第三講線性規(guī)劃學(xué)生版

1、第三講 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題一 目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組. 3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.重點(diǎn)：用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域，利用圖解法求得線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.難點(diǎn)：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問(wèn)題，并給出解答，解決難點(diǎn)的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解。二 知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：二元一次不等式（組）的定義1.二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫做二元一次不等式

2、。2.二元一次不等式組：由幾個(gè)二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。3.二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的和的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)，所有這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。知識(shí)點(diǎn)二：用圖形表示不等式（組）1. 一元一次不等式（組）的解集可以用數(shù)軸上的區(qū)間所對(duì)應(yīng)的圖形表示. 如的圖形表示為（如圖），其中1叫界點(diǎn).2. 二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系：二元一次不等式（組）的解集是有序?qū)崝?shù)對(duì)，而點(diǎn)的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對(duì)，因此，有序?qū)崝?shù)對(duì)就可以看成是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此，二元一次不等式（組）的解集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)

3、構(gòu)成的集合。3.二元一次不等式所表示的平面區(qū)域：在平面直角坐標(biāo)系中，直線將平面分成兩部分，平面內(nèi)的點(diǎn)分為三類：直線上的點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)滿足：；直線一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)滿足：；直線另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)滿足：。即二元一次不等式或在平面直角坐標(biāo)系中表示直線的某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，直線叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界，（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線，實(shí)線表示區(qū)域包括邊界直線）。4二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)，從的正負(fù)即可判斷表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)

4、時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）以上判定方法簡(jiǎn)稱為“直線定界、特殊點(diǎn)定域”法.5.不等式組所表示的平面區(qū)域由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。知識(shí)點(diǎn)三：線性規(guī)劃的有關(guān)概念：1. 線性約束條件：如果兩個(gè)變量、滿足一組一次不等式組，則稱不等式組是變量、的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于、的一次不等式，故又稱線性約束條件2. 線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于、的一次式是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量、的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)3. 線性規(guī)劃問(wèn)題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題4. 可行解、可行域和最優(yōu)解：在線性規(guī)劃問(wèn)題中，滿

5、足線性約束條件的解叫可行解；由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。規(guī)律方法指導(dǎo)1.判斷二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直線的哪一側(cè)的方法：因?yàn)閷?duì)在直線Ax+By+C =0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x ,y)，數(shù)Ax+By+C的符號(hào)相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(diǎn)(x0, y0)（若原點(diǎn)不在直線上，則取原點(diǎn)(0,0)最簡(jiǎn)便），它的坐標(biāo)代入Ax+By+c，由其值的符號(hào)即可判斷二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直線的哪一側(cè).2. 畫(huà)二元一次不等式或表示的平面區(qū)域的基本步驟：畫(huà)出直線（有等號(hào)畫(huà)實(shí)線，無(wú)等

6、號(hào)畫(huà)虛線）；當(dāng)時(shí)，取原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，判斷原點(diǎn)所在的平面區(qū)域；當(dāng)時(shí)，另取一特殊點(diǎn)判斷；確定要畫(huà)不等式所表示的平面區(qū)域。簡(jiǎn)稱：“直線定界，特殊點(diǎn)定域”方法。3.在應(yīng)用線性規(guī)劃的方法時(shí)，一般具備下列條件：一定要能夠?qū)⒛繕?biāo)表述為最大化（極大）或最小化（極?。┑囊?；一定要有達(dá)到目標(biāo)的不同方法，即必須要有不同的選擇的可能性存在；所求的目標(biāo)函數(shù)是有約束（限制）條件的；必須將約束條件用代數(shù)語(yǔ)言表示成為線性等式或線性不等式（組），并將目標(biāo)函數(shù)表示成為線性函數(shù)。4.對(duì)于只有兩個(gè)變量的線性規(guī)劃(即簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃)問(wèn)題，可以用圖解法求解其基本的解決步驟是： 設(shè)變量，建立線性約束條件及線性目標(biāo)函數(shù)； 畫(huà)出可行域； 求

7、出線性目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最值(即最優(yōu)解)；作答5.線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用：在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)三典型例題透析類型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域例1. 畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域。解析：先畫(huà)直線（畫(huà)成虛線）.取原點(diǎn)代入得,原點(diǎn)不在表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式表示的區(qū)域如圖：總結(jié)升華：1. 畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法。特殊地，當(dāng)時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)。2. 虛線表示區(qū)域不包括邊界直線，實(shí)線表示區(qū)域包括邊界

8、直線舉一反三：【變式1】畫(huà)出下列不等式所表示的平面區(qū)域（1）； （2）【答案】（1） （2）例2. 用平面區(qū)域表示不等式組.思路點(diǎn)撥: 不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。解析：不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集?？偨Y(jié)升華：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。舉一反三：【變式1】畫(huà)出下列不等式組表示的平面區(qū)域。（1）； （2）； （3）.【變式2】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域并求其面積?！咀兪?

