第三節(jié)分部積分法

1、第三節(jié) 分部積分法要求：掌握不定積分的分部積分法，明確用不定積分分部積分法解題的類型。重點(diǎn)：用分部積分法計(jì)算的題型并會(huì)計(jì)算。難點(diǎn)：換元積分法與分部積分法結(jié)合應(yīng)用。作業(yè)：習(xí)題43（）問(wèn)題提出：我們知道，求不定積分是求微分的逆運(yùn)算導(dǎo)數(shù)公式不定積分公式；和差求導(dǎo)公式逐項(xiàng)積分公式；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式換元積分公式；乘積求導(dǎo)公式分部積分公式（不同類型函數(shù)乘積的積分）例如 計(jì)算不定積分 前面各種方法求不出來(lái)該積分，我們可以設(shè)想為某兩函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)的一部分，即，上式兩端積分 ，得 ，于是 .一般地，若函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么兩個(gè)函數(shù)乘積導(dǎo)數(shù)公式為移項(xiàng)，得 兩邊積分，得 或 ，（，）上式稱為分部積分公式一、直接應(yīng)

2、用分部積分公式例1計(jì)算不定積分解 設(shè) ，則，（*），于是 注意（1）（*）處沒(méi)有加，這是因?yàn)榧恿撕?，在后面?jì)算中會(huì)抵消；（2）若設(shè),，則，積分比積分要復(fù)雜，沒(méi)有達(dá)到預(yù)期目的由此可見(jiàn)，選擇與非常關(guān)鍵，一般要考慮下列兩點(diǎn)：（1）要易求；（2）積分要比積分易計(jì)算例2計(jì)算不定積分解 設(shè) ，則，于是 注意 如果要兩次分部積分，選取與要一致，否則會(huì)還原例3計(jì)算不定積分 解 設(shè) ；則，所以 又設(shè) ；則，于是 例4計(jì)算不定積分 解 設(shè)；則于是 例5計(jì)算不定積分 解 設(shè)；則,于是 例6計(jì)算不定積分 解 設(shè)；則,于是 從這幾個(gè)典型例題可以看到，被積函數(shù)具有下列形式時(shí)可用分部積分法解決設(shè)為的某一多項(xiàng)式，及為常數(shù)，則

3、（1）若時(shí)，設(shè)，；（2）若或時(shí)，設(shè)，（或）；（3）若時(shí)，設(shè)，；（4）若或時(shí)，設(shè)說(shuō)明（1）用分部積分法的情況不止于此，總的原則是適當(dāng)選取及，使更加便于積分 （2）一般被積函數(shù)是不同類函數(shù)函數(shù)乘積時(shí)，往往想到用分部積分法 二、不同類型函數(shù)乘積例7計(jì)算不定積分 解 設(shè)；則,于是 例8計(jì)算不定積分 解 設(shè)；則，于是 例9計(jì)算不定積分解 設(shè)；則,所以 又設(shè) ；則，于是 例10計(jì)算不定積分解 設(shè)；則，所以 又設(shè) ；則，于是 三、循環(huán)積分例11計(jì)算不定積分 解 設(shè)；則，所以 又對(duì)于積分，再設(shè)，于是 ，從而 ，故 例12計(jì)算不定積分解 因?yàn)?= ， 所以 四、混合運(yùn)算例13計(jì)算不定積分解 例14計(jì)算不定積分解 五、遞推公式例15求不定積分 解 當(dāng)時(shí)，用分部積分法 設(shè)；則 ，于