基于FIGARCH模型的證券波動(dòng)率預(yù)測

1、基于FIGARCH模型的證券波動(dòng)率預(yù)測摘要 對波動(dòng)率的研究一直是證券市場研究的重點(diǎn)之一，波動(dòng)率作為衡量證券市場的風(fēng)險(xiǎn)典型的度量標(biāo)準(zhǔn)之一，對投資組合的選取、資產(chǎn)定價(jià)等方面起著決定性的影響。這些年來，諸多學(xué)者運(yùn)用ARCH、GARCH（廣義自回歸條件異方差）等模型對證券市場的波動(dòng)率進(jìn)行探究，得出了許多重要的結(jié)論。然而，波動(dòng)率實(shí)際上是具有持續(xù)性和長記憶性的特性的。這種特性的存留對波動(dòng)率的研究和預(yù)測產(chǎn)生著重大的作用。本文將采用FIGARCH模型（分整GARCH模型），并以證券市場典型的兩個(gè)交易所上海證券交易所和深圳證券交易所的指數(shù)收益率序列作為研究樣本，在此基礎(chǔ)之上估計(jì)波動(dòng)率，并對其進(jìn)行建模預(yù)測，并與G

2、ARCH模型對波動(dòng)率的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較分析。樣本數(shù)據(jù)建模預(yù)測的結(jié)果呈現(xiàn)出長記憶的FIGARCH模型的預(yù)測能力優(yōu)于短記憶的GARCH模型。本文的正文部分主要由四個(gè)章節(jié)組成第一章為引言部分。主要介紹了波動(dòng)率研究的背景、意義以及現(xiàn)在對波動(dòng)率研究的現(xiàn)狀，提出了本文的核心模型。第二章為本文涉及的理論基礎(chǔ)。這一章節(jié)由四個(gè)小節(jié)組成:第一小節(jié)主要陳述了證券市場價(jià)格理論,股票價(jià)格是隨機(jī)游走的以及證券市場的有效性;第二小節(jié)闡述了波動(dòng)率的定義;第三小節(jié)詳細(xì)的列出了金融時(shí)間序列的長記憶的概念和短記憶的概念;第四小節(jié)是本文涉及到的兩個(gè)主要模型,GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型和FIGARCH（分整GARCH）模型

3、的定義、結(jié)構(gòu)公式以及分別特性。第三章為證券市場波動(dòng)率的預(yù)測。此章節(jié)為本文的核心章節(jié)，首先對數(shù)據(jù)進(jìn)行了說明，本文選取了1997年1月1日至2007年12月31日上海和深圳兩市每日的收盤指數(shù)作為樣本；然后分別運(yùn)用短記憶的GARCH模型和長記憶的FIGARCH模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，通過R軟件編程得出波動(dòng)率預(yù)測的結(jié)果；最后對兩種模型預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行分析得出結(jié)論。第四章為全文總結(jié)。關(guān)鍵詞：波動(dòng)率；預(yù)測；GARCH模型；FIGARCH模型；Abstact Research on volatility has been one of focus in the study of the securities

4、market, the volatility as a measure of the risk of the securities market, one of the typical metrics for portfolio selection and asset pricing plays a decisive influence. Over the years, many scholars use the ARCH and GARCH (generalized auto regressive conditional heteroscedasticity) model to explor

5、e the volatility in the securities market, a number of important conclusions are drawn. However, continuity and long memory of volatility is actually features. This feature of remaining on the research of the volatility and forecasting have a significant role. FIGARCH model is adopted in this paper

6、the GARCH model (points), and two typical in the securities market exchange, Shanghai stock exchange and Shenzhen stock exchange index yield sequence as the research sample, on this basis to estimate volatility, modeling and prediction, the prediction results of volatility with GARCH model for compa

7、rative analysis. Sample data modeling prediction results present a long memory of FIGARCH model's prediction ability is superior to the GARCH model of short memory. The text of this article is mainly composed of four chapters I plase the introduction section on the first chapter. Mainly introduc

8、es the research background, significance and volatility is now the current situation of the research on volatility, in this paper, the core of the model is put forward. The second chapter for this article involves the theoretical basis. This section is composed of four sections:the first section mai

9、nly stated the stock market price theory,the stock price is a random walk,and the effectiveness of the securities market;the second section expounds the definition of volatility-refers to the possibility of future prices deviate from the expectation;the third section of the detailed lists of long me

10、mory of financial time series and short memory;the fourth section is the paper involves two main model,GARCH model and FIGARCH model formula in the definition,structure and features. The third chapter for the prediction of stock market volatility. The core section of this chapter for this article fi

