用平均值定理求某些問題的最值

1、文件 sxgdja0020.doc科目 數(shù)學年級 高中章節(jié) 關(guān)鍵詞 平均值/最值/函數(shù)標題 用平均值定理求某些問題的最值內(nèi)容石景山區(qū)教師進修學校 賈光輝教學目標1.掌握平均值定理并能初步應(yīng)用它求某些函數(shù)的最值2.通過利用平均值定理解決一些有關(guān)問題，進一步培養(yǎng)學生的觀察能力、分析問題解決問題的能力3.培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想4.通過理解平均值定理的使用條件，學生進一步認識現(xiàn)實世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，對學生進行辯證唯物主義教育教學重點與難點重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及解決有關(guān)的應(yīng)用問題難點：注意定理的使用條件，正確地應(yīng)用平均值定理教學過程設(shè)計(一)引入新課師：對于某個給出的函數(shù)

2、，要問這個函數(shù)在指定的區(qū)間上有無最值及如何求出是我們經(jīng)常遇到的數(shù)學問題解決這類問題在初等數(shù)學的范圍內(nèi)并沒有通用的方法，只能解決一些特殊函數(shù)的最值問題因此，同學們要隨著知識的增加，不斷地總結(jié)一些常用方法前面，我們學習了不等式的性質(zhì)、證明不等式與函數(shù)的最值有無聯(lián)系呢?舉個例子生甲：有聯(lián)系如(x+1)20這個不等式就給出了函數(shù)y(x+1)2在定義域R上的最小值0生乙：有聯(lián)系如求函數(shù)y的最值，可以用判別式法構(gòu)造0這個不等式達到了求函數(shù)最值的目的師：這兩個同學所舉的例子說明不等式既是描述函數(shù)最值問題的數(shù)學語言，又是求解函數(shù)最值的有力工具其實，不等式刻畫的是數(shù)量之間的大小關(guān)系和變量的變化范圍，而函數(shù)的最值

3、則是通過數(shù)量大小的比較所反映的變量在一定范圍內(nèi)變動時所能達到的界值因此，它們之間有密切聯(lián)系讓我們來看一個實際問題(出示投影)(投影片1)引例 用籬笆圍一塊面積為50m2的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少米時，所用籬笆最省?此時，籬笆墻長為多少米?師：這是一個實際問題，問題的實質(zhì)是什么?可抽象成怎樣的數(shù)學問題?生：問題的實質(zhì)是求籬笆墻三邊分別長多少米時，其和的最小值如果設(shè)矩形寬為xm，那么由已知可得矩形的長為m再設(shè)籬笆墻長為ym，把這個實際問題抽象成數(shù)學問題是：求函數(shù)y2x+ (x0)的最小值并求取得最值時相應(yīng)的x值師：很好!這個函數(shù)的最值用我們以前學過的判別式方法可以求出嗎?生：點

4、頭示意師：它是最佳解法嗎?除了構(gòu)造不等式0求出此函數(shù)的最值以外，同學們能否利用不等式的有關(guān)知識構(gòu)造出其它不等式呢?仔細觀察這個函數(shù)生：用平均值不等式的變形式a+b就可以求出這個函數(shù)的最小值y2x+此函數(shù)的最小值為20師：使用平均值不等式變形式有條件限制嗎?生：有要求a，bR+，本題中x0，0，滿足條件師：此函數(shù)何時取得最小值?生：當2x，即x5時，這個函數(shù)取得最小值師：此時，問題解決了嗎?生：應(yīng)該把這個數(shù)學問題還原成實際問題，籬笆墻三邊分別長5m，10m，5m時，所用籬笆最省此時，籬笆墻長20m師：回顧解題過程，求得這個函數(shù)最值的關(guān)鍵是什么?生：2x0，0且2x是一個常數(shù)師：問題的關(guān)鍵抓得很準

5、怎樣求得函數(shù)取得最小值時相應(yīng)的x值呢?生：當2x時，函數(shù)取得最小值師：假如滿足2x的x值不在函數(shù)的定義域內(nèi)，如函數(shù)y2x+ (x6)，當2x時，函數(shù)能取得最小值嗎?生：只有在2x0，0且2x50x為常數(shù)的前提下，當2x且求得的x在函數(shù)的定義域內(nèi)，函數(shù)取得最小值師：概括得很好，這正是這節(jié)課我們要研究的用平均值定理求某些函數(shù)的最值(板書課題)(二)推證定理師：(板書)平均值定理：若a，bR+則，當且僅當ab時，取“”號；若a，b，cR+，則，當且僅當abc時，取“”號師：我們把平均值定理改寫成求某些函數(shù)(如引例中的函數(shù))最值的命題(板書) 已知兩個正變數(shù)的積是一個常數(shù)那么當且僅當這兩個數(shù)相等時，它

