九年級數學第4講二次函數探究_二次函數與平行四邊形的綜合問題教案

1、小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料1二次函數與平行四邊形的綜合問題知識點二次函數綜合；平行四邊形的性質及判定；教學目標1.熟練運用所學知識解決二次函數綜合問題2 .靈活運用數形結合思想教學重點巧妙運用數形結合思想解決綜合問題；教學難點靈活運用技巧及方法解決綜合問題；復習預習平行四邊形的判定與性質1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2性質：平行四邊形兩組對邊分別平行；2平行四邊形兩組對邊分別相等；3平行四邊形兩組對角分別相等；4平行四邊形的對角線互相平分；3.判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3兩組對角分別相等的四邊形是平行

2、四邊形；4對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；5一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；知識講解考點 1 二次函數的基礎知識1. 一般地，如果 y=ax2+bx+c (a, b, c 是常數且 0),那么 y 叫做 x 的二次函數，它是關于自變量的二次式，二次項系數必須是非零實數時才是二次函數，這也是判斷函數是不是二次函數的重要依據.當b=c=0 時，二次函數 y=ax2是最簡單的二次函數.2 22. 二次函數 y=ax +bx+c (a, b, c 是常數，a* 0)的三種表達形式分別為：一般式：y=ax +bx+c,通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a (x-h)

3、2+k，通常要知道頂點坐標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a (x-xi) (x-X2),通常要知道圖像與 x 軸的兩個交點坐標 xi, X222b 4ac b2才能求出此解析式；對于 y=ax +bx+c 而言，其頂點坐標為(,-).對于 y=a (x- h) +k2a 4a而言其頂點坐標為(h, k), ?由于二次函數的圖像為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方 向，對稱軸，頂點.考點 2探究平行四邊形的一般思路在探究平行四邊形的存在性問題時，具體方法如下：(1)假設結論成立；(2)探究平行四邊形存在問題一般是已知平行四邊形的3 個頂點，再去求另外一個頂點，具體方法有 兩種：

4、小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料2第一種是：從給定的3 個頂點中任選 2 個定點確定的線段作為 探究平行四邊形的邊或對角線分別作出平行四邊形；根據題干要求找出符合條件的平行四邊形；第二種是： 以給定的 3 個定點兩兩組合成 3 條線段， 分別以這 3 條線段為對角線作出平行四邊形； 根據題干要求找出符合條件的平行四邊形；（3）建立關系式，并計算；根據以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的 性質進行計算， 也可以利用全等三角形、 相似三角形或直角三角形的性質進行計算， 要具體情況具體分 析，有時也可以利用直線的解析式聯立方程組，由方程組的解為交點坐標的方法求解。小

5、初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料3例題精析例 1 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A( 4,0)、B(0, 4)、C(2,0)三點.(1) 求拋物線的解析式；(2)若點 M 為第三象限內拋物線上一動點，點M 的橫坐標為 m MAB 的面積為 S,求 S 關于 m 的函數 關系式，并求出 S 的最大值；(3)若點 P 是拋物線上的動點，點Q是直線y= x 上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q 的坐標.小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料4例 2 如圖，拋物線、-一 X 2x 3與 x 軸相交于A B兩點（點 A 在點

6、B 的左側），與 y 軸相交于點 C, 頂點為 D.（1）直接寫出 A、B、C 三點的坐標和拋物線的對稱軸；（2） 連結 BC 與拋物線的對稱軸交于點E,點 P 為線段 BC 上的一個動點，過點 P 作 PF/DE 交拋物線 于點 F,設點 P 的橫坐標為 m.1用含 m 的代數式表示線段 PF 的長，并求出當 m 為何值時，四邊形 PEDF 為平行四邊形？2設 BCF 的面積為 S,求 S 與 m 的函數關系.小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料52例 3 如圖，拋物線y二x -2X-3與 x 軸交 A、B 兩點(A 點在 B 點左側)，直線I與拋物線交于 A、C 兩點, 其中 C 點

7、的橫坐標為 2.(1 )求 A、B 兩點的坐標及直線 AC 的函數表達式；(2) P 是線段 AC 上的一個動點，過 P 點作 y 軸的平行線交拋物線于 E 點，求線段 PE 長度的最大值；(3)點 G 是拋物線上的動點，在 x 軸上是否存在點 F,使AC、F、G 這樣的四個點為頂點的四邊形是平 行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F 點坐標；如果不存在，請說明理由.小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料62 _ _例 4 如圖，拋物線 y=ax+bx+c 交 x 軸于點 A (-3,0 ),點 B (1,0 ),交 y 軸于點 E (0, -3 ),點 C 是點 A 關于點 B 的對稱