11、rstly illustrates the data,this article selects the January 1,1997 to December 31,2007,Shanghai and shenzhen two securities market closing index as sample; then respectively using GARCH model of short memory and FIGARCH model of long memory for data modeling analysis,through the Rand S-PLUS software

12、 programming of volatility forecasting results. Finally analyze the result of two kinds of models to predict the conclusion. The fourth chapter for the full text summary.第一章 引 言 對于資產(chǎn)選擇以及資產(chǎn)定價(jià)的研究是當(dāng)代金融理論的最重要內(nèi)容之一,在有資產(chǎn)定價(jià)理論的前提之下,資產(chǎn)價(jià)格的關(guān)鍵因素為資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn),在金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)中,波動(dòng)率為其典型度量。在近現(xiàn)代的金融板塊研究中,風(fēng)險(xiǎn)通常情況下用波動(dòng)率來代表,由來進(jìn)行擬合,即收益序列的方差

13、。在各種金融理論中如期權(quán)定價(jià)理論,馬克維茨資產(chǎn)組合選擇理論,VAER理論等,波動(dòng)率都是這些理論研究中極其重要的環(huán)節(jié)。研究波動(dòng)率主要分為三步：第一步，波動(dòng)率的估計(jì)，即用什么方法來估計(jì)波動(dòng)率。第二步，波動(dòng)率的特征，波動(dòng)率有持續(xù)性、杠桿效應(yīng)、自相關(guān)性、長記憶性等。怎樣來檢驗(yàn)波動(dòng)率的這些特征，這些特征的強(qiáng)弱程度，以及在不同的模型中如何捕捉這些特征，都是研究波動(dòng)率的重要步驟。第三步，構(gòu)造波動(dòng)率模型，怎樣來估計(jì)模型的參數(shù)，怎么來評價(jià)各個(gè)模型，是在研究波動(dòng)率過程中最重要的問題。假定波動(dòng)率有持續(xù)性的特征，并且波動(dòng)率是可以估計(jì)的，也就是說風(fēng)險(xiǎn)也是能夠被估計(jì)的，因此通過對波動(dòng)率的研究，我們可以更準(zhǔn)確地對金融產(chǎn)品進(jìn)

14、行定價(jià)；通過對資產(chǎn)收益率序列的波動(dòng)率建立模型并對其進(jìn)行研究，證券市場中的投資者就能夠更有效地，更精確地對資產(chǎn)進(jìn)行投資以及風(fēng)險(xiǎn)管理?？偟膩碚f，建立波動(dòng)率模型不但能夠幫助證券市場的投資者選擇資產(chǎn)組合，還能夠幫助投資者進(jìn)行投資分析，預(yù)測該資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)高低。在近現(xiàn)代波動(dòng)率研究的歷程中，不得不提該領(lǐng)域的開山鼻祖Engle，在1982年，他提出了ARCH模型（自回歸條件異方差模型）。 在對金融時(shí)間序列長期效應(yīng)的描述中，經(jīng)典的GARCH模型并不能達(dá)到預(yù)期的效果，所以Granger和Ding提出了長記憶GARCH模型，在這之后，1996年Baillie、Mikkelson和Bollerslve提出了FIGA

15、RCH模型，現(xiàn)在我們通常以FIGARCH（p,d,q）模型來反映金融時(shí)間序列的長記憶性。實(shí)際上，擾動(dòng)項(xiàng)ARFIMA（p,d,q）模型就是FIGARCH(p,d,q)模型，模型中參數(shù)d反映了長記憶性，它是作用在遠(yuǎn)距離觀測值之間的一種效果，具有以雙曲率緩慢下降的特性。目前，國內(nèi)的學(xué)者對于證券市場波動(dòng)率的研究大多數(shù)還是采用的適用能力不強(qiáng)的ARCH模型、GARCH模型和EGARCH模型等，研究的準(zhǔn)確性合理性都受到很大的局限。理論研究顯示FIGARCH模型具有很強(qiáng)的適用性，對波動(dòng)率的研究更準(zhǔn)確更合理。第二章相關(guān)概念第一節(jié)證券市場價(jià)格波動(dòng)理論1、隨機(jī)游走 在1950年以前，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，大多數(shù)的學(xué)者一致認(rèn)為