6、們的和取最小值師：類似地，你能否說出求某些函數(shù)最大值的命題呢?生：已知兩個正變數(shù)的和是一個常數(shù)，那么當且僅當這兩個數(shù)相等時，它們的積取最大值(教師板書)師：下面請同學們證明這個命題生：設(shè)這兩個正變數(shù)為x和y如果xyP(常數(shù))，那么由兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得x+y當且僅當xy時，有x+y這就是說，當xy時，x+y有最小值如果x+yS(常數(shù))，那么由兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，得，即xy當且僅當xy時，有xy這就是說，當xy時，xy有最大值師：既然已經(jīng)證明了上述命題為真命題，那么我們把它叫做定理1類似地，由三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，誰能說出求

7、某些函數(shù)最值的定理2呢?生：定理2 已知三個正變數(shù)和積(和)是一個常數(shù)，那么當且僅當這三個數(shù)相等時，它們的和(積)取得小(大)值(投影片2)師：利用這兩個定理，可以解決許多定積或定和條件下，若干個正變量的和或積的極值問題但是，必須注意使用定理的條件，要注意哪幾個條件?生：注意三個條件(1)這兩個或三個變數(shù)必須是正變數(shù)；(2)當它們的和是定值時，其積 取得最大值；當它們的積是定值時，其和取最小值；(3)當且僅當這兩個或三個數(shù)相等時，取“”號師：很好看來從定理中也反映出現(xiàn)實世界中的量不等是普遍的，絕對的，而相等是局部的，相對的，必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得此類函數(shù)的最

8、值(三)應(yīng)用定理例1(板書) 求函數(shù)yx+ (x0)的最小值，并求相應(yīng)的x值師：求兩項和的最小值，可以考慮試用定理1但是，此函數(shù)具備使用定理1的條件嗎?生：不具備因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且x與的積也不是常數(shù)師：能否創(chuàng)造條件?(學生討論)生甲：把函數(shù)變形為y(x+1)+ -1，這時，正數(shù)x+1，的積是常數(shù)1，可以用定理1求得這個函數(shù)的最小值師：使用定理1的條件都具備了嗎?生乙：當且僅當x+1時，這個函數(shù)能夠取得最小值師：是只要求出方程x+1的解x0就能保證此函數(shù)能夠最得最小值嗎?生丙：還要注意解出的x0是否屬于函數(shù)的定義域師：這一點也很重要，不容忽視(教師板演，學生練習，共同完成解題過程)

9、解：yx+(x+1)+ -1由x0，知x+10，0，且(x+1)1(常數(shù))因此由定理1得：當且僅當x+1，即x0時，yx+ (x0)有最小值，最小值是y-11師：也可以書寫成如下格式(投影片3)解：yx+(x+1)+ -1由x0，知x+10，0所以y(x+1)+ -1當且僅當x+1，即x0時，yx+ (x0)取得最小值，最小值是1師：回顧解題過程，同學們根據(jù)此函數(shù)的特點，通過恰當?shù)暮愕茸冃畏植鹱兞?，確定了符合定理1條件的正變量(x+1)與，把問題轉(zhuǎn)化為定積條件下的兩個正變量的和的最小值問題，使問題得以解決下面請大家再解決一個問題例2 設(shè)0x，求x為何值時，函數(shù)yx(5-2x)2有最大值?最大值

10、是多少?(投影片4)師：這是一個什么問題?生：求三個正變量積的最大值師：這三個正變量的和為定值嗎?若不為定值，怎樣轉(zhuǎn)化?(學生討論)生：雖然x+(5-2x)+(5-2x)常數(shù)，但是要保證5-2x5-2x，因此5-2x不宜再變，要使這三個正變量和為定值只需考慮4x+(5-2x)+(5-2x)常數(shù)師：這個想法很好!是必不可少的思維過程這樣，原函數(shù)的變形方向就非常明確了生：原函數(shù)變形為y4x(5-2x)2師：具備使用定理2的條件了嗎?生：具備了4x0，5-2x0且4x+(5-2x)+(5-2x)10，還有當4x5-2x時，求得的x值在函數(shù)的定義域內(nèi)師：回答得很全面我們要學會善于全方位地把握問題，培養(yǎng)

