勾股定理綜合性難題及答案

1、勾股定理練習題1、如圖，己知：在中，匕4。3=90。，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等 2、直角三角形的面積為S斜邊上的中線長為，則這個三角形周長為（）（A）y/d2 + S+2d椅-S-d(C)2d + S + 2d(D)2d + S + d3、如圖所示，在 RtABC ,ABAC = 90 :AC = AB,ZDAE = 45 °BD = 3ACE = 4,求DE的長.C4、如圖在RtAABC中,匕0 = 90A,人0 = 4,30=3,在riaabc的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形。如圖所示:要求

2、：在兩個備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標明拼接的直角三角 形的三邊長（請同學們先用鉛筆畫出草圖，確定后再用0.5mn的黑色簽字筆畫出正確的圖形）5. 已知：如圖，AABC中，ZC = 90：點。為ZXABC的三條角平分線的交點，ODLBC, OE± AC, OF1AB,點D、E、F分別是垂足，且 BC = 8cm, CA = 6cm,則點O到三邊AB,AC和BC的距離分別等于cm第5題圖6. 如圖，在AABC中，AB=AC, P為BC上任意一點，請說明： AB2-AP2=PBXPCo7.在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；

3、另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米?8.長為4m的梯子搭在墻上與地面成45。角，作業(yè)時調整為60。角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m.9.BC上，且DE已知：如圖，AABC中，±DF,求證：AE2+BF2=EF2.10.己知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點且CE= 4求證：AF±FE.11.已知AABC中，a2+b2+c2-10a+24b+26c-338,試判定AABC的形狀，并說明你的理由.12.已知a、b、c是AABC的三邊，5. a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷三

4、角形的形狀13.如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細線從點A開始經(jīng) 過四 個側面纏繞一圈到達點B,那么所用細線最短需要多長？如果從點A開始經(jīng)過四個側面纏 繞n圈 到達點B,那么所用細線最短需要多長？14.三角形的三邊長為=疽+20,則這個三角形是（）（A）等邊三角形（B）鈍角三角形（C）直角三角形（D）銳角三角形勾股定理練習題答案1、如圖，已知：在&招。中，ZAC3=90。，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等2、直角三角形的面積為S,斜邊上的中線長為d,則這個三角形周長為(A ) Jd+ S + 2<

5、;7= a)222解：設兩直角邊分別為b,斜邊為c,則c = 2d 2.由勾股定理，得a-+b=c .(a + bA = a2 + 2ab + b 2 = c2 + 4S = 4d' + 4S所以所以 a+b = 2Vd 2 + S以 a + /? + c= 2 捐可 M + 2d.故選(。3、如圖所示，RtAABC 中，ZBAC = 90。, AC? = AB,ZDAE = 45。且 BD = 3CE = 4 ADE 的長.解：如右圖：因為AABC為等腰直角三角形，所以ZABZ) = ZC = 45 °所以把MEC繞點A旋轉到AFB，貝U AAFB = AAEC.所以BF

6、= EC = 4,AF = AE,ZABF = ZC = 45° a°f所以少"為直角三角形.由勾股定理，得DF2= BF 2 +切2 = 42 + 32 = 52 .所以班=5 .因為 ZDAE = 45；所以 ZDAF = ZDAB + ZEAC = 45 :所以叫十所以de = DF=5 4、如圖在 RtAABC中；NC = 9QP,AC = 4,3C=3,在r/abc的外部拼接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形。如圖所示要求：在兩個備用圖中分別畫出兩種與示例圖不同的拼接方法，在圖中標明拼接的直角三角形 的三邊長（請同學們先用鉛筆畫出草圖，

7、確定后再用 0.5mn的黑色簽字筆畫出正確的圖形）解：要在RtAABC的外部接一個合適的直角三角形，使得拼成的圖形是一個等腰三角形，關鍵是腰與底邊的確定。要求在圖中標明拼接的直角三角形的三邊長，這需要用到勾股定理知識。下圖中的四種拼接方法供參考。5已知：如圖，AABC中，ZC = 90AC和BC的距離分別等于OE±AC, OF±AB,點D、E、F分別是垂足, 則點O到三邊AB,點O為AABC的三條角平分線的交點，OD± BC,cmv BC = 8cm, CA = 6cm,F 第5囲到第6題圖6. 如圖，在AABC中，AB=AC, P為BC上任意一點，請說明： AB

8、2-AP2=PBXPCo作 AD1BC 交 BC 于 D, AB2=BD2+AD2 (1) AP2=PD2+AD2 (1)-得：AB2-AP2=BD2-PD2,.? AB2-AP2= (BD+PD) (BD-PD) , VAB=AC, . D 是 BC 中點， .?.BD+PD=PC, BD-PD=PB, AAB 2-AP2=PB-PC7.在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處；另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高多少米?8.長為4 m的梯子搭在墻上與地面成45。角，作業(yè)時調整為60°角（如圖所

9、示），貝U梯子的頂 端沿墻面升咼了m.9. 已知：如圖，AABC中，ZC=90° , D為AB的中點，E、F分另U在AC、BC上，且DE ±DF，求證：AE2+BF2=EF2證明：過點A作AM BC ,交FD延長線于點M ,% I /連接 EM . ?. AM BC，zMAE =匕 ACB=90 , zMAD=zB .AD=BD , zADM=zBDF , .?. ADM 竺ABDF . . .AM=BF , MD=DF .X /DE ±DF z /.EF=EM . /.AE 2+BF2=AE2+AM 2=EM2=EF2 .1CjD10.已知：如圖，在正方形 AB

10、CD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點且CE= 4求證：AFXFE.解：連結AE ,設正方形的邊長為4a ,計算得出 AF , EF , AE 的長，由 AF2 + EF2=AE2 得 A1FE11.已知ZkABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,試判定AABC的形狀，并說明你的理 由.解：原式變?yōu)?(a-5) 2+ (b-12) 2+ (c-13) 2=0 所以 a=5 , b=12 , c=13所以a2+b2=c2所以 ABC為直角三角形。12.已知a、b、c是AABC的三邊，且a2c2-b2c2=a4-b4，試判斷三角形的形狀13.如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細線從點A開始經(jīng) 過四 個側面纏繞一圈到達點B,那么所用細線最短需要多長？如果從點A開始經(jīng)過四個側面纏 繞n圈 到達點B,那么所用細線最短需要多長？將長方體展開，連接 A、B，AA'=l+3+l