16、：證券市場中股票的價(jià)格的決定因素是其“內(nèi)在價(jià)值”，而且股票的價(jià)格是可以預(yù)測的，也就是說，股票價(jià)格的波動(dòng)是有規(guī)律可循的，價(jià)格以內(nèi)在價(jià)值作為平衡位置上下做規(guī)律性的波動(dòng)運(yùn)動(dòng)。然而，在1953年，Maurice Kendall（肯德爾）是英國著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家，他在一次對股價(jià)波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)中得到：股票價(jià)格實(shí)際上是沒有任何規(guī)律的，今天的價(jià)格與昨天的價(jià)格無關(guān)，明天的價(jià)格與今天的價(jià)格無關(guān)，股票的價(jià)格就如同“醉漢走步”一般，股票的波動(dòng)每一天都是新的，也就是說，股票價(jià)格是隨機(jī)游走的。證券市場價(jià)格波動(dòng)的隨機(jī)性反映了理性且功能良好的有效市場，即股票的價(jià)格是市場中已知信息的反映，而且股價(jià)的波動(dòng)又受制于相關(guān)信息。首先，股價(jià)的決

17、定因素是供求，而投資者對股票的買和賣才實(shí)現(xiàn)了市場中的供求關(guān)系，投資者對股票的心理預(yù)期決定了投資者買賣股票的實(shí)際操作，心理預(yù)期則是投資者在對相關(guān)信息的收集和處理中形成的。其次，隨時(shí)都有可能產(chǎn)生的“新信息”直接導(dǎo)致了股票價(jià)格的隨機(jī)游走。在一定的時(shí)間點(diǎn)上，股票價(jià)格是對“舊”的相關(guān)信息的反映，而在下一個(gè)時(shí)點(diǎn)，“新”的相關(guān)信息直接影響股票的價(jià)格。由于“新”信息出現(xiàn)的不確定性，所以股票價(jià)格是隨機(jī)游走的。2、有效證券市場 滿足上面兩個(gè)條件的證券市場則為有效證券市場。這里所說的有效，指價(jià)格對信息反映的速度快，而且價(jià)格對信息反映的準(zhǔn)確性和充分性高，即對信息的反映具有高效率性。美國芝加哥大學(xué)Fame教授在1965

18、年定義了影響證券價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)的三類相關(guān)信息：內(nèi)部信息、公開信息和歷史信息，并基于這三種信息提出了不同程度的市場有效性假說，即弱有效市場、半強(qiáng)有效市場和強(qiáng)有效市場。第二節(jié)波動(dòng)率的定義及其特征1、波動(dòng)率的定義對一個(gè)金融時(shí)間序列yt而言，價(jià)格波動(dòng)的絕對數(shù)值可以用下列兩種方法進(jìn)行估計(jì)：（1）價(jià)格時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算公式為（2）價(jià)格變動(dòng)絕對數(shù)值的平均值，計(jì)算公式為 描述價(jià)格波動(dòng)幅度的大小的估計(jì)方法有： （1）價(jià)格的最大波動(dòng)除以價(jià)格的中值，計(jì)算公式 。其中為最高價(jià)，為最低價(jià)。 （2）價(jià)格時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)差除以時(shí)間序列的均值，計(jì)算公式為。 （3）價(jià)格收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算公式，其中在簡單收益條件下，連續(xù)復(fù)利條

19、件下，。 由以上幾種波動(dòng)率的估計(jì)方法可以得到波動(dòng)率的定義是和標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）聯(lián)系在一起的，在實(shí)際運(yùn)用中常用方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來衡量波動(dòng)率。實(shí)際操作中我們也通常把波動(dòng)率與標(biāo)準(zhǔn)差（）這兩個(gè)概念劃等號。通常情況下我們不采用價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差來度量波動(dòng)率。第三節(jié)金融時(shí)間序列的長記憶性和短記憶性 1、金融時(shí)間序列的短記憶性有關(guān)金融時(shí)間序列記憶性的研究，Rosenblatt提出了短范圍相依過程的概念。簡單的講，對于離散金融時(shí)間序列xt，t=1,2,3.，T，其和表示為如果存在且不等于零，并且有其中，W(r)為標(biāo)準(zhǔn)維納過程。則稱xt，t=1,2,3.，T為短范圍相依過程。短范圍相依過程描述了相依性隨著時(shí)間間隔的增加

