第5章積分及其應(yīng)用

1、第5章 積分及其應(yīng)用5.1 不定積分5.1.1不定積分的概念與性質(zhì)1原函數(shù)概念定義 在某區(qū)間上，若有，則稱函數(shù)是在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).例如，在區(qū)間（，）上有，于是是在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)；不難看出，（為任意常數(shù)）都是的原函數(shù)一般地，若是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，（為任意常數(shù)）都是在區(qū)間上的原函數(shù)，而且的所有原函數(shù)可表示為（為任意常數(shù)）例1 求函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)例2 求函數(shù)的所有原函數(shù)2不定積分的定義定義 函數(shù)的所有原函數(shù)稱為的不定積分，記作其中“”稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量.由定義可知，若是的一個(gè)原函數(shù)，即，則，其中是任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)由例2可知，這是冪函數(shù)的不定積

2、分公式，凡冪函數(shù)的不定積分可直接由此求出如：， ， ， ，等等例3 求函數(shù)的不定積分例4 求函數(shù)的不定積分3不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）的互逆性質(zhì)（1），即：一個(gè)函數(shù)先進(jìn)行積分運(yùn)算，再進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，兩者作用相互抵消，得到的是這個(gè)函數(shù)本身；（2），即：一個(gè)函數(shù)先進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，再進(jìn)行積分運(yùn)算，得到的是這個(gè)函數(shù)本身加上任意常數(shù)性質(zhì)2 不定積分的運(yùn)算性質(zhì)（1），即：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分符號的前面；（2），即：兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的代數(shù)和這一結(jié)論可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形，即例5 求下列不定積分：（1）； （2）； （3）例6 某

3、產(chǎn)品在時(shí)刻（小時(shí)）的總產(chǎn)量的變化率為，且已知時(shí)產(chǎn)量為0，求此產(chǎn)品的產(chǎn)量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系5.1.2 不定積分的基本積分公式 不定積分是求導(dǎo)（或微分）的逆運(yùn)算，根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得到相應(yīng)的不定積分公式例如，由導(dǎo)數(shù)公式，有，所以類似可以得到其它基本積分公式，為方便記憶，下面將基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及其對應(yīng)的基本積分公式同時(shí)列出，如表1所示表1序號基本積分公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式12，34，567891011例1 求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）例2 求例3 求 例4 設(shè)某商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，最大需求量為5000（即價(jià)格為0時(shí)的需求量是5000）已知邊際需求為，求需

4、求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系式例5 某產(chǎn)品邊際成本函數(shù)，已知10000件產(chǎn)品的總成本是1200百元，求總成本函數(shù)5.1.3 不定積分的積分方法1直接積分法直接運(yùn)用不定積分的基本積分公式和不定積分的運(yùn)算性質(zhì)（有時(shí)需先對被積函數(shù)作簡單的恒等變形）求不定積分的方法，稱為直接積分法利用直接積分法所能求出的不定積分是非常有限的，下面介紹不定積分的換元積分法和分部積分法，它們是最常用的積分方法2換元積分法為了計(jì)算積分，可以將微分湊成，使變量一致為，即（湊微分）（變量替換）（求不定積分）（變量還原）一般地，有稱以上這種積分方法為第一換元積分法，又稱為湊微分法例1 求不定積分例2 求例3 求下列不定積分：（1）； （

5、2）； （3）； （4）第一換元法是把以為積分變量的積分通過變換而變?yōu)殛P(guān)于積分變量的積分，但有時(shí)，情形恰好相反這種積分法稱為第二換元積分法，主要解決含根式函數(shù)的積分，即選擇一種替換法消除根號，使積分由難變易例4 求不定積分3分部積分法設(shè)函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則此式稱為分部積分公式，這一公式說明，如果計(jì)算積分較困難，而積分易于計(jì)算，則可以使用分部積分法計(jì)算使用該公式的關(guān)鍵是如何選擇和，一般地，的選擇應(yīng)使易于求得，且比易于計(jì)算例5 求不定積分：（1）； （2）； （3）5.2 定積分5.2.1 定積分的概念與性質(zhì)1問題的提出（1）曲邊梯形的面積如圖6-1，在直角坐標(biāo)系中，由連續(xù)曲線與直線以及軸圍成的

6、平面圖形稱為曲邊梯形如何求曲邊梯形的面積A呢？我們采用極限方法，即先求近似值，通過“無限接近”，導(dǎo)出準(zhǔn)確值，具體做法如下：分割用個(gè)分點(diǎn)將區(qū)間分割成個(gè)小區(qū)間，以表示第個(gè)小區(qū)間的長度過分點(diǎn)作軸的平行線，則將曲邊梯形分割成了個(gè)小曲邊梯形（如圖6-2所示）近似任取，在每個(gè)小曲邊梯形中“以直代曲”，以為高、為底的矩形面積近似代替第個(gè)曲邊梯形的面積，即求和將個(gè)小矩形的面積加起來，便得到整個(gè)曲邊梯形面積的近似值，即取極限分割越細(xì)，近似值越精確，當(dāng)各小區(qū)間的長度最大者趨向于0時(shí)，上述和式的極限便是曲邊梯形面積的精確值，即（2）變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體沿直線作變速運(yùn)動，其速度是時(shí)間的函數(shù)，則從時(shí)間到這段時(shí)間內(nèi)

