研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及解析

1、2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1、已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與等價(jià)無(wú)窮小，則（A） （B） （C） （D）【分析】本題考查等價(jià)無(wú)窮小的有關(guān)知識(shí).可以利用羅必達(dá)法則或泰勒公式完成。【詳解】法一:由題設(shè)知從而，故。從而應(yīng)選（C）。法二:所以。，從而應(yīng)選（C）。2、已知在處可導(dǎo)，且，則（A）（B）（C） （D）【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義。通過(guò)適當(dāng)變形，湊出在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義形式求解?！驹斀狻抗蕬?yīng)選（B）。評(píng)注：已知抽象函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)，求含有該函數(shù)的某個(gè)極限，一般應(yīng)利

2、用導(dǎo)數(shù)定義完成。3、函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【分析】本題考查駐點(diǎn)的定義。先求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可?！驹斀狻浚毫?，只需求，由于，所以有兩解。 故應(yīng)選（C）。4、微分方程的特解形式為（A） （B） （C） （D）【分析】考查二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次方程待定特解的形式。首先將方程右端分解，然后分別寫(xiě)出待定特解?！驹斀狻刻卣鞣匠虨?，解得所以的特解為、的特解為。由疊加原理知的特解形式為。5、設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿(mǎn)足，且，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個(gè)充分條件是（A），（B），（C），（D），【分析】本題考查二元函數(shù)極值的充分條件.利用二階連續(xù)可偏導(dǎo)二元函數(shù)取

3、極小值的充分條件求解.【詳解】由于，；，。所以在點(diǎn)處，、。要使在點(diǎn)處取得極小值，則必有,從而，,所以,.從而應(yīng)選(A) .6、 設(shè)，則的大小關(guān)系是（A） （B） （C） （D）【分析】利用積分的性質(zhì)直接比較被積函數(shù)在積分區(qū)間上的大小.【詳解】因?yàn)?，所以而反常積分與都收斂, 利用積分的保號(hào)性知：。故應(yīng)選(B).評(píng)注:與都是以為瑕點(diǎn)的反常積分,不難證明他們都是收斂的; 對(duì)于收斂的反常積分,類(lèi)似于定積分的比較性質(zhì)也成立.7、設(shè)為三階矩陣，將的第二列加到第一列得矩陣，再交換的第二行與第三行得單位矩陣，記，則（A） （B） （C） （D）【分析】考查矩陣初等變換與初等矩陣的關(guān)系和逆矩陣的基本知識(shí).【詳解

4、】對(duì)階矩陣做一次初等行（列）變換，相當(dāng)于用一個(gè)相應(yīng)的階(階)初等矩陣左（右）乘矩陣A。由題設(shè)，而，因此，所以。 故應(yīng)選(D)8、設(shè)是4階矩陣，是的伴隨矩陣，若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的一個(gè)基礎(chǔ)解系為（A） （B） （C） （D）【分析】本題考查伴隨矩陣和向量組相關(guān)性及方程組基礎(chǔ)解系的有關(guān)知識(shí).【詳解】顯然，所以，從而的基礎(chǔ)解系中含3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量。因?yàn)?，所以都是方程組的解，又因?yàn)槭欠匠探M的一個(gè)基礎(chǔ)解系，所以線(xiàn)性相關(guān)，因此線(xiàn)性無(wú)關(guān)。故是的基礎(chǔ)解系。評(píng)注：涉及伴隨矩陣的問(wèn)題，常常用到下列結(jié)論：； 若可逆，則，。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上.9、

5、_?！痉治觥靠疾槲炊ㄊ?可以利用重要極限、羅必達(dá)法則及常用求此類(lèi)極限的方法求出。【詳解】法一:法二:其中。因此法三：評(píng)注：求常用方法：設(shè)，則10、微分方程滿(mǎn)足條件的解為_(kāi)。【分析】考查一階線(xiàn)性微分方程求特解的方法，可利用公式直接計(jì)算。【詳解】因?yàn)?，所以。故所求特解為?1、曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)_?！痉治觥恐苯永弥苯亲鴺?biāo)系下求弧長(zhǎng)公式計(jì)算?！驹斀狻?2、若函數(shù)，則_【分析】考查分段函數(shù)的反常積分?！驹斀狻俊?3、設(shè)平面區(qū)域由直線(xiàn)圓及軸所組成，則二重積分_【分析】考查初等函數(shù)二重積分的計(jì)算。由于積分域是圓的一部分，故選擇極坐標(biāo)計(jì)算?！驹斀狻?4、二次型，則的正慣性指數(shù)為_(kāi)【分析】考查二次型的有關(guān)知識(shí)。求正