20、而變小的特點(diǎn)，它反映了金融時(shí)間序列短記憶的特點(diǎn)，大多數(shù)金融時(shí)間序列模型的研究對象都是短記憶時(shí)間序列。在本文中GARCH模型、EGARCH模型均是以短記憶金融時(shí)間序列為研究對象的。2、金融時(shí)間序列的長記憶性金融時(shí)間序列的長記憶過程是以長記憶性為研究對象，體現(xiàn)了時(shí)間序列相隔較遠(yuǎn)的觀測值之間仍具有一定的相關(guān)性的特征，即歷史事件在較長時(shí)期內(nèi)仍會(huì)對未來產(chǎn)生影響。有關(guān)長記憶性的定義可以從不同角度進(jìn)行闡述。金融時(shí)間序列的長記憶性可以從時(shí)域和頻域進(jìn)行定義，其中時(shí)域角度的主要兩種常用定義都是從金融時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)出發(fā)從而完成對長記憶性金融時(shí)間序列的定義。Mcleaod和Hipel于1978年給出定義：假設(shè)離

21、散金融時(shí)間序列xt具有自相關(guān)函數(shù)（其中為滯后階數(shù)），如果其自相關(guān)函數(shù)的絕對值滿足條件則稱xt為長記憶金融時(shí)間序列。相比較而言，Brockwell和Davis的定義因?yàn)榻o出了自相關(guān)函數(shù)的具體收斂速度而利于分析從而獲得廣泛地應(yīng)用。如果 滿足其中c為常數(shù)，d<0.5，則稱xt為長記憶金融時(shí)間序列。以上兩個(gè)定義都是從時(shí)域的角度對長記憶金融時(shí)間序列的刻畫，而Granger和Ding則是從譜密度的角度對時(shí)間序列的長記憶進(jìn)行了定義：如果金融時(shí)間序列xt的譜密度f()隨頻率而趨于無窮，且f()再除去至多有限個(gè)值外的所有其他值上有界，則稱金融時(shí)間序列xt為長記憶過程。第四節(jié)相關(guān)模型介紹1、GARCH模型廣

22、義自回歸條件異方差GARCH模型在1986年由Bollerslev提出。一般地，GARCH（p,q）模型可以用公式表示為如下形式：公式中，p0，q>0；>0，i=1，.，q；，i=1，.，p。顯而易見的，當(dāng)p=0時(shí)，GARCH（p,q）模型就與ARCH（q）模型一樣。如果我們令，GARCH（p,q）模型就可以得到一個(gè)與ARMA模型類似的結(jié)構(gòu)：在上式中，為一個(gè)鞅差序列，滿足如下條件：（1）；（2）（3）不一定獨(dú)立同分布我們可以利用ARMA模型的無條件均值推導(dǎo)得出的無條件方差：GARCH（p,q）模型不僅能夠揭示金融市場的“波動(dòng)聚集”特征，而且能夠揭示“厚尾”特征。考慮一個(gè)GARCH(

23、1，1)模型的波動(dòng)方程：公式中，保證條件方差的正定性；保證該模型為平穩(wěn)的GARCH模型。第一，顯而易見的，由于，大的會(huì)引起大的，呈現(xiàn)出“波動(dòng)聚集”；第二，可以證明，若，容易得到模型表示的無條件峰度滿足：從而可以刻畫那些比正態(tài)分布更厚尾部的金融時(shí)間序列。2、FIGARCH模型 可以將GARCH（p,q）模型（Bollerslev（1986）提出）重新表示成如下形式：其中，L為滯后算子。令：則GARCH(p,q)模型可表示為如下：其中，.受ARFIMA(k,d,l)模型的啟發(fā)，F(xiàn)IGARCH（p,d,q）模型定義為如下： 其中，0<d<1，和的所有根都位于單位圓，有如下展開式：其中，代

24、表伽瑪函數(shù)；高斯超幾何函數(shù)F(m,n,s；x)的解析式定義如下：F(m,n,s；x)=在FIGARCH（p,d,q）（分整GARCH）模型中，條件方差作為過去新息平方項(xiàng)的線性函數(shù)，為了預(yù)測未來最優(yōu)條件方差，條件方差的可持續(xù)性可由作為當(dāng)前新息函數(shù)的脈沖響應(yīng)系數(shù)來刻畫。脈沖響應(yīng)系數(shù)的表達(dá)式如下累積脈沖響應(yīng)權(quán)重為它反應(yīng)了當(dāng)前“震蕩”對未來k時(shí)期內(nèi)的累積影響：一般來講，脈沖響應(yīng)系數(shù)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，但是在FIGARCH（p,d,q）（分整GARCH）模型中，脈沖響應(yīng)系數(shù)與時(shí)間t無關(guān)。脈沖響應(yīng)系數(shù)可用誤差平方項(xiàng)的一階差分來刻畫：其中，。把FIGARCH(p,d,q)寫成上述公式形式，得到如下公式如果，