7、此物體所走過的路程是（3）非均勻生產(chǎn)的總產(chǎn)量設(shè)某一生產(chǎn)過程的總產(chǎn)量對時(shí)間的變化率（即邊際產(chǎn)量）為，則從時(shí)刻起到時(shí)刻的總產(chǎn)量是上述三例的實(shí)際意義完全不同，但解決問題的方法和數(shù)量關(guān)系是一個(gè)模式，即任意分割；以直代曲或以常量代變量求局部的近似值（微元）；作討論范圍內(nèi)近似值的和；求最大分割小區(qū)間長度趨于零的極限大量的這類問題就是定積分概念的實(shí)際背景，這種思想方法抽象出來，稱之為定積分2定積分的定義定義 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，用分點(diǎn)=<<<<<= 將分為個(gè)小區(qū)間，記第個(gè)小區(qū)間的長度為，任取，作乘積的和式，若極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記為，讀作“從到的積分

8、”，即其中稱“”為積分號，為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式，為積分變量，為積分區(qū)間，為積分下限，為積分上限注意： (1) 定積分是一個(gè)確定的常數(shù)，它只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)即(2) 定積分的定義中假設(shè)了，我們補(bǔ)充規(guī)定：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)當(dāng)函數(shù)在上連續(xù)時(shí)，必定存在（也稱可積）定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)的非零常數(shù)因子可以提到積分號外面即性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)定積分的代數(shù)和即這一結(jié)論可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況性質(zhì)3（定積分可加性） 對任意的點(diǎn)，有性質(zhì)4 如果在區(qū)間上，恒有，則性質(zhì)（積分中值定理） 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

9、得5.2.2 微積分基本公式定理 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，是的一個(gè)原函數(shù)，則這個(gè)公式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓萊布尼茨公式為書寫方便，通常以表示，上式常寫作定積分的值等于被積函數(shù)的任一個(gè)原函數(shù)在積分上限與積分下限的函數(shù)值之差例1 計(jì)算下列定積分：（1）； （2）； （3）例某城市當(dāng)消費(fèi)者個(gè)人收入為時(shí)，消費(fèi)支出的變化率為，當(dāng)個(gè)人收入由1600元增加到2500元時(shí)，消費(fèi)支出增加了多少？例3 已知，求的值例4 計(jì)算5.2.3 定積分的積分方法1定積分的換元積分法設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，令，如果（1）是單調(diào)；（2）上連續(xù)；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則有此式稱為定積分的換元公式（證明從略）容易看出，從右至左應(yīng)用該公

10、式，類似于不定積分的第一換元法（湊微分法），而從左至右應(yīng)用該公式，類似于不定積分的第二換元法例計(jì)算例計(jì)算例3 計(jì)算下列定積分：（1）； （2）2定積分的分部積分法設(shè)和在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則有例計(jì)算定積分例計(jì)算5.2.4 反常積分定積分的積分區(qū)間是有限區(qū)間（積分上、下限都是有限數(shù)），若將積分區(qū)間由有限區(qū)間推廣到無限區(qū)間，或上，這就是無限區(qū)間上的反常積分定義 設(shè)函數(shù)的在區(qū)間上連續(xù)，任取，若極限存在，則此極限值稱為函數(shù)在無限區(qū)間上的反常積分，記作此時(shí)也稱反常積分收斂若上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散類似地，可定義其它形式的無限區(qū)間上的反常積分如下：其中c為任一常數(shù)例1 計(jì)算下列反常積分：（1）；

11、 （2）例2 判斷反常積分是收斂還是發(fā)散5.3積分應(yīng)用5.3.1 微分方程1微分方程的概念定義 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程，微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程兩端恒等，則此函數(shù)稱為該微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，那么這樣的解稱為微分方程的通解；在通解中若使任意常數(shù)取某一定值，或利用附加條件確定任意常數(shù)應(yīng)取的值，這樣所得的解稱為微分方程的特解確定通解中任意常數(shù)的附加條件稱為初始條件2可分離變量的微分方程形如的方程，可變形為，稱為可分離變量的微分方程如果都可求得，即可求