6、慣性指數(shù)，只要求出二次型矩陣的特征根，判斷特征根的符號(hào)即可，或化為標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)確定。【詳解】法一：二次型矩陣為，而所以矩陣特征值為，因此的正慣性指數(shù)為2。法二：二次型通過(guò)配方法化為，從而正慣性指數(shù)為2.三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15、（本題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)，設(shè)，試求的取值范圍【分析】考查極限逆問(wèn)題、未定式的極限、變上限函數(shù)求導(dǎo)。【詳解】因?yàn)?，所以；要使則必有，所以；因?yàn)橐?，必有，所以。綜上可得。16、（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求函數(shù)的極值和曲線(xiàn)的凹、凸區(qū)間及拐點(diǎn)?！痉治觥靠疾閰?shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)

7、方法、極值和拐點(diǎn)的確定方法、凹凸區(qū)間的判別法。先求出函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，然后求函數(shù)駐點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，進(jìn)而分區(qū)間判斷各子區(qū)間上一階、二階導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定出函數(shù)的極值點(diǎn)與拐點(diǎn)?！驹斀狻?，令，解得，由于，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取極小值；，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取極大值；令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。又 當(dāng)時(shí)，所以曲線(xiàn)的凹區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，所以曲線(xiàn)的凸區(qū)間是，且點(diǎn)是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。17、（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)，且在處取得極值，求【分析】考查多元抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)。使用復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t求出二階混合偏導(dǎo)數(shù)。注意題設(shè)中的條件“函數(shù)可導(dǎo)，且在處取得極值”，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言，這

8、意味著?！驹斀狻恳?yàn)楹瘮?shù)可導(dǎo)，且在處取得極值，所以，從而。18、（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切于原點(diǎn)，記為曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的傾斜角，若，求的表達(dá)式?！痉治觥勘绢}考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、微分方程的建立及可降階微分方程求解等知識(shí)點(diǎn)。首先利用題目中包含的信息列出滿(mǎn)足的微分方程，然后由題設(shè)條件“曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切于原點(diǎn)”知，這是微分方程的初始條件。最后求滿(mǎn)足初始條件的特解?！驹斀狻恳?yàn)榍€(xiàn)與直線(xiàn)相切于原點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榍€(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的傾斜角，所以，所以，即 法一：令，則方程變?yōu)?，變量分離得兩邊積分得，因?yàn)?，所以故，即?從而（由于，所以負(fù)值舍去）即，解得，由于，所以于是。 法二：令，則，

9、于是有分離變量得，解得；因?yàn)椋?，從而，即分離變量得，解得， 所以因?yàn)?，解得，于是?9.（本題滿(mǎn)分10分）（）證明：對(duì)任意正整數(shù)，都有（）設(shè)，證明數(shù)列收斂【分析】本題（）考查不等式的證明，通過(guò)變形后直接利用拉格朗日中值定理證明。（）利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限的性質(zhì)來(lái)證明。【詳解】（）因?yàn)榱钤趨^(qū)間上使用拉格朗日中值定理可得由于，所以，因此（）由（）可得，所以數(shù)列單調(diào)減少又因?yàn)?，所以所以，所以，即有下界。由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得數(shù)列收斂。20、（本題滿(mǎn)分11分）一容器內(nèi)側(cè)是由圖中曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線(xiàn)是由與連接而成的。（）容器的容積（）若將容器內(nèi)盛滿(mǎn)的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功

10、？（長(zhǎng)度單位：，重力加速度,水的密度為）【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)體求體積、變力做功。（）直接利用求旋轉(zhuǎn)體體積公式計(jì)算即可；（）用微元法求解?！驹斀狻浚ǎ┓ㄒ唬?法二：。（）（焦耳）。21、（本題滿(mǎn)分11分）已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且其中。計(jì)算二重積分【分析】本題考查抽象函數(shù)的二重積分。用二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)關(guān)系及分部積分法計(jì)算二重積分。【詳解】法一：。 法二：22、（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)，不能由，線(xiàn)性表出。（）求（）將由線(xiàn)性表出【分析】)考查已知向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)求參數(shù),)考查一個(gè)向量組有另一個(gè)向量組線(xiàn)性表示的問(wèn)題.【詳解】（I）由于，不能由，線(xiàn)性表出，所以線(xiàn)性相關(guān)(因?yàn)槿我鈧€(gè)維向量線(xiàn)性相關(guān),從而線(xiàn)性相關(guān)，若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則可由線(xiàn)性表示)，從而，而,故可解得（II）法一：設(shè)，由于，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)。則而，從而因此，。法二： 若由線(xiàn)性表出，對(duì)作初等行變換，有所以，。23、（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，的秩為2且 （I）求的所有特征值與特征向量（II）求矩陣【分析】（I）考查特征值特征向量求法，注意，所以必有一個(gè)特征值為；（II）在（I）