高中數(shù)學好題速遞400題（251—300）

1、好題速遞251題設為正整數(shù)，方程在區(qū)間內有兩個不同的根，則的最小值是 解：于是問題轉化為直線與打勾函數(shù)的圖象的兩個交點的橫坐標均在區(qū)間內，于是注意到為整數(shù)，于是在區(qū)間上存在整數(shù)的充要條件為解得故的最小值為6，而的最小值為7，則的最小值為13好題速遞252題已知，求的最小值是 解法一：令，則因此，整理得故用判別式，解得解法二：設，條件轉化為，即所求代數(shù)式轉化為的最小值由此可有斜率角度求值域：，（視為單位圓上的點與連線斜率），則也可由三角函數(shù)角度求值域：評注：這里因為遇到的結構，故三角換元設，。解法三：數(shù)形結合當時，點為上的一點，則如圖，就是典型的“飲馬問題”，點關于直線的對稱點到軸的距離為當時，

2、點為上的一點，則而于是好題速遞253題如圖，直線與平面，垂足是，正四面體的棱長為4，點在平面上運動，點在直線上運動，則點到直線的距離的取值范圍是 解：題意中是點是定點，正四面體運動，但始終保持不變不妨反過來換位思考，將正四面體固定下來，讓點在以為直徑的球面上運動，如圖所示。接下來可以得到點到直線的距離的取值范圍就是球心到直線的距離減去球的半徑與球心到直線的距離加上球的半徑之間，即好題速遞254題已知，對任意滿足的實數(shù)，都有成立，則的最大值是 解法一：顯然于是問題轉化為求的最大值當時，容易得到，由圖可知直線在上的值域為的子集，于是斜率必然在內，故從而當時，原式取到最大值為40解法二：絕對值不等式

3、因為故，同解法一練習：若對任意滿足的實數(shù)，都有成立，則的取值范圍是 如圖，易得點評：本題就是將一次函數(shù)轉變?yōu)槎魏瘮?shù)，異曲同工。好題速遞255題已知圓為的外接圓，且，若，則的最大值為 解：如圖，延長交邊于點，設則由三點共線可知，從而顯然當取最小值，即時，取得最大值，此時為等腰三角形，可得好題速遞256題已知非零向量和互相垂直，則和的夾角余弦值的最小值是 解：令，則好題速遞257題已知正數(shù)滿足，則的取值范圍是 解：設，則又因為即，解得當且僅當時，；當且僅當時，好題速遞258題已知實數(shù)，若，則的最小值是 解法一：待定系數(shù)法待定系數(shù)法，令，解得故，當且僅當時取得解法二：令，即時，當且僅當時取得解法三

4、：三角換元設，原問題轉化為，求的最小值令，故問題又轉化為已知，求的最小值于是因為，故評注：這里又遇到的結構，故可三角換元設，10月1日每日征解有相同的處理方法。好題速遞259題已知中，點是線段上一點，且，則的取值范圍是 解：根據(jù)，可知在以為直徑，以中點為圓心的圓上。又，且，根據(jù)投影的幾何意義為點在的中垂線上，又點在上，故點就是線段的中垂線與線段的交點又，故問題轉化為當點在以為直徑的圓上運動時，求的取值范圍顯然當與重合時，與接近重合時，故好題速遞260題在正方體中，若點（異于點）是棱上一點，則滿足和所成的角為的點有 個 解：如圖，將正方體的各個頂點（除B點外）分類，規(guī)定當頂點與的連線與直線所成的

5、角大于等于時為一類，小于時為一類。顯然與所成角的正切值為，故大于與所成角的為，大于與所成角的為，大于與所成角的正切值為，小于當點從運動到時，角度從大于變化到小于，一定經(jīng)過一個點滿足；依此類推，當點在上運動時，都經(jīng)歷過角度從小于到大于的變化，故滿足條件的點共有3個。點評：本題雖然是立體幾何問題，但類似于函數(shù)的零點存在性定理（一上一下中間一點），角度的變化不會發(fā)生突變，故在變化的過程中一定存在一個臨界點。這種思想在處理選擇題時經(jīng)常用到。好題速遞261題在中，是邊上一點，若的外心恰在線段上，則 解：設因為是等腰三角形，故，即故有再對上式兩邊同時與作數(shù)量積，有，得故由余弦定理得即點評：本題的一個難點在

6、于從等腰三角形想到在方向的分量一樣，即系數(shù)一致求出。其次還是向量與外心合作的老套路點積轉邊長。好題速遞262題已知平面和相交形成的四個二面角中的其中一個為，則在空間中過某定點與這兩個平面所成的線面角均為的直線有 條解：設平面和平面過點的法線（垂直于平面的直線）分別為，則而直線與兩個平面所成的線面角均為可轉化為直線與法線所成的角均為由“雞爪定理”可知，直線與法線所成角為的直線有3條。點評：平面的法向量是平面方向的代表。“雞爪定理”：如圖，若直線所成角為，則與直線所成角相同的直線一定在直線的角平分面上，且該角的取值范圍是和其中與就是直線正好為直線的兩條角平分線時，就是垂直時取得。好題速遞263題已