12、得微分方程的解因此，可分離變量微分方程的求解步驟為：（1）分離變量；（2）兩邊積分；（3）求出積分得通解，其中分別是的原函數(shù)；（4）若方程給出初始條件，則根據(jù)初始條件確定常數(shù)，求出方程滿足初始條件的特解例2 解微分方程例3 解微分方程例4 解微分方程滿足初始條件的特解例5 解微分方程滿足初始條件的特解3一階線性微分方程方程 稱為一階線性微分方程，其中和都是的連續(xù)函數(shù)當(dāng)時(shí)，方程稱為一階齊次線性微分方程；當(dāng)時(shí)，方程稱為一階非齊次線性微分方程下面我們討論一階非齊次線性微分方程的解法設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，則，如果設(shè)，則有,即 所以 從而 即 這就是一階非齊次線性微分方程的通解當(dāng)時(shí)，公式變?yōu)椋且浑A齊次線

13、性微分方程的通解例6 解微分方程例7 解微分方程例8 解微分方程例9 求微分方程滿足初始條件的特解5.3.2 定積分的幾何應(yīng)用1定積分的思想定積分的分割、近似、求和、取極限四步可簡化為：（1）求微元 選取積分變量，確定它的變化區(qū)間；在區(qū)間上任取一微小區(qū)間，并求出這個(gè)小區(qū)間上所對應(yīng)的“待求量”A的部分量的近似值，稱為A的微元，記為；（2）求積分 對微元在上積分（即所有的微元無限累加），即得待求量，然后求值這種先求整體量的微元，再用定積分求整體量的方法稱為定積分的微元法一般地，已知函數(shù)在區(qū)間上的變化率（即導(dǎo)數(shù)），求函數(shù)在區(qū)間上的累積變化，可用微元法計(jì)算2平面圖形的面積在平面直角坐標(biāo)系下，求由與上下

14、兩條曲線在區(qū)間上所圍成的平面圖形的面積在軸上、之間任取一點(diǎn)，過點(diǎn)做軸的垂線，過垂線與上曲線的交點(diǎn)和下曲線的交點(diǎn)作軸的平行線，最后截得寬為的一個(gè)小矩形（如圖6-4陰影部分），我們所要的面積微元就是這個(gè)小矩形的面積，即，于是其中，若即下曲線退化成軸，則所求面積，此即定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積例1 求由與及所圍成的平面圖形的面積例2 求由與圍成的平面圖形的面積例3 求由與所圍成的平面圖形的面積3旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)一平面圖形以，以及為邊界，求該圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積其實(shí)這是一個(gè)求X型平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積問題我們?nèi)匀挥谩拔⒃ā钡乃枷雭斫鉀Q這一問題如圖6-9所示，在a, b上任取

15、一點(diǎn)，再任給一個(gè)自變量的增量，得到一個(gè)細(xì)長條，該細(xì)長條我們可以把它看成矩形，其寬為，高為f(x)，那么這個(gè)小“矩形”繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體就是一個(gè)圓柱體，不過，這個(gè)圓柱體非常的薄，其厚度就是，于是我們要求的體積微元就是這個(gè)小圓柱體的體積：再把這些微小的圓柱體體積累加起來，也就是積分，所以所求的體積為這樣旋轉(zhuǎn)出來的旋轉(zhuǎn)體如圖6-10所示例4求由曲線和所圍的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積對于Y型平面圖形，同樣可以得出旋轉(zhuǎn)體體積公式，如圖6-12所示的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積為如例4中，由曲線和所圍的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積是例5一圓半徑為a，該圓圓心到一直線的距離為b (b>a)

16、，求這個(gè)圓繞已知直線旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積5.3.3 積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用當(dāng)已知邊際函數(shù)或變化率，求總量函數(shù)或總量函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)的總量（增量）時(shí)，經(jīng)常應(yīng)用定積分進(jìn)行計(jì)算1由變化率（邊際函數(shù)）求總量已知邊際函數(shù)，則由不定積分可得原經(jīng)濟(jì)函數(shù)其中積分常數(shù)由具體條件確定也可由牛頓-萊布尼茨公式求得經(jīng)濟(jì)函數(shù)（1）已知價(jià)格為時(shí)的邊際需求及最大需求量（即），則總需求函數(shù)（2）已知產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本及固定成本，則總成本函數(shù)這里是固定成本，積分是可變成本（3）已知產(chǎn)銷量為時(shí)的邊際收入，則總收入函數(shù)（4）已知產(chǎn)銷量為時(shí)的邊際利潤及固定成本，由于，則利潤函數(shù)其中積分是在不計(jì)固定成本意義下的利潤函數(shù)，有時(shí)稱為毛利潤

