用分離變量法解三維坐標(biāo)中的拉普拉斯方程

1、用分離變量法解三維坐標(biāo)中的拉普拉斯方程郝晨陽(yáng)（晉中學(xué)院信息技術(shù)與工程學(xué)院）由于在解決靜電場(chǎng)問(wèn)題時(shí)常常會(huì)用到拉普拉斯方程，同時(shí)有很多物理問(wèn)題也用到它，因此對(duì)它的求解非常重要。直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中拉普拉斯方程:變量分離：設(shè) 拉普拉斯方程變?yōu)椋荷鲜匠闪⒌奈ㄒ粭l件是三項(xiàng)中每一項(xiàng)都為常數(shù)，故可分解為下列三個(gè)方程其中且、和 為常數(shù)，但不能全為實(shí)數(shù)或全為虛數(shù)。以常微分方程 為例，其解的形式為:若為零，則 若為實(shí)數(shù)，則 若為虛數(shù)，則或同理可解出和因此拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中的解為：球坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程:令方程具有分離變量的解： 則得到兩個(gè)微分方程： (1) (2)1.求解方程(1)進(jìn)行變量代

2、換，令，則 帶入方程得到一個(gè)簡(jiǎn)單的二階常微分方程:解這個(gè)常微分方程得到其通解為：，進(jìn)而得到方程(1)的通解為：1.求解方程(2)繼續(xù)進(jìn)行變量分離:,將形式解帶入方程(2)整理，分離并令其中常數(shù)為得到:及對(duì)該式中關(guān)于的方程，由的幾何意義，其有自然邊界條件，所以求解的方程: 求解該方程得到:。將代入式中的第二個(gè)式子，得到關(guān)于的微分方程，作變量代換得到階連帶勒讓德方程:，其的特例叫勒讓德方程。下面對(duì)階勒讓德方程考慮:求解關(guān)于的二階常微分方程:在的鄰域上求解上述方程，采用常點(diǎn)鄰域上級(jí)數(shù)法求解。令該方程在的鄰域上的級(jí)數(shù)解為:將其代入到方程式中，得到的遞推關(guān)系:從而得到階勒讓德方程的解:其中為: 上述中在

3、是某個(gè)奇數(shù)時(shí)止到，從而退化為多項(xiàng)式，在是某個(gè)偶數(shù)時(shí)止到，從而退化為多項(xiàng)式。對(duì)以上兩種退化多項(xiàng)式的可能性，取適當(dāng)使每種情況下的最高次冪的系數(shù)為:從而得到階勒讓德方程的特解 階勒讓德多項(xiàng)式:下面對(duì)階連帶勒讓德方程考慮:為方便求解先作函數(shù)變換:階連帶勒讓德方程化為的微分方程:把勒讓德方程求次導(dǎo)整理得到:從而看出，勒讓德方程的的次導(dǎo)數(shù)是上述方程的解，從而可得出連帶勒讓德方程的解:故拉普拉斯方程的一般解為:根據(jù)和的不同而不同，但它們都是拉普拉斯方程的解，則它們的線性疊加也是。所以拉普拉斯方程在球坐標(biāo)系中的通解為:式中:其中柱坐標(biāo)系中柱坐標(biāo)系中拉普拉斯方程為:由于柱坐標(biāo)系中較為難解，故只討論為常數(shù)的情況，即。分離變量:令，則得到下列常微分方程:解上述方程得: 有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。由于單值性要求，只能取整數(shù)，。所以【參考文獻(xiàn)】1梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法.高等教育出版社