第七節(jié)多自由度系統(tǒng)中的阻尼

1、第七節(jié) 多自由度系統(tǒng)中的阻尼 （教材6.14）前面介紹了多自由度系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)。對(duì)于工程上的各種彈性結(jié)構(gòu)來說，它們振動(dòng)時(shí)總受到各種阻尼力的作用（如材料阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、介質(zhì)粘性阻尼等等），由于各種阻尼力的機(jī)理比較復(fù)雜，在分析振動(dòng)時(shí)，常常將各種阻尼力都簡化為與速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系數(shù)須有工程上的經(jīng)驗(yàn)公式求出，或由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。有粘性阻尼的n個(gè)自由度系統(tǒng)求響應(yīng)很困難，其原因在于只有在特定的條件下，用模態(tài)分析法才能使運(yùn)動(dòng)微分方程解耦。下面分析之。有阻尼的n個(gè)自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 （5-60）式中是阻尼矩陣，為n×n對(duì)稱矩陣。由無阻尼自由振動(dòng)微分方程求得固有頻率和振型向量

2、，得正則振型矩陣。令 代入方程（5-60）并前乘以，得 （a）因 - 單位矩陣 （b）而一般不是對(duì)角矩陣。因此，模態(tài)分析法不能使式（a）變成一組獨(dú)立的微分方程組。例如圖示系統(tǒng)，已知 ，。已解出阻尼矩陣為 不是對(duì)角矩陣?？梢宰C明，利用系統(tǒng)的無阻尼振型矩陣或使系統(tǒng)阻尼矩陣實(shí)現(xiàn)對(duì)角化的充分必要條件為特殊情況：一、 如果原廣義坐標(biāo)的阻尼矩陣剛好與質(zhì)量矩陣或剛度矩陣成正比，或者是它們的線性組合，即其中和為正的常數(shù)。稱這種阻尼為比例阻尼。對(duì)于這種比例阻尼，當(dāng)原廣義坐標(biāo)變換為正則坐標(biāo)時(shí)，正則坐標(biāo)的阻尼矩陣是對(duì)角矩陣：令第 i階模態(tài)阻尼為 。對(duì)應(yīng)的第 i階模態(tài)阻尼比為則正則坐標(biāo)的阻尼矩陣可寫成另外一種形式可見

3、，比例阻尼是使成為對(duì)角矩陣的一種特殊情形。二、 工程上大多數(shù)情況下，正則坐標(biāo)中的阻尼矩陣不是對(duì)角矩陣。然而，工程上的大多數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)中，阻尼都比較小，而且由于各種阻尼的機(jī)理至今還沒有完全搞清楚，精確測(cè)定阻尼的大小也還有很多困難。所以往往采用一種近似的方法，把中非對(duì)角元素都改為零，而只保留對(duì)角元素原有的數(shù)值，于是得到對(duì)角阻尼矩陣上式稱為正則振型的阻尼矩陣，稱為第 i階正則振型的阻尼系數(shù)。如采用相對(duì)阻尼比表示，有式中 ，為第 i階正則振型的相對(duì)阻尼比。對(duì)于上面兩種情況，用代替之后，方程（b）變成如下形式它的展開式為這是一組n個(gè)相互獨(dú)立的二階常系數(shù)線性微分方程組，彼此可以獨(dú)立求解。這樣，把有阻尼的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題，簡化為n個(gè)正則坐標(biāo)的單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題。如果正則坐標(biāo)的初始值為和，類似于單自