17、例1 設(shè)邊際成本函數(shù)為，固定成本是2000，試確定總成本函數(shù)例2 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為1萬元，邊際成本和邊際收入分別為（萬元/百臺），（萬元/百臺）求利潤最大時(shí)的總收入、總成本和總利潤例3 某企業(yè)投資2000萬元建成，開工生產(chǎn)后，在時(shí)刻的追加成本和追加收益分別為（百萬元/年），（百萬元/年）試確定該企業(yè)在何時(shí)停止生產(chǎn)可獲最大利潤？最大利潤是多少？2由變化率（邊際函數(shù)）求改變量已知邊際函數(shù)，則可用牛頓-萊布尼茨公式求出經(jīng)濟(jì)函數(shù)從到的變動值（增量）如，設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量是時(shí)間的函數(shù)（即非均勻生產(chǎn)），若已知產(chǎn)量對時(shí)間的變化率（即生產(chǎn)率），則時(shí)間從到內(nèi)的總產(chǎn)量是例4 設(shè)某產(chǎn)品的生產(chǎn)是連續(xù)進(jìn)行的，總

18、產(chǎn)量是時(shí)間的函數(shù)，如果總產(chǎn)量在時(shí)刻的變化率為（公斤/小時(shí)），求從到這兩個(gè)小時(shí)的總產(chǎn)量例5 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品時(shí)的總成本為萬元，已知邊際成本為（萬元/噸）求產(chǎn)量由10噸增加到50噸時(shí)總成本的增量3消費(fèi)者盈余消費(fèi)者盈余是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的重要概念，是消費(fèi)者對某種商品所愿意付出的代價(jià)超過他實(shí)際付出的代價(jià)的余額，即消費(fèi)者盈余愿意付出的金額實(shí)際付出的金額需求量與供給量都是價(jià)格的函數(shù)，但經(jīng)濟(jì)學(xué)家習(xí)慣用縱坐標(biāo)表示價(jià)格，橫坐標(biāo)表示需求量或供給量在市場經(jīng)濟(jì)下，價(jià)格和數(shù)量在不斷調(diào)整，最后趨向于平衡價(jià)格和平衡數(shù)量，分別用和表示，也即供給曲線與需求曲線的交點(diǎn)E設(shè)需求函數(shù)的反函數(shù)為，其中為商品的單價(jià)，表示市場上的需求量即假定消

19、費(fèi)者愿意為某商品所付的價(jià)格是由曲線決定的，那么消費(fèi)者所愿意為單位商品付出的金額可用由直線，和曲線所圍成的封閉圖形的面積來度量，如圖6-14所示而實(shí)際上消費(fèi)者所付出的是市場價(jià)格，為單位商品所實(shí)際付出的金額為，即矩形面積，如圖6-15所示，于是，消費(fèi)者可節(jié)省費(fèi)用，所節(jié)省的費(fèi)用稱為消費(fèi)者盈余（簡記為），即式中，表示消費(fèi)者愿意支出的金額，表示消費(fèi)者的實(shí)際支出，兩者之差為消費(fèi)者省下來的錢，即消費(fèi)者盈余同理，對生產(chǎn)者來說，有時(shí)也有一些生產(chǎn)者愿意以市場價(jià)格比低的價(jià)格出售他們的產(chǎn)品，但實(shí)際按市場價(jià)出售，由此他們可得到更多的好處，稱為生產(chǎn)者盈余（簡記為），如圖6-16所示，有例6 某商品的需求函數(shù)為，其中是商品

20、的單價(jià)，表示市場上的需求量，求時(shí)的消費(fèi)者盈余例7 設(shè)需求函數(shù)，供給函數(shù)為，求消費(fèi)者盈余和生產(chǎn)者盈余4基尼系數(shù)為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨（MOLorenz）提出了著名的勞倫茨曲線橫軸OH表示人口（按收入由低到高分組）的累計(jì)百分比，縱軸OM表示收入的累計(jì)百分比當(dāng)收入完全平等時(shí)，人口累計(jì)百分比等于收入累計(jì)百分比，勞倫茨曲線為通過原點(diǎn)、傾角為45°的直線OL；當(dāng)收入完全不平等時(shí)，1%的人口占有100%的收入，勞倫茨曲線為折線OHL實(shí)際上，一般國家的收入分配既不是完全平等，也不是完全不平等，而是在兩者之間，即勞倫茨曲線是如圖6-17所示的一條凹曲線ODL，顯然，勞倫茨曲線與完全平等線的偏離程度的大小決定了該國國民收入分配不平等的程度凹曲線ODL與直線OL所包圍的面積A為不平等面積，折線OHL與直線OL所包圍的面積A+B（即OHL的面積）為完全不平等面積；不平等面積與完全不平等面積之比，表示一個(gè)國家國民收入在國民之間分配的不平等程度，稱為基尼系數(shù)基尼系數(shù)是意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家基尼于1922年提出的定量測定收入分配差異程度的指標(biāo)，是衡量一個(gè)國家貧富差距的標(biāo)準(zhǔn)，它的經(jīng)濟(jì)含義是：在全部居民收入中用于進(jìn)行不平均分配的