11、自己良好的思維品質(zhì)(學生完成解答，教師巡視并用實物投影展示學生甲的解題過程、講評)師：由例1、例2可以看出，用平均值定理可以解決哪類函數(shù)的最值問題?生：解決定積或定和條件下的兩個或三個正變量的和或積的最值問題師：多數(shù)情況下，題設(shè)中具備使用定理的條件并未直接給出，怎樣促成使用定理的三個條件，選配好正變量?生：通過恒等變形，如例1中使用的拆分變量的方法，例2中使用的匹配系數(shù)的方法等，促成使用定理的三個條件師：當然，這些方法都是服務(wù)于使用定理的，正確使用定理 解決問題是關(guān)鍵下面請同學們觀察兩個題目的解法是否正確?(四)易錯解法討論(投影片5) 例3 求函數(shù)y1-2x-的最值，下面解法是否正確?為什么

12、?解：y1-2x-1-(2x+)因2x+，則y，所以ymin (學生討論)生甲：解法錯誤因為在不能斷定2x與為正數(shù)的前提下，不能使用定理1求函數(shù)的最值師：不能斷定2x與的正負應(yīng)該怎么辦?生乙：可以對x和0為標準分類討論師：這是一個解決問題的好辦法請你說說怎樣解?生乙：當x0時，2x0，0且2x6定理1，得當且僅當2x，即x時，y1-2x-1-(2x+)有最大值，最大值是y當x0時，-2x0，-0且(-2x)(- )6由定理1，得當且僅當-2x-，即x-62時，y1-2x-有最小值，最小值是y師：很好既然同學們的眼光很敏銳，那么自己解題時可不能只見樹木，不見森林，僅套用“積為定值，和有最小值”的

13、結(jié)論，造成如此錯誤(投影片6) 例4 求函數(shù)y2x2+ (x0)的最小值，下面解法是否正確?為什么?解法1：由x0，知2x20，0，則y2x2+當且僅當2x2，即x時，ymin解法2：由x0，知2x20，0，0，則y則ymin(學生討論)生甲：解法1是錯誤的因為正變數(shù)2x2與的積不是常數(shù)，不滿足定理1的使用條件師：為什么利用不等式求函數(shù)最值時，必須注意不等式中一端是變量，另一端必須是常量呢?請同學們看投影片(投影片7)師：如果不等式兩端都是變量f(x)g(x)，如圖5-4，可知f(x)g(x)恒成立，且“”在xa時，能取到，這時能說f(a)是函數(shù)f(x)的最小值嗎?生乙：解法2也是錯誤的因為“

14、”成立的條件是2x2，而由得知方程無解也就是說不存在的x00使y02x20+成立，y取不到，因此不是此函數(shù)的最小值師：求解定和、定積條件下的最值問題，最值的取得必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件如果僅把注意力集中在選取或設(shè)置符合定值條件下的正變量，而對相等條件忽略，那么就會造成這種錯誤這道題大家怎么解?生：把拆成相等的兩項和，同時也保證了2x20，0且2x2，與的積是常數(shù)，這時，可以應(yīng)用定理2求出此函數(shù)的最小值(教師用投影展示解法3)(投影片8) 解法3：y2x2+2x2+由x0，知2x20，0故2x2+當且僅當2x2，即x時，ymin師：同學們可以回顧與反思一下，當我們求幾項和

15、的最值時，如果這幾項中的整式，也有分式，且其乘積的分子或分母中至少有一仍帶變量，如例4中函數(shù)y2x2+ (x0)，再比如函數(shù)yx+ (x0)，那么你會嘗試分析哪個正變量以保證各項積為常數(shù)呢?生：如果分拆整式或分式的分母中次數(shù)較高的正變量，那么各項積的次數(shù)不會為0；看來可以嘗試分拆整式或分式的分母中次數(shù)較低的正變量才能保證各項為常數(shù)缺圖5-5師：很好同學們在用不等式的知識求某些函數(shù)的最值時，不僅需要從理論上理解，而且還要在具體運用時善于總結(jié)一些規(guī)律，這也是養(yǎng)成良好學習習慣的一個方面下面請同學們運用所學知識解決一個實際問題(五)解決實際問題(投影片9) 例5 在一個直徑是50mm的球形器材中，嵌入

16、一根圓軸(如圖5-5)，為了使圓軸不易脫出，應(yīng)該使它與球有最大的接觸面積，問圓軸的直徑應(yīng)是多少?師：解應(yīng)用題首先要認真審題，認清問題的已知條件，需求解的對象，各種量之間的相互聯(lián)系緊緊抓住變量之間的關(guān)系，分析各種制約條件，然后建立恰當?shù)臄?shù)學模型，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，如函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學問題，再用已學過的數(shù)學知識解決這個數(shù)學問題，最后回到實際問題本題實質(zhì)上是一個什么問題?生：圓軸與球的接觸面積應(yīng)是所需圓柱的側(cè)面積本題實質(zhì)上求當所需圓柱的直徑為多少毫米時，此圓柱的側(cè)面積最大師：怎樣用題中的量表示此圓柱的側(cè)面積?生：設(shè)圓軸的半徑為xmm，與球接觸的圓軸的高為hmmm，圓柱與球的接觸面積是y