25、則，所以：歷史“震蕩”對波動(dòng)過程的長期影響可用累積脈沖響應(yīng)權(quán)重的極限來估計(jì)：當(dāng)0d<1時(shí)，F(xiàn)(d-1,1,1;1)=0,表明對協(xié)方差平穩(wěn)的GARCH（p,q）和FIGARCH(p,q)模型而言，“震蕩”對未來波動(dòng)率的影響最終將消失。但是d的不同取值，對消失的速度有著重要的影響。當(dāng)d=0時(shí)，F(xiàn)IGARCH(p,q)模型即是GARCH（p,q）模型，“震蕩”對未來波動(dòng)率的影響以指數(shù)速率迅速消失；當(dāng)0<d<1時(shí)FIGARCH(p,q)模型表現(xiàn)出波動(dòng)率的持續(xù)性，“震蕩”對未來波動(dòng)率的影響按雙曲率衰減；當(dāng)d=1時(shí)，F(xiàn)IGARCH（p,q）模型演變?yōu)镮GARCH(p,q)模型，此時(shí)F(d

26、-1,1,1;1)=1,累積脈沖響應(yīng)權(quán)重收斂于常數(shù)，這意味著歷史“震蕩”對未來波動(dòng)率的影響永不消失。第三章波動(dòng)率預(yù)測實(shí)證研究第一節(jié)數(shù)據(jù)的相關(guān)說明1、數(shù)據(jù)的選取 目前證券市場中存在兩個(gè)大型的交易市場，上海證券交易所以及深圳證券交易所，本文也將采取這兩個(gè)具有代表意義的市場中來代表這兩個(gè)交易市場的總體收益情況。在1997年前夕，人為因素對證券市場的波動(dòng)產(chǎn)生很大的影響：在1994年，交易制度從T+0變?yōu)門+1；在1996年，證券市場發(fā)布了漲停板限價(jià)交易制度。這些都對證券市場的波動(dòng)造成了不可磨滅的后果。為了避開這些制度變化而對波動(dòng)率產(chǎn)生的影響，本文選取了1997年之后的數(shù)據(jù)；2008年，眾所周知，世界金

27、融危機(jī)，08年也發(fā)生了一次影響深重的股災(zāi)，這是中國證券市場趨于成熟后的影響重大的股災(zāi)之一，因此，在時(shí)間節(jié)點(diǎn)上，本文選擇了08年以前的數(shù)據(jù)。綜上所述，本文所選取的數(shù)據(jù)為，1997年1月1日至2007年12月31日前后跨度十年的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)為兩個(gè)證券市場當(dāng)天的收盤指數(shù)。2、數(shù)據(jù)的初步處理（1）數(shù)據(jù)的導(dǎo)入>da<-read.delim('clipboard')#導(dǎo)入數(shù)據(jù)>r<-log(da,3/da,2)#計(jì)算對數(shù)收益率>time1<-da,1>x1<-r(2)數(shù)據(jù)的相關(guān)性檢驗(yàn) 我們用White Noise()來表示白噪聲序列且具有如下性

28、質(zhì)： （對任意的i） （對任意的i） （對任意的ij） 這說明了白噪聲序列中的每一項(xiàng)之間不存在著相關(guān)關(guān)系，純隨機(jī)序列即這種完全“沒有記憶”的序列。如果某種顯著的相關(guān)關(guān)系在序列值之體現(xiàn)出來，即此序列不是純隨機(jī)序列得以體現(xiàn)，在序列值中每間隔k期序列值中的各項(xiàng)都或多或少的存在著相互影響的關(guān)系，這種關(guān)系即統(tǒng)計(jì)學(xué)上所稱謂的相關(guān)信息。由于相關(guān)信息的存在造就了我們研究的目的，即把這種相關(guān)信息通過各種方法從序列值中提取出來。Box 和Ljung推導(dǎo)出適用于小樣本場合純隨機(jī)性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量LB統(tǒng)計(jì)量：上式中，n為樣本序列所觀測的期數(shù)；m為指定的延遲期數(shù)。>Box.test(x1,type="Lju

29、ng")#對對數(shù)收益率序列做Ljung-Box檢驗(yàn) Box-Ljung testdata: x1X-squared = 0.025364, df = 1, p-value = 0.8735程序運(yùn)行結(jié)果中p-value = 0.8735大于=0.05說明拒絕原假設(shè)，即上證綜指日收益率序列為純隨機(jī)序列。Box.test(y1,type="Ljung") Box-Ljung testdata: y1X-squared = 2.1137, df = 1, p-value = 0.146程序運(yùn)行結(jié)果中p-value = 0.146大于=0.05說明拒絕原假設(shè)，即深圳成指日收

