第05章05節(jié)定積分的幾何應用舉例

1、第5節(jié) 定積分的幾何應用舉例（考點） 定積分的應用就是要用定積分計算某個量：可見，量分布在區(qū)間上。在實際應用時，要求我們把和找出來。，考慮是在上的分布。讓有增量使。是在上的分布。因此，用積分計算量的步驟如下：（1） 找到的分布區(qū)間；（2） ，把在上的分布量計算成如下式子即（3）算出定積分 以上步驟稱為定積分應用的微元法。5.1 平面圖形的面積直角坐標系中連續(xù)曲線所圍圖形的面積。分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積；所以 當時圖5.1【例5.1】求由曲線，以及直線圍成的圖形面積解、面積分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積；所以【例5.2】求由曲線，所圍成圖形的面積圖5.2a圖5.2b解1、解得交點。如果

2、用作自變量，面積分布在區(qū)間上；，當時，在區(qū)間部分的面積；當時，在區(qū)間部分的面積。表達式不一致，要用把圖形割成兩塊計算。解2、如果用作自變量，面積分布在區(qū)間上。，在區(qū)間部分的面積。所以（從此例要學會：（1）當邊界表達式不一致時，要作適當分割；（2）自變量選得好可使計算簡單。）【例5.3】求橢圓所圍成的圖形的面積解、由對稱性，其中為第一象限內的部分的面積。分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積。所以（這個結果與中學所學一致。我們這里是用定積分做出來的，而中學是沒有證明的估計。）極坐標系中.1極坐標在平面中取定一條有長度單位的射線，稱為極坐標軸。給了平面上一點，我們有數(shù)組，其中是與的夾角。是由點確定的。反

3、過來，如果給了數(shù)組，按上面規(guī)則，確定了一點。因此，可以用作點的坐標，稱為點的極坐標。把直角坐標平面的作極坐標軸，則極坐標與直角坐標的關系如下極坐標系中的面積計算求曲線所圍圖形的面積。用作自變量，面積分布在區(qū)間上；，在區(qū)間部分的面積。所以如何求曲線所圍圖形的面積？有時候用極坐標計算面積比較簡單?！纠?.4】計算阿基米德螺線：（）從的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積解、。由曲線的直角坐標方程寫極坐標系方程（1）把代入等式得等式；（2）由等式解出。5.1 體積圖5.3 旋轉體的體積曲邊梯形。（1）求繞軸旋轉一周得的旋轉體的體積；（1）求繞軸旋轉一周得的旋轉體的體積。 （1）分布在區(qū)間；，在區(qū)間的部分的

4、體積（半徑為高為的圓柱體）；所以（轉軸與積分變量一致。） （2）分布在區(qū)間；，在區(qū)間的部分的體積（一空心圓柱殼：底是周長寬高）；所以（轉軸與積分變量不一致。）（這里所講與P245有什么不一樣？）圖5.5【例5.5】計算由擺線，的一拱及軸所圍成的圖形(圖5.4)分別繞軸，軸旋轉而成的立體體積 圖5.4解、或用y作自變量，圖5.6a圖5.6b【例5.6】設有一半徑為的圓，圓心與一定直線的距離為（）求此圓繞直線旋轉而成的圓環(huán)體的體積解、以為軸正半軸過圓心建立直角坐標系。大半圓方程，小半圓方程?！纠?.7】求由曲線，軸和曲線在它極大值點處切線所圍成的平面圖形，繞軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積解1、用作

5、自變量。分布在區(qū)間上。解2、用作自變量。分布在區(qū)間上。 平行截面面積可計算的幾何體的體積 設幾何體在軸上的投影區(qū)間。，用垂直于軸且過點的平面截所得截面的面積可計算。則在上分布的體積。所以【例5.8】一平面經過半徑為的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角（如圖5.7），計算該平面截圓柱體所得立體的體積解1、用作自變量。分布在區(qū)間上。，用垂直于軸且過點的平面截所得截面的面積，所以解2、用作自變量。分布在區(qū)間上。，用垂直于軸且過點的平面截所得截面的面積，所以101010圖5.7a圖5.7b5.3 平面曲線的弧長 在直角坐標系中設曲線段的方程為?；￠L分布在上。，由于弧長微分，所以在區(qū)間上的分布。因此【例5

6、.9】求懸鏈線從到（）那一段的弧長解、弧長分布在上。所以 曲線用參數(shù)方程表示設曲線段的參數(shù)方程為?；￠L分布在上。，由于弧長微分，所以在區(qū)間上的分布。因此【例5.10】求擺線，的一拱的長度（）解、弧長分布在上。所以 曲線用極坐標方程表示設曲線段的極坐標方程為。則曲線的參數(shù)方程是容易算得。因此【例5.11】心臟線的全長解、弧長分布在上。所以習題講解P249 A類2求由下列各曲線所圍成圖形的面積：(1)解、，。（注意到的周期性。）3求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積：(1) 與(2) 與解、（1）先畫草圖（看黑板）。解得。根據(jù)對稱性，（2）先畫草圖（看黑板）。解得。根據(jù)對稱性，11求曲線自的一段

7、弧長解、曲線。B類5設, 試求曲線與軸所圍成圖形的面積解、當時，當時，所以解得。10將曲線繞軸旋轉得一旋轉體，它在點與之間的體積記作，問等于何值時，能使？解、令即，解得。（上分布的體積與上分布的體積相等。）習題55A類1求由下列各曲線所圍圖形的面積：(1) ,*(2), 3)與(兩部分都要計算)2求由下列各曲線所圍成圖形的面積：(1) (2) (3)3求下列各曲線所圍成圖形的公共部分的面積：*(1) 與(2) 與4求擺線的第一拱與軸所圍的面積()57題圖由，,所圍成的圖形，分別繞軸和軸旋轉，計算所得兩個旋轉體的體積*6計算底面是半徑為的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立

8、體體積7立體的底是曲線, 所圍的平面圖形, 垂直于軸的平面與該立體的截面是以(如圖)為直徑的半圓，求此立體的體積8計算底面是半徑為R的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積*9過坐標原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸平面圖形，(1) 求的面積；(2) 求繞直線旋轉一周所得旋轉體的體積10求心形線及射線及所圍成的圖形繞極軸旋轉所成旋轉體的體積11計算曲線上相應于的一段弧的長度12求曲線自的一段弧長B類1用積分法證明球缺的體積為2在擺線，上求分擺線第一拱成的點的坐標3在半徑為的球上鉆一個半徑為的圓孔，孔的軸為球體的一條直徑，求剩余部分的體積*4求曲線所圍成圖形的面積5設, 試求曲線與軸所圍成圖形的面積6設曲線方程為()*(1) 把曲線，軸，軸和直線 ()所圍平面圖形繞軸旋轉一周，得一旋轉體，求此旋轉體體積以及滿足的值；(2) 在此曲線上找一點，使過該點的切線與兩個坐標軸所夾平面圖形的積最大，并求出該面積7設直線與拋物線所圍成圖形的面積為，它們與直線所圍成的圖形面積為，并且(1) 試確定的值，使達到最小值；(2) 求該最小值所對應的平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積*8設有一半徑為的圓，圓心與一定直線的距離為()求此圓繞直線旋轉而成的圓