相似三角形的判定性質經典例題分析

1、相似形（一）板塊一、課前回顧一、比例性質1.基本性質: （兩外項的積等于兩內項積）2.反比性質： (把比的前項、后項交換)3.合比性質：（分子加（減）分母,分母不變）4.等比性質：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么 談重點：(1)此性質的證明運用了“設法” ，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法 (2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數，再利用等比性質也成立5.黃金分割：內容 尺規(guī)作圖作一條線段的黃金分割點經典例題回顧：例題1已知a、b、c是非零實數，且，求k的值.例題2已知，求的值。板塊二、新課講解知識點一、

2、相似形的概念 概念：具有相同形狀的圖形叫相似圖形 談重點：相似圖形強調圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例全等形知識點二、平行線分線段成比例定理 定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，如圖：l1l2l3。 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

3、推論：如果一條直線平行于三角形的一條邊，截其它兩邊(或其延長線)，那么所截得的三角形與原三角形相似推論的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：DEBC，ABCADE； 知識點三、相似三角形的判定判定定理1：兩角對應相等，兩三角形相似符號語言： 拓展延伸：（1）有一組銳角對應相等的兩個直角三角形相似。 （2）頂角或底角對應相等的兩個等腰三角形相似。例題精講 【重難點高效突破】例題1如圖，直線DE分別與ABC的邊AB、AC的反向延長線相交于D、E，由EDBC可以推出嗎？請說明理由。（用兩種方法說明）例題2（射影定理）已知：如圖，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D.求證：（1

4、）；（2）；（3）例題3如圖，AD是RtABC斜邊BC上的高，DEDF，且DE和DF分別交AB、AC于E、F.則嗎？說說你的理由. 例題4如圖，在平行四邊形ABCD中，已知過點B作BECD于E,連接AE，F為AE上一點，且BFE=C（1） 求證：ABFEAD；（2） 若AB=4，BAE=30°，求AE的長；（3） 在（1）（2）條件下，若AD=3，求BF的長?！炯磿r訓練】一、選擇題1如圖，ABC經平移得到DEF，AC、DE交于點G，則圖中共有相似三角形（ ）A 3對 B 4對 C 5對 D 6對2如圖，已知DEBC，EFAB，則下列比例式中錯誤的是（ ）A B C D .3.在矩形A

5、BCD中，E、F分別是CD、BC上的點，若AEF=90°，則一定有（ ）AADEAEF B.ECFAEF C.ADEECF D.AEFABF4、如圖，直線l1l2，AFFB=23，BCCD=21，則AEEC是（ ）A.52 B.41 C.21 D.32（1題圖） （2題圖） （3題圖） （4題圖）5.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長線上的一點，連結AE交CD于F，則圖中共有相似三角形（ ） A.1對 B.2對 C.3對 D.4對(5題圖) (6題圖) (7題圖) ( 8題圖)6.ABC中，DEBC，且ADDB=21，那么DEBC等于（ ）A.21 B.12 C.23 D.3

6、27.如圖，P是RtABC的斜邊BC上異于B、C的一點，過點P做直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（ ）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條8.如圖，已知DEBC，EFAB，則下列比例式中錯誤的是（ ）A. B. C. D.9.下列說法：其中正確的是( )所有的等腰三角形都相似；所有的等邊三角形都相似；所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似.A. B. C. D.二、解答題1、如圖，ABC中，BD是角平分線，過D作DEAB交BC于點E，AB=5cm，BE=3cm，求EC的長. 2.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=90°，對角線BDD

7、C.(1)ABC與DCB相似嗎？請說明理由.(2)如果AD=4，BC=9，求BD的長.3.已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點.ADQ與QCP是否相似？為什么？4.如圖，已知AD為ABC的角平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于點E，交AB與F，試判定BAE與ACE是否相似，并說明理由。5.如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動點P在AB邊上由A向B作勻速運動，1分鐘可到達B點；動點Q在BC邊上由B向C作勻速運動，1分鐘可到達C點，若P、Q兩點同時出發(fā)，問經過多長時間，恰好有PQBD？ 6.已知：如圖所示，D是AC上一點，BEAC，

8、AE分別交BD、BC于點F、G，1=2.則BF是FG、EF的比例中項嗎？請說明理由.7.如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，BAC的平分線分別交BC、CD于點E、F.ACAE=AFAB嗎？說明理由.相似形（二）板塊二、新課講解知識點1相似三角形的判定判定定理(2)：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理(3)：三邊對應成比例，兩三角形相似 知識點2直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似知識點3 相似三角形中的基本圖形 A型，X型 交錯型 旋轉型 母子形例題精講 【重難點高效突破】例題1如圖在4×4的正方形方格中，ABC和

9、DEF的頂點都在長為1的小正方形頂點上（1）填空：ABC=_，BC=_（2）判定ABC與DEF是否相似？并說明理由。例題2. 如圖，在ABC中，已知BD、CE是ABC的高，求證：ADEABC。例題3如圖，已知ABBD，CDBD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點P在BD上由B點向D點移動，當BP等于多少時，ABP與CPD相似？例題4.已知：如圖，在ABC中，C90°，P是AB上一點，且點P不與點A重合，過點P作PEAB交AC于E，點E不與點C重合，若AB10，AC8，設APx，四邊形PECB的周長為y，求y與x的函數關系式 例題5在三角形ABC中，AB=AC，ADBC于點