9、】由直線，和圍成的三角形區(qū)域（如圖）用不等式組可表示為。例3. 畫(huà)出下列不等式表示的平面區(qū)域(1) ； (2) 思路點(diǎn)撥: 將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，然后畫(huà)圖.解析：(1) 原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為或（無(wú)解），故點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，如圖：(2) 原不等式等價(jià)為或，如圖總結(jié)升華：把非規(guī)范形式等價(jià)轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解舉一反三：【變式1】用平面區(qū)域表示不等式【變式2】用平面區(qū)域表示不等式（1）； （2）； （3）例4.求滿足不等式組的整數(shù)解.思路點(diǎn)撥:不等式組的實(shí)數(shù)解集為直線：，：，：所圍成的三角形區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)，求出三條直線的交點(diǎn)，求得區(qū)域內(nèi)點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍，取出的所有整數(shù)值，再代回原不等式組轉(zhuǎn)

10、化為的一元不等式組得出相應(yīng)的的整數(shù)值。解析：設(shè)：，：，：，則由，得，由，得由，得于是看出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在內(nèi)，取，當(dāng)時(shí)，代入原不等式組有，即，得2，區(qū)域內(nèi)有整點(diǎn)。同理可求得另外三個(gè)整點(diǎn)、.總結(jié)升華：求不等式的整數(shù)解即求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)是教學(xué)中的難點(diǎn)，它為線性規(guī)劃中求最優(yōu)整數(shù)解作鋪墊。常有兩種處理方法，一種是通過(guò)打出網(wǎng)絡(luò)求整點(diǎn)；另一種是本題解答中所采用的，先確定區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，確定的所有整數(shù)值，再代回原不等式組，得出的一元一次不等式組，再確定的所有整數(shù)值，即先固定，再用制約。舉一反三：【變式】求不等式組的整數(shù)解。類型二：圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題.例5.已知、滿足約束條件，求下列各式的最大

11、值和最小值.（1）； （2）.解析：（1）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：圖2求出交點(diǎn)，作過(guò)點(diǎn)的直線:，平移直線，得到一組與平行的直線:,. 可知，在經(jīng)過(guò)不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的直線所對(duì)應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的直線所對(duì)應(yīng)的最小，所以.（2）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：作過(guò)點(diǎn)的直線:，平移直線，得到一組與平行的直線:,. 可知，在經(jīng)過(guò)不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過(guò)線段上的所有點(diǎn)時(shí)的直線所對(duì)應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的直線所對(duì)應(yīng)的最小，所以.總結(jié)升華：1.本題的切入點(diǎn)是賦予“”恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x：縱截距或橫截距；2.線性目標(biāo)函數(shù)的最大

12、值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得；3.線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可能在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的圖象一定與區(qū)域中的一條邊界直線平行舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的、滿足約束條件.【變式2】求的最大值、最小值，使、滿足條件例6.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力和煤、電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動(dòng)力（個(gè)）煤（噸）電（千瓦）A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤(rùn)是7萬(wàn)元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)是12萬(wàn)元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問(wèn)該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多

13、少噸，才能獲得最大利潤(rùn)？思路點(diǎn)撥:本題中條件較多，應(yīng)分門(mén)列類列出約束條件后，再運(yùn)用圖解法進(jìn)行求解。解析：設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各x、y噸，利潤(rùn)為z萬(wàn)元?jiǎng)t，目標(biāo)函數(shù)作出可行域，如圖所示， 作出在一組平行直線7x+12y=t（t為參數(shù)）中經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線，此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（20，24）故z的最優(yōu)解為（20，24），z的最大值為7×20+12×24=428（萬(wàn)元）?？偨Y(jié)升華：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無(wú)論此類題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面