7、知向量滿足，則最大值為 。解法1：（方程構造法）構造方程則，當且僅當，且時，上式等號成立解法2：（不等式法）對于條件，則有，又因，則有，則，因此最大值為解法3：（極化恒等式法）設，取的中點為，對于，因可以變化，當趨向于度時，趨向于，而，則，因此最大值為好題速遞264題已知過點，且斜率為的直線與圓：相交于兩點則 解法1：（普通方法）設直線與圓的交點為，則，由直線與圓聯(lián)立得，因此有，因此可得解法2：（極化恒等式）如圖所示，取的中點為，則，由極化恒等式可得點評：這里的極化恒等式并沒有出現(xiàn)在三角形中，但仍然適用。其本質就是圓的切割線定理。好題速遞265題已知為雙曲線上經(jīng)過原點的一條動弦，為圓：上的一個

8、動點，則的最大值為 。解法1：（普通方法）設，滿足；設，滿足，因此，因此的最大值為解法2：（借助于極化恒等式）如圖所示，為的中點，由極化恒等式可得，而，因此的最大值為好題速遞266題在平面直角坐標系中，是軸正半軸上的兩個動點，（異于原點）為軸上一個定點，若以為直徑的圓與圓相外切，且的大小為定值，則 解：設以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則可設由兩圓相外切得而，因為是定值，所以為常數(shù)，所以好題速遞267題已知等比數(shù)列的公比，其前項和為，若，則的最小值為 解法1：從等比數(shù)列的基本量入手由得，得所以令，則當且僅當時取得等號。解法2：從等比數(shù)列的性質入手因為等比數(shù)列有性質：將代入，得又因為得，即，因為，

9、所以所以，當且僅當時取得等號。好題速遞268題已知，點，過原點的直線（不與軸重合）與交于兩點，則的外接圓的面積的最小值為 解：，要求外接圓的面積的最小值，即求的最小值，即求的最大值設，由極化恒等式知故故所以，所以，好題速遞269題已知數(shù)列的前項和分別為，記，若，則數(shù)列的前2015項和為 解：當時，當時，好題速遞270題鈍角中，則 解：由得故故或由于為鈍角三角形，故，所以好題速遞271題在中，若，則的最小值為 解：常規(guī)思路“切化弦”好題速遞272題在平面直角坐標系中，設是圓上相異的三點，若存在正實數(shù)，使得，則的取值范圍是 解：設，則，于是由得故，兩式平方相加得，即又故即，畫出可行域如圖，目標函數(shù)

10、視為可行域內的點到的距離的平方，所以的最小值為所以好題速遞273題若對于滿足的一切實數(shù)t，不等式恒成立，則x的取值范圍為 解：原不等式化為，或，或點評：本題常規(guī)的解法應該是將視為主元，將視為系數(shù)去解，但這個關于的不等式是三次不等式，不好處理，所以本題的解法是將不等式因式分解后先化簡，在轉為恒成立問題。這個題目的解法也可以處理浙江省2012年高考題。（2012浙江理17）設R，若時，均有，則 本題有很多解法前面已經(jīng)介紹過，這里用本題采用的方法再來處理一次。解：將視為關于的二次不等式，即整理為因為，故，當當時，則，所以即，即當時，則，所以即，即綜上，好題速遞274題ABCDOyx如圖，在平面直角坐

11、標系xOy中，橢圓被圍于由4條直線，所圍成的矩形ABCD內，任取橢圓上一點P，若(、)，則 解：設P(x,y)，由(x,y)=m(a,b)+n(-a,b)=(am-an, bm+bn)好題速遞275題若X是一個非空集合，M是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足： XM、M； 對于X的任意子集A、B，當AM且BM時，有ABM； 對于X的任意子集A、B，當AM且BM時，有ABM；則稱M是集合X的一個“M集合類”例如：是集合的一個“集合類”已知集合，則所有含的“集合類”的個數(shù)為 解：的子集有8個，為：,.中必含、，另5個元素,再分配。注意到=，=，=，故若在中，則也在中，若在中，則也在中，若與在中