8、點，點 F 是線段 BC 的中點，直線 I 過點 F 且與 y 軸平行，直線 y=-x+m 過點 C,交 y 軸于點 D.(1) 求拋物線的函數表達式；(2) 點 K 為線段 AB 上一動點，過點 K 作 x 軸的垂線與直線 CD 交于點 H,與拋物線交于點 HG 長度的最大值；(3) 在直線 I 上取點 的坐標.G 求線段求點 N小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料7課程小結有針對性的對平行四邊形的性質及判定與二次函數的基礎知識進行復習，有助于為研究二次函數與平行四邊形的綜合問題提供有利的依據。在探究二次函數與平行四邊形的綜合問題時，抓住已有的信息及 條件在函數圖像中構造出平行四邊形，

9、并能運用平行四邊形的性質解決問題，掌握此類問題的解題思路及技巧是解決問題的關鍵。例 1【規(guī)范解答】因為拋物線與 x 軸交于 A( 4,0)、C(2,0)兩點，設 y = a(x + 4)(x 2).代入點1B(0, 4)，求得 a =.2所以拋物線的解析式為y = l(x 4)(x - 2)=丄x2 x - 4.2 21212MD =(-m-4)-( m m-4) m -2m.2 2122所以S=S.MDAS.MDBMD OA - -m-4m - -(m 2)4.因此當m二-2時，S 取得最大值,最大值為 4.(3)如果以點 P、Q B、O 為頂點的四邊形是平行四邊形，分兩種情況討論：x 4

10、.過點 M 作 x 軸的垂線交 AB 于 D ,那么小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料81當 0B 為一邊時，那么 PQ/OB, PQ= OB= 4 .設點 Q 的坐標為(X, _x)，點 P 的坐標為(x,X2 X _ 4).2當點 P 在點 Q 上方時，Jx2 x -4) -(-x) =4解得x = 2_2 5.2此時點 Q 的坐標為(2+2j5,22J5)(如圖 3),或(22j5,2+2j5)(如圖 4).當點 Q 在點 P 上方時，(_x)一(丄x2 x_4) =4.2圖 6【總結與反思】1. 求拋物線的解析式，設交點式比較簡便.2. 把 MA 盼割為共底 MD 的兩個三角形

11、，高的和為定值 0A3當 PQ 與 0B 平行且相等時，以點 P、Q B、0 為頂點的四邊形是平行四邊形，按照P、Q 的上下位置關系，分兩種情況列方程.例 2【規(guī)范解答】(1) A (- 1 , 0), B (3, 0) , C (0, 3).拋物線的對稱軸是 x = 1.(2)直線 BC 的解析式為 y = x+ 3.把 x = 1 代入 y= x + 3,得 y = 2.所以點 E 的坐標為(1, 2).把 x = 1 代入 y =-x22x 3，得 y = 4.所以點 D 的坐標為(1, 4).因此 DE=2因為 PF/DE，點 P 的橫坐標為 m,設點 P 的坐標為(m,-m - 3)

12、，點 F 的坐標為(0m22m 3),小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料9因此FP = ( m22m 3) -(m 3) = -m23m.當四邊形 PEDF 是平行四邊形時，DE=FP 于是得到-m2dmZ.解得m =2,m?= 1(與點小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料10E重合， 舍去). 因此，當 m=2 時,設直線四邊形 PEDF 是平行四邊形時.PFS = S.BCF = S BPF S CPF與 x 軸1 FP OM2交于點1 FP BM2M , 那么OM+BM=OB=3. 因此0 mi3.【總結與反思】1. 數形結合，用函數的解析式表示圖象上點的坐標，用點的坐標表

13、示2. 當四邊形 PEDF 為平行四邊形時，根據 DE=FP 列關于 m 的方程.3. 把 BCF 分割為兩個共底 FP 的三角形，高的和等于 OB例 3【規(guī)范解答】 解：(1 )令 y=0，解得 X1= - 1 或 X2=3,. A (- 1, 0), B (3, 0),將 C 點的橫坐標 x=2,代入 y=x2- 2x - 3,得：y=- 3,二 C (2,- 3);二直線 AC 的函數解析式是：(2)設 P 點的橫坐標為 x (- K xw2),貝 U P、線段的長. P 點在 E 點的上方，PE=( - x- 1)y= - x - 1;E 的坐標分別為：P (x , - x - 1)