14、區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解舉一反三：【變式1】家具公司制作木質(zhì)的書(shū)桌和椅子，需要木工和漆工兩道工序，已知木工平均四個(gè)小時(shí)做一把椅子，八個(gè)小時(shí)做一張書(shū)桌，該公司每星期木工最多有8000個(gè)工作時(shí)；漆工平均兩小時(shí)漆一把椅子、一小時(shí)漆一張書(shū)桌，該公司每星期漆工最多有1300個(gè)工作時(shí)，又已知制作一把椅子和一張書(shū)桌的利潤(rùn)分別是15元和20元，試根據(jù)以上條件，問(wèn)怎樣安排生產(chǎn)能獲得最大利潤(rùn)?【變式2】某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用勞動(dòng)力3個(gè)，獲利7000元：生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動(dòng)力10個(gè)，獲利12000元。有一個(gè)生產(chǎn)日

15、，這個(gè)廠可動(dòng)用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動(dòng)力是300個(gè)，問(wèn)應(yīng)該如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使工廠在當(dāng)日的獲利最大，并問(wèn)該廠當(dāng)日的最大獲利是多少?【變式3】某運(yùn)輸公司有7輛載重量為6 t的A型卡車(chē)與4輛載重量為10 t的B型卡車(chē)，9名駕駛員，在建筑某段高速公路中，此公司承擔(dān)了每天至少搬運(yùn)360 t瀝青的任務(wù)，已知每輛卡車(chē)每天往返的次數(shù)為A型卡車(chē)8次，B型卡車(chē)6次，每輛卡車(chē)每天往返的成本費(fèi)為A型卡車(chē)160元，B型卡車(chē)252元，每天派出A型車(chē)與B型車(chē)各多少輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？四基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：1在下列各點(diǎn)中，不在不等式2x+3y5表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)為（ ） A（0，1） B（

16、1，0） C（0，2） D（2，0）2若點(diǎn)(3,1)和(-4,6)在直線3x-2y+a=0的兩側(cè)，則a的取值范圍是( )A. a<-1或a>24 B. a=7或a=24 C. -7<a<24 D. -24<a<73已知x，y滿足條件，則z=2x+y的最大值是（ ）A10 B12 C14 D164 若x，y滿足約束條件，則z=2x+4y的最小值為( )A. 6 B. -6 C. 10 D. -105不等式組 表示的平面區(qū)域的面積等于( )A28 B16 C D1216若E為平面上以A(4，1)， B(-1，-6)，C(-3，2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界)，

17、則z4x-3y的最大值與最小值分別為( )A14，18 B14，18 C18，14 D18，147.若變量x、y滿足下列條件：，則使z3x+2y的值最小的(x,y)是( )。A(4.5，3) B(3，6) C(9，2) D(6，4)8.已知A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），平面區(qū)域是ABC的約束條件是。9已知D是以點(diǎn)A（4，1），B（1，6），C（3，2）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域（包括邊界與內(nèi)部）。如圖所示。（1）寫(xiě)出表示區(qū)域D的不等式組；（2）設(shè)點(diǎn)B（1，6），C（3，2）在直線4x3ya=0的異側(cè)，求a的取值范圍。10.某玩具公司每天工作小時(shí)的機(jī)器上可制造兩種玩具：衛(wèi)兵和騎兵。制造

18、一個(gè)衛(wèi)兵需要秒鐘和克金屬，制造一個(gè)騎兵需要秒鐘和克金屬，每天可供給的金屬量最多為千克，制造一個(gè)衛(wèi)兵的利潤(rùn)是元，制造一個(gè)騎兵的利潤(rùn)是元，問(wèn)：每種玩具各制造多少個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？11.一根長(zhǎng)度為的鋼管，現(xiàn)需要截成長(zhǎng)為和的甲、乙兩種毛坯，且甲、乙兩種毛坯的數(shù)量比要大于，問(wèn)怎樣截取最合理？（即剩的最少？）12.以兩種飼料A和B的混合物飼養(yǎng)一動(dòng)物，每一兩飼料A中含有10克蛋白質(zhì)，0.5克脂肪和10克碳水化合物；每一兩飼料B中含有5克蛋白質(zhì)，1克脂肪和10克碳水化合物；A和B的價(jià)格為每一兩5分錢(qián)和4分錢(qián)。每份混合飼料至少應(yīng)含有100克蛋白質(zhì)，10克脂肪和180克碳水化合物。問(wèn)每份混合飼料中A和B各多少，才能使成本最少？能力提升：13在直角坐標(biāo)系內(nèi)，滿足不等式x2y20的點(diǎn)（x，y）的集合（用陰影表示）是（ ）14滿足|x|+|y|4的整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù))的點(diǎn)(x，y)個(gè)數(shù)是()(A) 16 (B) 17 (C) 40 (D) 4115集合M=(x,y)|2y3x+5，集合P=(x，y)|y-4x+8，集合S=(x,y)|7y5x-10,若T=(MP)S，