30、益率序列為純隨機(jī)序列。接下來，通過收益率序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖進(jìn)一步檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性。>acf(x1) >pacf(x1)acf(y1) pacf(y1)由上日對數(shù)收益率的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖可以明顯地得到樣本沒有顯著的相關(guān)性。綜合上面所做的白噪聲檢驗(yàn)，可以得到日收益率序列基本上是序列無關(guān)的。因此，在本課題的研究中我們會(huì)采用平方日收益率序列作為觀測的樣本。>x2<-x12>Box.test(x2,type="Ljung") Box-Ljung testdata: x2X-squared = 61.231, df = 1, p-value =

31、 5.107e-15程序運(yùn)行結(jié)果中p-value = 5.107e-15小于=0.05說明接受原假設(shè)，平方日收益率序列為非白噪聲序列。> y2<-y12> Box.test(y2,type="Ljung") Box-Ljung testdata: y2X-squared = 79.465, df = 1, p-value < 2.2e-16 > acf(x2)> pacf(x2)平方日收益率序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖顯示存在顯著的自相關(guān)模式。綜上兩種驗(yàn)證方法，平方日收益率序列存在相關(guān)性。（3）日收益率序列的平穩(wěn)性 根據(jù)限制條件的嚴(yán)格程度，

32、我們將平穩(wěn)時(shí)間序列分為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列和寬平穩(wěn)時(shí)間序列。由于在實(shí)際運(yùn)用中，要獲得隨機(jī)序列的聯(lián)合分布是一件很困難的事情，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列只具有理論意義，所以我們一般所說的平穩(wěn)即比較寬松的寬平穩(wěn)時(shí)間序列。寬平穩(wěn)是指時(shí)間序列Xt滿足如下三個(gè)條件：任取，有；任取，有為常數(shù)； 任??；>plot(time1,x1,xlab=”時(shí)間”,ylab=”相對收益率”,main=”上證綜指相對收 益”,type=1)#繪制相對收益率時(shí)序圖根據(jù)日收益率時(shí)序圖，我們可以基本判定上證綜指相對收益時(shí)序圖基本平穩(wěn)。plot(time1,y1,xlab=”時(shí)間”,ylab=”相對收益率”,main=”深圳成指相對

33、收益”,type=1)第二節(jié) 基于GARCH模型的波動(dòng)率預(yù)測 條件方差（波動(dòng)率）預(yù)測是GARCH模型預(yù)測中最為核心的預(yù)測。對于GARCH(p,q)模型的定義公式：為了得到GARCH(p,q)模型向前l(fā)步的預(yù)測，可以將GARCH(p,q)模型的方差方程向前遞推l步，得到：在公式中，。因此，對方程兩邊同時(shí)取條件期望，上述公式變?yōu)槿缦拢哼@樣，我們可以通過遞歸方式對條件方差進(jìn)行求解，從而得到波動(dòng)率向前l(fā)步預(yù)測的結(jié)果。1、ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)LM檢驗(yàn)（Lagrange multiplier檢驗(yàn)）是對ARCH效應(yīng)最為經(jīng)典的方法。對GARCH模型中的E（t），即它的均值方程,若隨機(jī)變量為獨(dú)立的白噪聲序列,且,這

34、時(shí)在廣義自回歸條件異方差（GARCH(p,q)）模型定義公式中,而。如果隨機(jī)變量服從廣義自回歸條件異方差過程,那么中至少有一個(gè)(i=1,2,.,q)不為零。因此,ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)的H0和H1分別為:（不存在ARCH效應(yīng)） 不全為零并取利用LM（拉格朗日乘子）來檢驗(yàn)。LM檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量LM用公式表示為如下：這里，L（）為GARCH（p,q）模型定義公式中第一個(gè)式子的對數(shù)似然函數(shù)，為在似然函數(shù)最大時(shí)計(jì)算的信息陣。在H0成立時(shí)，統(tǒng)計(jì)量LM的極限分布為。利用對數(shù)似然函數(shù)L()對所討論的參數(shù)向量求取一階和二階偏微分，在樣本數(shù)充分大時(shí)給出LM的算式為公式中，T為樣本數(shù)，取殘差是對進(jìn)行回歸所得到的擬合

35、優(yōu)度，。> library(FinTS)載入需要的程輯包：zoo載入程輯包：zoo as.Date, as.Date.numeric> ArchTest(x=x1)#ARCH效應(yīng)檢驗(yàn) ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effectsdata: x1Chi-squared = 157.62, df = 12, p-value < 2.2e-16檢驗(yàn)結(jié)果中p-value < 2.2e-16，P值遠(yuǎn)小于=0.05，拒絕原假設(shè)，即日收益率序列明顯的存在ARCH效應(yīng)。（2）模型定階 對于GARCH（p,q）模型的模型定階有兩種方法。 G

