特殊三角形知識點及例題

1、特殊三角形一、知識結構本章主要學習了等腰三角形的性質與判定、直角三角形的性質與判定以及勾股定理、HL定理等知識，這些知識點之間的結構如下圖所示：二、重點回顧1等腰三角形的性質：等腰三角形兩腰_；等腰三角形兩底角_(即在同一個三角形中，等邊對_)；等腰三角形三線合一，這三線是指_、_、_，也就是說這三線為同一條線段；等腰三角形是_圖形，它的對稱軸有_條。2等腰三角形的判定：有_邊相等的三角形是等腰三角形；有_相等的三角形是等腰三角形（即在同一個三角形中，等角對_）。3等邊三角形的性質：等邊三角形各條邊_，各內角_，且都等于_；等邊三角形是_圖形，它有_條對稱軸。4等邊三角形的判定：有_邊相等的三

2、角形是等邊三角形；有三個角都是_的三角形是等邊三角形；有兩個角都是_的三角形是等邊三角形；有一個角是_的_ 三角形是等邊三角形。5直角三角形的性質：直角三角形兩銳角_；直角三角形斜邊上的中線等于_；直角三角形兩直角邊的平方和等于_（即勾股定理）。30°角所對的直角邊等于斜邊的_6直角三角形的判定：有一個角是_的三角形是直角三角形；有兩個角_的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于_的三角形是直角三角形。一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，但不能直接拿來判斷某三角形是直角三角形，但有助于解題。7直角三角形全等的判定：斜邊和_ 對應相等的兩個直角三角形全等。8角平分

3、線的性質：在角內部到角兩邊_在這個角的平分線上。三、重點解讀1學習特殊三角形，應重點分清性質與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關系判斷一個圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關系那就是性質；2等腰三角形的腰是在已知一個三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個三角形是等腰三角形時千萬不能將理由說成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來證明線段之間的相等關系，而且它也是今后研究直角三角形問題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關系，解題

4、時應注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“”就認定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長為3和4，就認為另一邊一定是5；5“HL”是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當然，以前學過的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法對于直角三角形全等的判定同樣有效。本章解題時用到的主要數(shù)學思想方法： 分類討論思想（特別是在語言模糊的等腰三角形中） 方程思想：主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時，運用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長 等面積法四、典型例題（一）、角平分線+平行線1、在ABC

5、中，三內角互不相等，BO平分ABC，CO平分ACB。過O點作EF, 使EFBC。（1）圖中有幾個等腰三角形？（2）猜測線段BE、CF、EF有什么數(shù)量關系，并說明理由。 2、在ABC中，ABC=ACB，BO平分ABC， CO平分ACB,過O點作EF，使EFBC，且EBO=30°。若BE=5，ABC的周長為_。（二）、角平分線+垂線3、如圖：AB=AC，1=2，AECD于F交BC于點E，求證：AB=CE。4、如圖，ABC是等腰直角三角形，其中A=90°，BD平分ABC交AC于點D，CEBD交BD的延長線于點E，求證：BD=2CE (三)、直角三角形的一個銳角平分線+斜邊上的高線

6、F5、如圖，在ABC中，ACB=90°，AE平分CAB，CDAB于D，它們交于點F，CFE是等腰三角形嗎？試說明理由.（四）、等邊三角形的幾個基本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=CE，連接AD、BE交于點F。AFE=_。7、如圖點A、C、E在同一直線上，ABC和CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE的中點。說明： CMN是等邊三角形。8、已知等邊ABC和點P，設點P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，ABC的高為h，若點P在一邊BC上（圖1），此時h3=0，可得結論h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當點P在ABC內（圖2）和點P在ABC外（圖3）

7、這兩種情況時，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關系，請寫出你的猜想，并簡要說明理由 （五）、等腰直角三角形的幾個基本應用9、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且ADMN于D，BEM于E。(1)當直線MN繞點C旋轉到圖1位置時，說明ADCCEB的理由；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖2位置時，說明DE=ADBE的理由；ABCDEMN圖2ABCDMN圖3(3)當直線MN繞點C旋轉到圖3位置時，試問DE、 AD、BE有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并說明理由.ABCDEMN圖110、如圖，在直角ABC中，C=90，AC=BC，D，E分別在BC和AC上，且BD=C

8、E，M是AB的中點。求證：MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程11、觀察下面表格中所給出的三個數(shù)a，b，c，其中a，b，c為正整數(shù)，且a<b<c （1）：試找出他們的共同點，并證明你的結論,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c （2）：當a=21時，求b，c的值12、如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60°，且BQ=BP，連結CQ。（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論（2）若PA

9、：PB：PC=3：4：5，連結PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由14、矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在DC邊上的點G處，求BE的長。EGCDBA（七）、需要分類討論的（主要是由語言的模糊造成要討論）有一個角等于50°，另一個角等于_的三角形是等腰三角形。有一個直角三角形的兩條直角邊為3，4，則第三條邊長為_ 如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個等腰三角形周長分成15和6兩部分，求這個三角形的腰長及底邊長。（八）作圖題如圖，求作一點P，使PC=PD,并且使點P到AOB兩邊的距離相等，并說明你的

10、理由【考點精練】一、基礎訓練1如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50°，BD為ABC的平分線，則BDC=_° （1） （2） （3）2如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_3如圖3，一個頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，則1+2=_度4如圖4，在等腰直角ABC中，B=90°，將ABC繞頂點A逆時針方向旋轉60°后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） 5如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工從AC上的一點B取ABD=135

11、76;，BD=520米，D=45°，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點E離D的距離約為_米（精確到1米）6等腰ABC的底邊BC=8cm，腰長AB=5cm，一動點P在底邊上從點B開始向點C以0.25cm/秒的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間應為_7如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20°，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）8如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44°，CDAB于D，則DCB等于（ ） A44° B68° C46° D22°9如圖9，要在離地面5m處引

12、拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設計要求，又要節(jié)省材料，則在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL410如圖10，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點，且BD=BC=AD則A等于（ ）A30° B36° C45° D72° （10） （11）11同學們都玩過蹺蹺板的游戲如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB當蹺蹺板的一頭A著地時，OAC=25°，則當蹺蹺板的另一頭B著地時，AOA等于（

13、 ） A25° B50° C60° D130°12、直角三角形的兩條直角邊長為a,b,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. += 如圖所示，在ABC中，AB=6，AC=9，ADBC于點D，M為AD上任一點，則MC2-MB2等于 二、能力提升13如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊長14（計算型說理題）已知如圖ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE=CD試判斷DB與DE之間的大小關系，并說明理由。15如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三