矩陣的對角化

1、矩陣的對角化 （李體政 徐宗輝） l      教學目標與要求通過學習，使學生明白為什么要進行矩陣的對角化, 并且熟練掌握一般方陣對角化的方法, 特別是實對稱矩陣的對角化方法. l      教學重點與難點教學重點： 一般方陣可以對角化的條件及其對角化; 實對稱矩陣的對角化. 教學難點： 求正交矩陣，使實對稱矩陣化為對角矩陣. l      教學方法與建議先引入相似矩陣的概念, 通過分析相似矩陣的性質(zhì), 讓學生看到: 討論方陣與一個對角矩陣相似(

2、在本節(jié)中我們稱為矩陣的對角化)的問題是非常有意義的, 從而提出矩陣對角化的兩個核心問題:(1) 對于任何一個方陣,是否一定可以對角化(即存在性問題);(2) 對于一個方陣,若可以對角化,那么如何進行對角化.圍繞這兩個問題,完成本節(jié)課的教學任務(wù).l      教學過程設(shè)計1. 問題的提出我們先引入相似矩陣的概念: 定義1: 對于階數(shù)相同的方陣和, 若存在可逆方陣, 使得 則稱矩陣與相似, 記為, 而對進行的運算稱為對進行的相似變換, 可逆方陣稱為把變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣.利用相似矩陣的定義及前面的知識不難得出如下結(jié)論:性質(zhì)1: 設(shè) , 則有1) ;2

3、) ;3) , 從而具有相同的特征值. 說明: 性質(zhì)1表明, 假如矩陣與相似, 則與具有相同的行列式、相同的秩以及相同的特征值. 而且很自然地推出, 若與一個對角矩陣相似, 那么的主對角線元素恰好就是的個特征值. 考慮到對角矩陣是一類性質(zhì)優(yōu)良的矩陣, 我們進一步會問:1) 是否對任何方陣, 都存在相似變換矩陣, 使(對角矩陣)?2) 對階方陣,若存在相似變換矩陣,使, 如何構(gòu)造?2. 一般方陣的對角化我們先來討論第二個問題. 設(shè), 并設(shè)可逆, 由得 , 即有由此可見, 只要取 的列為矩陣的個特征向量即可. 因為可逆, 所以應(yīng)線性無關(guān). 所以, 我們得出第一個問題的結(jié)論: 方陣要與一對角矩陣相似

4、, 則必須要有個線性無關(guān)的特征向量. 進一步有下面的結(jié)論:1) 由于方陣的不同特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān), 故有結(jié)論1: 如果方陣的個特征值互不相同, 則可以對角化.2) 若方陣的重特征值與它所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)有,即為非虧損矩陣,那么有個線性無關(guān)的特征向量, 故有結(jié)論2: 若方陣為非虧損矩陣, 則可以對角化.當, 即為虧損矩陣,這時沒有個線性無關(guān)的特征向量, 所以不能對角化. 綜上所述有如下定理:定理1： 方陣可以對角化的充要條件為是非虧損矩陣說明: 1) 定理1表明,方陣的對角化問題最終歸結(jié)為求方陣的特征值以及求特征值所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的問題, 同時也給出了構(gòu)

5、造相似變換矩陣的具體方法.2) 一般地, 我們不對非虧損矩陣進行一般性的討論, 而僅僅討論為實對稱矩陣的情形, 這種情形比較簡單,而且實際應(yīng)用上較為常見.3. 實對稱矩陣的對角化 和一般的方陣相比, 實對稱矩陣具有更好的性質(zhì):性質(zhì)2: 設(shè)方陣是實對稱矩陣, 則有1) 的所有特征值均是實數(shù);2) 的不同特征值所對應(yīng)的特征向量不但線性無關(guān), 而且相互正交; 定理2: 設(shè)為階實對稱矩陣, 則必有正交矩陣, 使 其中 為的特征值. 說明: 1) 定理2表明, 任何實對稱矩陣都能對角化為一個對角矩陣,而且的主對角線元素就是的特征值, 同時說明是非虧損矩陣;2) 定理2的證明采用數(shù)學歸納法易于學生理解;3

6、) 強調(diào)這里的矩陣不僅可逆,而且是正交矩陣.這樣對于任何實對稱矩陣,第一問題已經(jīng)得到了圓滿的解決,下面通過舉例說明如何求正交矩陣, 使實對稱矩陣對角化,這也是本節(jié)剛開始提出的第二個問題.4. 舉例例1 設(shè) 求一正交矩陣, 使.解: 由此得的特征值為 .當 時, 解方程組 得一個基礎(chǔ)解系 , 將其規(guī)范化得 當 時, 解方程組 得一個基礎(chǔ)解系 , 由于恰好正交, 所以只要規(guī)范化為 , 因此并且 由這個例子可見, 對于實對稱矩陣, 求一個正交矩陣, 使得的步驟如下:第一步 求的特征值;第二步 求對應(yīng)于每個特征值的特征向量. 對單特征值, 只需將屬于它的特征向量規(guī)范化; 對重特征值,需要先求出屬于它的個線性無關(guān)的特征向量, 然后對這個特征向量進行正交規(guī)范化, 這樣就可以得到個兩兩正交的單位特征向量;第三步 以正交規(guī)范化的特征向量為列組成矩陣, 它就是要求的正交矩陣, 使, 這時的主對角線元素只需按組成時特征向量的順序依次將它們所屬的特征值排列即可.說明: 由于方程組 的基礎(chǔ)解系不唯一, 所以由此得到的正交矩陣不是唯一的. 比如在例1中,