36、ARCH（p,q）模型確定模型的階數(shù)即確定參數(shù)p值和q值。第一步，確定GARCH（p,q）模型中的q參數(shù)，即滯后階數(shù)q。對于模型的殘差序列，的無偏估計(jì)，所以可以用的偏自相關(guān)函數(shù)來確定滯后階數(shù)q值。第二步，確定GARCH（p,q）模型中的p參數(shù)，即滯后階數(shù)p。在已經(jīng)知道q的情況下，可以使用AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則確定滯后階數(shù)p值。另外一種方法即通過自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖來確定模型的階數(shù)。這也是本文所采用的方法。> epst<-x1-mean(x1)#均值調(diào)整對數(shù)收益> acf(as.numeric(epst)2)> pacf(as.numeric(epst)2)通過均值平方數(shù)

37、據(jù)的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖，p值和q值均為1。（3）建立GARCH類模型> library(fGarch)載入需要的程輯包：timeDate載入需要的程輯包：timeSeries載入程輯包：timeSeries time<-載入需要的程輯包：fBasicsRmetrics Package fBasicsAnalysing Markets and calculating Basic StatisticsCopyright (C) 2005-2014 Rmetrics Association ZurichEducational Software for Financial Enginee

38、ring and Computational ScienceRmetrics is free software and comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY. - Mail to: > GARCH.model_1<-garchFit(garch(1,1),data=x1,trace=FALSE)> GARCH.model_2<-garchFit(garch(1,1),data=x1,cond.dist='std',trace=FALSE)>

39、summary(GARCH.model_1)Title: GARCH Modelling Call: garchFit(formula = garch(1, 1), data = x1, trace = FALSE) data garch(1, 1)<environment: 0x0000000006702de8> data = x1Coefficient(s): mu omega alpha1 beta1 2.1569e-04 7.0123e-06 1.2417e-01 8.5661e-01 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis

40、: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) mu 2.157e-04 2.463e-04 0.876 0.381 omega 7.012e-06 1.655e-06 4.237 2.27e-05 *alpha1 1.242e-01 1.635e-02 7.594 3.11e-14 *beta1 8.566e-01 1.797e-02 47.666 < 2e-16 *-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1Log Likelihood: 7476.797 normalized: 2.818242

41、Description: Wed Apr 13 13:22:58 2016 by user: logo Statistic p-Value Jarque-Bera Test R Chi2 1600.306 0 Shapiro-Wilk Test R W 0.966879 0 Ljung-Box Test R Q(10) 22.25229 0.01386967 Ljung-Box Test R Q(15) 38.29166 0.0008169182 Ljung-Box Test R Q(20) 43.08807 0.001990235 Ljung-Box Test R2 Q(10) 6.0226

42、88 0.8133535 Ljung-Box Test R2 Q(15) 8.490598 0.9026132 Ljung-Box Test R2 Q(20) 10.90398 0.9486748 LM Arch Test R TR2 6.476831 0.8901662 Information Criterion Statistics: AIC BIC SIC HQIC -5.633469 -5.624598 -5.633473 -5.630258 > summary(GARCH.model_2)Title: GARCH Modelling Call: garchFit(formula

43、 = garch(1, 1), data = x1, cond.dist = "std", trace = FALSE) data garch(1, 1)<environment: 0x00000000066a6d20> data = x1 std Coefficient(s): mu omega alpha1 beta1 shape 4.7697e-04 7.1010e-06 1.1254e-01 8.6642e-01 4.8003e+00 Std. Errors: based on Hessian Error Analysis: Estimate Std.

44、Error t value Pr(>|t|) mu 4.770e-04 2.304e-04 2.070 0.03841 * omega 7.101e-06 1.903e-06 3.731 0.00019 *alpha1 1.125e-01 1.750e-02 6.430 1.27e-10 *beta1 8.664e-01 1.904e-02 45.506 < 2e-16 *shape 4.800e+00 4.609e-01 10.415 < 2e-16 *-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1Log Likelihood

45、: 7600.125 normalized: 2.864728 Description: Wed Apr 13 13:24:20 2016 by user: logo Statistic p-Value Jarque-Bera Test R Chi2 1628.595 0 Shapiro-Wilk Test R W 0.966626 0 Ljung-Box Test R Q(10) 22.47602 0.01285496 Ljung-Box Test R Q(15) 39.06859 0.0006259038 Ljung-Box Test R Q(20) 43.82147 0.00158999