10、D，DEAC于點E，M為DE的中點，AM與BE相交于點N，延長AM交BC于點G，AD與BE相交于點F，求證：（1）;（2） BCEADM； （3）AMBE. 【隨堂演練】A組1下列命題中正確的是（ ）三邊對應成比例的兩個三角形相似 二邊對應成比例且一個角對應相等的兩個三角形相似 一個銳角對應相等的兩個直角三角形相似 一個角對應相等的兩個等腰三角形相似A、 B、 C、 D、2如圖，D、E分別是AB、AC上兩點，CD與BE相交于點O，下列條件中不能使ABE和ACD相似的是（ ）A. B=C B. ADC=AEB C. BE=CD，AB=AC D. ADAC=AEAB3如圖，在正方形網格上有6個斜三

11、角形：ABC，BCD，BDE，BFG，FGH，EFK.其中中，與三角形相似的是（ ）(A) (B) (C) (D)4如圖，DE與BC不平行，當= 時，ABC與ADE相似。5如圖，平行四邊形 ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使CBFCDE，則BF的長是（ ）A5 B8.2 C6.4 D1.8（3題圖） （4題圖） （5題圖）5如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AEBC于E，AFCD于F.(1)ABE與ADF相似嗎？說明理由.(2)AEF與ABC相似嗎？說說你的理由.6已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP=3PC，Q是CD的中點.ADQ與QCP

12、是否相似？為什么？7如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，EFEC交AB于F，連接FCAEFEFC嗎若相似，請證明；若不相似，請說明理由。若ABCD為矩形呢？板塊三、課后作業(yè)1如圖，正方形ABCD中，點E，F分別為AB，BC的中點，AF與DE相交于點O，則等于（ ）A B C D2如圖，直線EF交AB、AC于點F、E，交BC的延長線于點D，ACBC，已知,求證：6已知D是BC邊延長線上的一點，BC3CD，DF交AC邊于E點，且AE2EC試求AF與FB的比 7已知：如圖，在ABC中，BAC90°，AHBC于H，以AB和AC為邊在RtABC外作等邊ABD和ACE，試判斷BDH與AEH

13、是否相似，并說明理由 相似三角形的性質及其應用板塊二、新課講解知識要點：相似三角形的性質相似三角形的對應角相等，對應邊成比例相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方 【重難點高效突破】例題1. (1)兩個相似三角形的面積比為，與它們對應高之比之間的關系為_ (2)如圖，已知DEBC，CD和BE相交于O，若，則AD:DB=_(3)如圖，已知ABCD,BO:OC=1:4,點E、F分別是OC，OD的中點，則EF:AB的值為 (4)如圖，已知DEFGBC,且AD:FD:FB=1:2:3,則A.1:9:36

14、B.1:4:9 C.1:8:27 D.1:8:36(5) 梯形ABCD中，ADBC，（AD<BC），AC、BD交于點O,若,則AOD與BOC的周長之比為_。例題2.如圖，在ABC中，DEBC，且SADE :S四邊形BCED1:2，BC2。求DE的長。例題3. 如圖所示，已知DEBC，且與ABC的邊CA、BA的延長線分別相交于點D、E，F、G分別在邊AB、AC上，且AF：FB=AG：GC，求證：AFGAED。 例題4. 如圖，矩形EFGH內接于ABC，ADBC于點D，交EH于點M，BC20，AM8，SABC1002。求矩形EFGH的面積。例題5.ABC中，D為AB上一點，若ABC=ACD，

15、AD=8，DB=6，求AC的長。例題6.已知，如圖ABC中，BAC=900，AB=AC=1,D為BC上一動點（不與B,C重合），ADE=45°（1） 求證ABDDCE （2） 設BD=x,AE=y,求y與x的函數關系式（3）若ADE為等腰直角三角形時，求AE的長例題7、如圖,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=3，BC=7，B=60°，P為下底BC上一點（不與B、C 重合），連結AP,過P點作PE交DC于E,使得APE=B.（1）求證：ABPPCE；（2）求等腰梯形的腰AB的長；（3）在底邊BC上是否存在一點P,使得DEEC=53，如果存在,求出BP的長,如果不存在,請說

16、明理由.【隨堂演練】A組1.兩個相似三角形的面積比為4：9，那么它們周長的比為_.2若x：y：z=3：5：7，3x2y4z9則xyz的值為_. 3.如圖，APD90°，APPBBCCD，則下列結論成立的是（ ） 第4題A .PABPCA B.PABPDA C .ABCDBA D.ABCDCA 第3題4. 如圖，D、E分別是ABC的邊AB、AC上的點，1B，AEEC4，BC10，AB12，則ADE的周長為_ 5某學生利用樹影測松樹的高度，他在某一時刻測得15米長的竹竿影長09米，但當他馬上測松樹高度時，因松樹靠近一幢高樓，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墻上，他測得留在地面部分的影長是24米，留在墻上部分的影高是1.5米，則松樹的高度為_米6. 如圖，C為線段AB上的一點，ACM、CBN都是等邊三角形，若AC3，BC2，則MCD與BND的面積比為 。7如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AC、BD交于O點，SAOD:SCOB