14、, E (x ,2129(x- 2x - 3) =- x+x+2=-( x-) +, 當4x2- 2x - 3),1x= 時，PE 的29最大值=;44 個這樣的點F,分別是：Fi(1 , 0),F2(- 3, 0),F3(4+J7, 0), F4(4-眉,0).(3)存在連接 C 與拋物線和 y 軸的交點，那么 CG/ x 軸，此時 AF=CG=2 因此 F 點的坐標是(-3 , 0);小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料11小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料12AF=CG=2A點的坐標為(-1,0)，因此 F點的坐標為(1 , 0);因此 F 點的坐標為(1 , 0);如圖

15、3，此時 C，G 兩點的縱坐標關于 x 軸對稱，因此 G 點的縱坐標為 3，代入拋物線中，即可得出G 點的坐標為（1 土 .7，3）,由于直線 GF 的斜率與直線 AC 的相同，因此可設直線 GF 的解析式為：y= - x+h，將 G 點代入后, 可得出直線的解析式為：y=- x+7.因此直線 GF 與 x 軸的交點 F 的坐標為：(4+、7, 0);同可求出 F 的坐標為：(4 -, 0);綜合四種情況可得出，存在4 個符合條件的 F 點.【總結與反思】、21. 拋物線y=x -2x-3與 x 軸的交點即為 A 和 B,再將 A 和 C 帶入求解直線方程。2. 將點 P 和點 E 坐標設出后

16、，求解最大值。3將已知 AC 邊作為邊或者對角線分類討論求出點坐標。13例 4【規(guī)范解答】(1)設拋物線的函數表達式為y=a(x-1)(x+3).拋物線交 y 軸于點 E ( 0 , -3 ),將該點坐標代入得 a=1, 拋物線的函數表達式為2y=(x-1)(x+3)=x+2x-3.(2 ) 點 C 是點 A 關于點 B 的對稱點，點 A 的坐標為(-3,0 )，點 B 的坐標(1,0 ), 點 C 的坐標(5,0 ).將點 C 的坐標代入 y=-x+m,得 m=5, 直線 CD 的函數表達式為 y=-x+5.小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選資料14小初高試題、試卷、習題、復習、教案精選

17、資料設 K 點的坐標為(t,0 ),則 H 點坐標為(t,-t+5), 點 G 的坐標為(t,t2+2t-3 )223241點 K 為線段 AB 上一動點， -3 t 1. HG=(-t+5)-(t+2t-3)=-t-3t+8=-(t+) +.4341 -3 t 1. 當 t=-3時，線段 HG 的長度有最大值41.24(3)v點 F 是線段 BC 的中點點 B( 1,)，點 C( 5,0),點 F 的坐標為(3,0),v直線|過點 F 且與 y 軸平行，直線 l 的函數表達式為 x=3, 點 M 在直線 I 上，點 N 在拋物線上，設點 M 的坐標為(3, m),點 N 的坐標為(n,n2+

18、2n-3 ).點 A (-3,0 )，點 C (5,0 ) . AC=8.分情況討論：1若線段 AC 是以點 A,C,M,N 為頂點的平行四邊形的邊，則須 MIN/ AC,且 MN=AC=8 當點 N 在點 M 的左側時，MN=3-n, 3-n=8，解得 n=-5，點 N 的坐標為(-5 , ,1 );當點 N 在點 M 的右側時，MN= n-3, n-3=8，解得 n=11,二點 N 的坐標為(11, 140).2若線段 AC 是以點 A,C,M,N 為頂點的平行四邊形的對角線，由“點C 是點 A 關于點 B 的對稱點”知：點 M 與點 N 關于點 B 中心對稱，取點 F 關于 B 的對稱點 P,則 P 的坐標為(-1,0 ),過 P 作 NP 丄 x 軸， 交拋物線于點 N,將 x=-1 代入 y=x+2x-3.得 y=-4，過點 N, B 作直線 NB 交直線 I 于點 M,在厶 BPN 與厶 BFM 中，/ NBP=/ MBF BF=BP / BPN 玄 BFM=90 , BPNABFM, NB=MB.四邊形 ANCM 為平行四邊形，坐標為(-1 , -4 )的點 N