12、，則也必在中.故對這5個元素在中的搭配情況進行分類：5個都不取，即=，1個；從、中各取一個充入，有3個；從、中各取一個充入，有3個；從、中各取一個充入，有4個；把充入，有1個；故共有12個好題速遞276題設是非零向量，且，則的最大值是 解法一：（代數(shù)角度運算）令，則題目簡化為，求的最大值，故aOABb3b2bMC2解法二：（幾何角度）畫出，的幾何圖形，即，問題變?yōu)榈膬蛇叿謩e為1和2，求中線的長度的最大值。（即構造平行四邊形，發(fā)現(xiàn)三角形兩邊之和大于第三邊，當構不成三角形時取得等號），故ABCM解法三：（坐標角度）將畫成如圖形狀，則點在以為圓心，1為半徑的圓上運動，再求中線的最大值。本題還可以建系

13、設點做，設，則即點評：本題是一個向量的好題，妙在可以從代數(shù)、幾何和坐標運算三種常見角度操作。一般地，向量模長問題，平方就是代數(shù)運算，不平方是幾何意義，必要時活用坐標建系。好題速遞277題（須凌峰供題）在，以為一邊向外作等邊，若，則 解：注意到又是求向量系數(shù)之和，故可以用三點共線來做。ABDC E F如圖，延長與交于則，且故設，則，即，即是等腰直角三角形，故，所以，故故點評：本題入手是由三點共線，在處理的過程中利用三倍角的正切公式來處理條件中的二倍角關系，不知道是否有初中的平面幾何知識可以迅速確定是等腰直角三角形。好題速遞278題（須凌峰供題）已知，則 解法一：代數(shù)方法由得故ABCEDFGH解法

14、二：幾何方法由可以畫出如右圖的其中兩條中線垂直，即，且為的中位線。注意到點恰好是的重心，所以連結交于，則是的中點，即 故又因為為直角三角形，故，所以又是的重心，所以，為的中位線，所以所以好題速遞279題（賴尚毅供題）正方體棱長為1，為棱的中點，則三棱錐的體積 解法一：等體積轉換如圖1，故，故再如圖2，取的四等分點，則故，解法二：作面的延伸本方法的初衷就是利用兩個三棱錐的體積成比例，求出容易求的三棱錐體積，從而利用比例進行轉化。注意到三棱錐與三棱錐是共底面的，所以它們的體積之比就是到的距離與到的距離之比（）。如圖，作與的延長線交于，連結交于易得，故，故而所以好題速遞280題已知橢圓和圓，橢圓的左

15、右焦點分別為，過橢圓上一點和原點作直線交圓于兩點，若，則 解：先處理焦點三角形，設，則解得又因為，故所以好題速遞281題（2012杭州一模）設對任意實數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為 解法一：令，則令，則故的最小值為解法二：待定系數(shù)法與題中所給不等式相比對，待定系數(shù)可得解得，故故的最小值為好題速遞282題已知是雙曲線右支上一點，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點， 若，則 解：由知是的角平分線又，故延長交于，則的角平分線又是高線，故是等腰三角形，因為，故，故注意到還是的中點，所以是的中位線，所以好題速遞283題設，則 解：這種特殊的遞推關系，一旦沒有思路，先做幾項找找規(guī)律就是最好的辦法。

16、算出，找規(guī)律發(fā)現(xiàn)所以嚴格證明時就能想到辦法，去證是等比數(shù)列，故，得，點評：一般數(shù)列題中不常見的特殊遞推關系或這為了應景而求有2015這樣大數(shù)據(jù)出現(xiàn)時，題目往往有規(guī)律，例如周期數(shù)列或者能觀察猜測出數(shù)列通項。由特殊到一般，完成題目。好題速遞284題已知梯形，且，雙曲線過三點，且以為焦點，當時，離心率的取值范圍是 解：以線段的中垂線為軸，直線為軸，建立直角坐標系，則軸設由得，即，設雙曲線方程為，則由點在雙曲線上，得由（1）得代入（2）得整理得因為，故，好題速遞285題已知圓心角為120 的扇形AOB半徑為，C為 中點點D，E分別在半徑OA，OB上若CD 2CE 2DE 2，則ODOE的取值范圍是 解

17、：設ODx, OEy. 利用余弦定理,得DC2x2+1x;EC2y2+1y;DE2x2+y2+xy.代入CD 2CE 2DE 2得問題又轉化為常見的代數(shù)問題：已知，求的取值范圍。解法一：設 ，則于是是關于的二次方程的兩個位于上的實數(shù)根故，解得解法二：由化簡得故解得好題速遞286題若關于的方程（其中）有實數(shù)根，則的最小值為 解：本題思路是轉換主元，將關于的方程看成關于的直線方程，于是目標視為直線上的點到原點的距離平方原點到直線的最短距離的平方（令）當且僅當時，的最小值為點評：同學們，你們還記得之前做過的幾道比較經(jīng)典的轉換主元的題目嗎？找找看，把幾道題目放在一起，發(fā)現(xiàn)它們的門道。好題速遞287題設