46、6 Ljung-Box Test R2 Q(10) 5.712678 0.8387975 Ljung-Box Test R2 Q(15) 7.910234 0.927331 Ljung-Box Test R2 Q(20) 10.17277 0.9649299 LM Arch Test R TR2 6.052142 0.9134308 Information Criterion Statistics: AIC BIC SIC HQIC -5.725688 -5.714599 -5.725695 -5.721674 （4）提取殘差數(shù)列并做性質(zhì)檢驗(yàn)由于波動(dòng)率不是一個(gè)可以實(shí)際算出的值，在本文中，用收益

47、率序列的殘差序列在擬合波動(dòng)率。 sres<-residuals(GARCH.model_1) acf(sres)pacf(sres)（5）模型預(yù)測>pred.model_1<-predict(GARCH.model_1,n.ahead=20,trace=FALSE,mse='cond',plot=FALSE)> pred.model_2<-predict(GARCH.model_2,n.ahead=20,trace=FALSE,mse='cond',plot=FALSE)> predVol_1<-pred.model_1

48、$standardDeviation> predVol_2<-pred.model_2$standardDeviation> print(predVol_1) 1 0.01618564 0.01624591 0.01630481 0.01636238 0.01641866 0.01647368 7 0.01652748 0.01658009 0.01663153 0.01668184 0.01673104 0.01677917 13 0.01682624 0.01687230 0.01691735 0.01696143 0.01700457 0.01704677 19 0.0

49、1708807 0.01712849 0.01716804 0.01720676 0.01724465 0.01728174 25 0.01731805 0.01735359 0.01738838 0.01742245 0.01745580 0.01748846 31 0.01752043 0.01755174 0.01758240 0.01761243 0.01764183 0.01767063 37 0.01769883 0.01772645 0.01775351 0.01778001 0.01780597 0.01783139 43 0.01785630 0.01788070 0.017

50、90460 0.01792802 0.01795096 0.01797344 49 0.01799546 0.01801703 0.01803817 0.01805889 0.01807918 0.01809907 55 0.01811856 0.01813766 0.01815637 0.01817471 0.01819268 0.01821030 61 0.01822756 0.01824447 0.01826105 0.01827730 0.01829323 0.01830884 67 0.01832414 0.01833913 0.01835383 0.01836824 0.01838

51、236 0.01839620 73 0.01840977 0.01842307 0.01843611 0.01844889 0.01846142 0.01847370 79 0.01848575 0.01849755 0.01850912 0.01852047 0.01853159 0.01854249 85 0.01855318 0.01856367 0.01857394 0.01858402 0.01859389 0.01860358 91 0.01861307 0.01862238 0.01863151 0.01864046 0.01864924 0.01865784 97 0.0186

52、6628 0.01867455 0.01868266 0.01869062> print(predVol_2) 1 0.01625440 0.01630104 0.01634657 0.01639101 0.01643439 0.01647674 7 0.01651809 0.01655846 0.01659788 0.01663638 0.01667397 0.01671069 13 0.01674655 0.01678157 0.01681578 0.01684920 0.01688185 0.01691374 19 0.01694490 0.01697534 0.01700509

53、0.01703415 0.01706255 0.01709030 25 0.01711742 0.01714393 0.01716983 0.01719515 0.01721989 0.01724408 31 0.01726772 0.01729082 0.01731341 0.01733549 0.01735707 0.01737818 37 0.01739880 0.01741897 0.01743869 0.01745797 0.01747682 0.01749525 43 0.01751327 0.01753089 0.01754812 0.01756497 0.01758145 0.

54、01759756 49 0.01761331 0.01762872 0.01764379 0.01765853 0.01767294 0.01768704 55 0.01770082 0.01771431 0.01772749 0.01774039 0.01775301 0.01776535 61 0.01777742 0.01778923 0.01780077 0.01781207 0.01782312 0.01783393 67 0.01784450 0.01785485 0.01786497 0.01787487 0.01788455 0.01789402 73 0.01790329 0

55、.01791236 0.01792123 0.01792990 0.01793839 0.01794670 79 0.01795482 0.01796278 0.01797055 0.01797816 0.01798561 0.01799289 85 0.01800002 0.01800700 0.01801382 0.01802050 0.01802703 0.01803342 91 0.01803967 0.01804579 0.01805178 0.01805764 0.01806337 0.01806898 97 0.01807447 0.01807984 0.01808510 0.01809024 plot(pr