用圖形這根“拐杖”幫助學(xué)生理解抽象的百分?jǐn)?shù)意義是有效且可行的?！狙芯繂⑹尽慷鞲袼拐f過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根 據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量 關(guān)系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找 解題思

16、路，使問題化難為易，化繁為簡。華羅庚先生也說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入 微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，促進(jìn) 學(xué)生更深刻的建構(gòu)概念、理解概念？通過本次的實(shí)踐研究，有幾點(diǎn)啟示：一、 “概念為本”教學(xué)的核心，是要有意義的建構(gòu)概念。為什么要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)？有了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、負(fù)數(shù)，為什么還要學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)，學(xué)習(xí)百 分?jǐn)?shù)有什么意義？新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)識發(fā)展水平和已有的知識 經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。要關(guān)注學(xué)生的持續(xù)研究意識。所以，百分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)，從生活中導(dǎo)入，引 導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的必要性和意義，讓學(xué)生真切地感受到，百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)是有意義的， 也

17、是必要的。同時(shí)，要重視提供生動有趣的、有意義的學(xué)習(xí)素材，向?qū)W生提供充足、豐富而 典型的感性材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，豐富自己的感性認(rèn)識。二、形數(shù)結(jié)合，豐富形的內(nèi)涵。數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來。這里的“數(shù)”可以是 數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式及用語言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指 幾何圖形，還包括各類圖像、實(shí)物類教學(xué)資源等形象材料， 以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息的 方式等等。 在實(shí)際教學(xué)中， 以“形”助“數(shù)”，形數(shù)結(jié)合，要根據(jù)不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不同的 學(xué)生，因地制宜。形態(tài)上的比較，實(shí)物的演示操作，線段、圖形的觀察分析研究，都可以成 為幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的拐杖。三、及時(shí)“數(shù)學(xué)化”，完整學(xué)生概念的建構(gòu)。借圖形之力，促概念建立。說到底，構(gòu)建概念是目的，圖形只是手段。在引導(dǎo)學(xué)生對形 進(jìn)行觀察比較的同時(shí)，要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對形進(jìn)行分析、思考、概括，從而合理地“數(shù)學(xué)化”。如第三次實(shí)踐中，老師在引導(dǎo)學(xué)生比較百格圖、20