17、mm2因為圓軸與球的接觸面積是一個圓柱的側(cè)面積，所以y2xh師：我們的目標是求使側(cè)面積y為最大的條件，常把函數(shù)y=2xh。稱為“目標函數(shù)”，這里的目標函數(shù)是二元函數(shù)，能否消去一元?生：如圖，在RtOAB中，OA2+AB2OB2，即. 由得h，代入式得y師：式給出了兩個“元”之間的關(guān)系，通常把這樣的關(guān)系式稱為“約束條件”，這位同學把約束條件代入目標函數(shù)，使其化為一元函數(shù)其中，x的取值有限制嗎?生：0x25師：現(xiàn)在的問題已轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y (0x25)的最大值怎樣求?生：對于幾個正變量的積的最值問題，可以考慮利用平均值定理來求但是，本題中正變量的和卻不是常數(shù)師：聯(lián)系前面幾個例題，我們采用分拆變量或匹

18、配系數(shù)的方法，恰當?shù)剡x配滿足定值條件的正變量，促使問題解決此函數(shù)呢?(學生討論)生甲：前幾個例題中函數(shù)的解析式?jīng)]有帶根號的，我想把解析式轉(zhuǎn)化為有理式又因為x0時，y與y2同時有最大值，所以先求出y2162x2(625-x2)的最值，再求y的最值生乙：觀察正變量x與的和不是常數(shù)，但是，x2與(625-x2)的和是常數(shù)所以把函數(shù)解析式變形為y)，求出zx2(625-x2)的最值，就可得到y(tǒng)的最值師：這兩種變形是否都同時滿足“正數(shù)”“定值”“相等”三個條件?生：點頭示意師：同學們把要解決的問題與舊知識建立聯(lián)系，抓住要保證兩個正變量的和為常數(shù)這一關(guān)鍵實現(xiàn)轉(zhuǎn)化我們的學習就是在這種不斷聯(lián)系、轉(zhuǎn)化中取得進步

19、的下面請同學們完成解答過程(教師巡視，用實物投影展示某學生的解法)（投影片10） 解：設(shè)圓軸的半徑為xmm，與球接觸的圓軸的高為hmm，圓軸與球的接觸面積是ymm2則圓軸與球的接觸面積是一個圓柱的側(cè)面積且有y2xh ，其中0x25-x2 由得，h代入得y于是y162x2（625-x2）162462522 當且僅當x2625-x2，即x時，等號成立此時ymax1250（mm2）.因此圓柱的直徑是2x25235.4（mm） 答：圓柱的直徑應(yīng)約為35.4mm （六）鞏固練習（學生練習，教師巡視，糾正錯誤） A組 （1）求函數(shù)y（1-2x）x（0x的最大值（） （2）求函數(shù)y4x2+（x0）的最小值

20、（A組題檢查教學目標是否達到） B組 設(shè)x0，y0且3x+4y12，求lgx+lgy的最大值（lg3） （B組題供學有余力的學生使用） （七）小結(jié)師：這節(jié)課我們討論了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值的問題現(xiàn)在，我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值的方法這是平均值定理的一個重要應(yīng)用，也是本章的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握應(yīng)用定理時，同學們要注意些什么呢?生:應(yīng)注意同時滿足三個條件,(1)兩個(或三個)變數(shù)都是正數(shù);(2)這兩個(或三個)正變數(shù)的積(或和)是一個常數(shù);(3)這兩個(或三個)正變數(shù)能夠相等.三個條件缺一不可.師:不能直接利用定理時,要善于轉(zhuǎn)化.這里關(guān)鍵是掌握好轉(zhuǎn)化的條件,通過運用有關(guān)變形的具體方法,以達到化歸的目的.（八）布置作業(yè) 組（1）設(shè)x1，求x取何值時，ylog2x+logx4取最小值，最小值是多少?（當x時 ，ymi。） （2）求函數(shù)y2x（x0）的最大值，以及相應(yīng)的x值（當x時，ymax100）（A組題為基本題目，獨立完成） B組 （1）設(shè)xR，求函數(shù)y的最值（當x0時，ymin2） （2）求函數(shù)ysinxcos2x，x