18、數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則數(shù)列的公比為 解：，又故是方程或的根，顯然第一個方程的解是不符合，舍去，故又由又，故綜上可得好題速遞288題已知二次不等式的解集為，且，則的最小值為 解：顯然且，故，又，故，好題速遞289題已知關于的方程有唯一解，則實數(shù)的值為 解：這個方程顯然直接解方程比較困難，因此越復雜的函數(shù)與方程越要從它的結構和性質入手來處理，我們可以發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)是偶函數(shù)，故零點必關于原點對稱。又由題意知函數(shù)的零點唯一，故必有且僅有解得或注意有兩解的情況要引起重視，往往需要檢驗。經(jīng)檢驗，當時，的零點不唯一，故好題速遞290題若函數(shù)對任意實數(shù)，在閉區(qū)間上總存在兩實數(shù)，使得成立，則實

19、數(shù)的最小值為 解：式子描述的是函數(shù)在區(qū)間上的“身高”而由的任意性可知，題目只與函數(shù)的“形狀”有關，與位置無關。與“相似”的標準二次函數(shù)是又因為函數(shù)在長度為2的區(qū)間內的“身高”恒大于等于8，故只需“最矮”時大于等于8即可。由二次函數(shù)圖象，顯然可以發(fā)現(xiàn)當區(qū)間關于對稱軸對稱時，圖象“最矮”故只需，即好題速遞291題已知等差數(shù)列的通項公式為，公比為的等比數(shù)列滿足恒成立，且，則公比的取值范圍是 解：由得從結構分析，等比數(shù)列是指數(shù)型函數(shù)上孤立的點，等差數(shù)列是一次型函數(shù)上孤立的點已知指數(shù)函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象至少在時有一個交點如果只有這一個交點，那么指數(shù)函數(shù)其他點都在一次函數(shù)上方；如果指數(shù)函數(shù)與直線有兩個交

20、點，那么或5的點，指數(shù)函數(shù)圖象必須在直線上方故只需滿足，即得好題速遞292題已知圓為單位圓，為圓上兩點，以為邊作正方形，則的取值范圍是 解：本題我們使用轉化的思想來解決。在圓上固定一點，點在圓上運動，點滿足，且。故點繞點旋轉后即得點故把圓繞點旋轉后得到圓即為點的軌跡，如圖所示。顯然，即好題速遞293題在等差數(shù)列中，記數(shù)列的前項和為，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 解：，即記因為故為單調遞減數(shù)列，從而由條件得，解得好題速遞294題已知函數(shù)，若關于的不等式的解集為空集，則實數(shù) 解：問題轉化為對恒成立，求實數(shù)的值解法一：絕對值函數(shù)分類討論可以，略解法二： 參變分離法，即令在上單調遞增，故，令（這

21、里也可以用導數(shù)去求）當且僅當時取得等號，故故，即解法三：的幾何意義為函數(shù)與直線函數(shù)值之差的絕對值，又因為所求的為定值，故直線應在平面內“動彈不得”，故圖象應如右圖，其中直線被線段、控制著無法“動彈”，故應該有，點評：本題雖然是三次函數(shù)，可能不太適合目前的高考，但將三次函數(shù)改為二次函數(shù)就是常見的絕對值問題了。處理絕對值問題，最基本的是分段函數(shù)藕斷絲連分類討論處理，但如果求的字母系數(shù)為1次，便于參變分離的話，法二的參變分離也是好方法。法三利用了幾何圖象特征，特別是在注意到為定值時，讓看似運動的圖象固定下來，不失為做選擇填空小題的捷徑。好題速遞295題已知數(shù)列滿足，它的前項和為若，則的值為 解：，兩

22、式相加得，即，所以這個數(shù)列是周期數(shù)列，點評：本題其實是周期函數(shù)改編而成的周期數(shù)列。判斷抽象函數(shù)是周期函數(shù)的口訣是“同號周期”，還可以有下列幾個常見的形式。（1）恒成立，則為的周期數(shù)列；（2） 恒成立，則為的周期數(shù)列；（3） 恒成立，則為的周期數(shù)列；（4）若 且，則為的周期數(shù)列；（即兩條對稱軸就有無數(shù)條對稱軸，就是周期函數(shù)）（5）若 且，則為的周期數(shù)列以上這些結論不要求記憶，大家可以結合周期函數(shù)的角度，自行推導一下，加深印象。當然這類遞推關系式，考試時如果想法就算幾項出來也能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。好題速遞296題若單調遞增數(shù)列滿足，且，則的取值范圍是 解：，兩式相減得故數(shù)列單調遞增，只需即可得不等式解得好題速遞297題已知均為銳角，且，則的最大值是 解：由化簡得當且僅當時取得等號好題速遞298題已知函數(shù) ，且，則 .解：當為奇數(shù)