第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目的和要求 學(xué)習(xí)本章，要求讀者能掌握中值定理的條件及其結(jié)論，了解其證明思路和過(guò)程，并能應(yīng)用中值定理于羅必達(dá)法則、函數(shù)的增減性、函數(shù)的極值等導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中去；同時(shí)要求讀者學(xué)會(huì)運(yùn)用羅必達(dá)法則討論各種待定型的極限；學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)及其曲線的凸向；并能應(yīng)用于分析一些經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用問(wèn)題 第一節(jié) 中值定理 1中值定理由簡(jiǎn)單到復(fù)雜有3種情形，表述如下： (1)羅爾定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開(kāi)區(qū)間()內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，并在區(qū)間兩端點(diǎn)取等值，則在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使在該點(diǎn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零 (2)拉格朗日中值定理 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開(kāi)區(qū)間()內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，

2、則在區(qū)間()內(nèi)至少有一點(diǎn)，使成立等式： (3)柯西中值定理 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間()內(nèi)有導(dǎo)數(shù)內(nèi)均不為零，則在區(qū)間()內(nèi)至少有一點(diǎn),使成立等式： 2如果我們已證得羅爾定理，則為證明拉格朗日中值定理僅需引入輔助函數(shù)： 并利用羅爾定理即可證得而為證明柯西中值定理僅需引入輔助函數(shù)： 并利用羅爾定理即可證得 為證明羅爾定理，首先要運(yùn)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大(小)值定理，然后利用定理?xiàng)l件，證明在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)達(dá)到最大值或最小值最后再證明在區(qū)間內(nèi)達(dá)最大值或最小值的點(diǎn)即為我們要求的點(diǎn)，在該點(diǎn)其一階導(dǎo)數(shù)為零 3中值定理的初步應(yīng)用 (1)對(duì)于在()內(nèi)有定義的函數(shù)，則必有 證 在區(qū)間（）中任取兩點(diǎn) 

3、;   故得     由的任意性得(2)證明不等式：證 由中值定理，     故得 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1羅必達(dá)法則 (1)在討論函數(shù)極值中經(jīng)常遇到這種情況：已知 或欲求極限此時(shí)，已不能利用前面所述的極限運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算而且，根據(jù)具體給定的函數(shù)，上述極限有可能存在，也可能不存在。因而，常稱這類極限式為待定型，并利用所得極限的性態(tài)簡(jiǎn)記為型類似地，待定型還可有等各種類型羅必達(dá)法則為計(jì)算這類待定型提供了一種方法 (2)羅必達(dá)法則 設(shè) 當(dāng)時(shí)，都趨于零，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)(點(diǎn)本身除外)，存在且 存在(或無(wú)窮大)，則 &

4、#160;   對(duì)情形亦有類似表達(dá)和結(jié)論 (3)舉例如下: (4)對(duì)其他待定型，則設(shè)法將他們化為前面兩種基本的待定型來(lái)處理 例如：求型，通過(guò)變換     化為，就可利用羅必達(dá)法則求極限. 又如：求型.通過(guò)變換 可將待定型化為型，從而可用羅必達(dá)法則求極限. 對(duì)型，可通過(guò)取對(duì)數(shù)后再化為型來(lái)處理. 例如：設(shè) 取對(duì)數(shù) 若下列型極限存在： 就可先求得2：函數(shù)的增減性 利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的增減性，亦即曲線的升降性，有如下結(jié)果： (1)設(shè)函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)如果在()上為單調(diào)增加(或減少)，則在該區(qū)間上這函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)如果

5、在這區(qū)間上導(dǎo)數(shù)是正的：上為嚴(yán)格單調(diào)增加；導(dǎo)數(shù)是負(fù)的：在上為嚴(yán)格單調(diào)減少若將條件減弱為在內(nèi)，則結(jié)論減弱為上為單調(diào)增加(或單調(diào)減少) 3函數(shù)的極值 (1)極值的定義 對(duì)于點(diǎn)，若有一個(gè)鄰域存在，使函數(shù)在該鄰域內(nèi)有定義且在該鄰域內(nèi) 有的一個(gè)極大值； 有的一個(gè)極小值 (2)極值存在的必要條件 設(shè)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)，且在取到極值(極大或極小)，則這函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)(3)極值存在的一階充分條件 設(shè)函數(shù)的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且在此鄰域內(nèi)(可除外)可導(dǎo)若當(dāng)取到極大值；若當(dāng)取到極小值 (4)極值存在的二階充分條件 設(shè)函數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且取極大，反之當(dāng)時(shí)取極小 (5)注 當(dāng)時(shí)，此時(shí)不能確定是否取極值極大、極小和無(wú)極值三種情況都

6、有可能 4函數(shù)曲線的凸向 設(shè)函數(shù)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)若則曲線為下凸的；若，則曲線為上凸的 5拐點(diǎn) 曲線上凸與下凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn) 6函數(shù)圖形的描繪 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)以及單調(diào)區(qū)間、凸凹區(qū)間，并找出曲線的漸近線，從而描繪出函數(shù)曲線的圖形 7函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用 包括最大利潤(rùn)問(wèn)題、最小成本問(wèn)題、需求分析等多方面應(yīng)用以利潤(rùn)問(wèn)題為例，設(shè)需求函數(shù)為     P=a-bx(x為供需量，p為價(jià)格)，則總收益為 而總成本函數(shù)若為，則總利潤(rùn)函數(shù) 欲求總利潤(rùn)最大，按極值的二階充分條件     可解得 為保證能取到極大值，要求

7、60;   若我們不涉及函數(shù)的具體形式，一般地討論利潤(rùn)問(wèn)題，則由 可得利潤(rùn)最大的必要條件為亦即必須使邊際收益等于邊際成本第四章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用例1：下列各函數(shù)中，在區(qū)間-1，1上滿足羅爾定理所有條件的是( )例2：例3：例4：例5：例6：下列極限中能用羅必達(dá)法則的有( )例7：例8：列表即(-,-2)及(0,+)為遞增區(qū)間，（-2，-1）及（-1，0）為遞減區(qū)間；當(dāng)x=-2時(shí)取極大值f(-2)=-4，當(dāng)x=0時(shí)取極小值f(0)=0例9：討論曲線 y=x4-2x3+1的凹向與拐點(diǎn)解：y=4x3-6x2 y=12x2-12x=12x(x-1)當(dāng)x=0,x=1時(shí) y=0x=0與

8、x=1把定義域（-，+）分成三個(gè)區(qū)間，列表即(-,0)及(1,+)上凹；（0，1）下凹，兩個(gè)拐點(diǎn)（0，1）和（1，0）例10：例11：例12：例13：某種商品需求函數(shù)為，求當(dāng)P=4時(shí)的需求彈性。例14：第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用單元測(cè)試一、選擇題1、羅爾定理中三個(gè)條件：（1）f（x）在a，b上連續(xù);（2）f（x）在（a，b）上可導(dǎo);（3）f（a）= f（b），是至少存在一點(diǎn)，使得的()A、充分條件 B、必要條件 C、充要條件 D、既非充分條件也非必要條件2、已知函數(shù)在-1，2上滿足羅爾定理?xiàng)l件，則在-1，2上羅爾定理中的值=（）3、函數(shù)在區(qū)間0，1上滿足拉格朗日中值定理的條件，其在0，1拉格

9、朗日中值定理中的值=（）4、如果函數(shù)f（x）與g（x）對(duì)于區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都有，則在（a，b）內(nèi)必有（）A、f（x）=g（x） B、f（x）=c1，g（x）= c2，（c1，c2常數(shù)）C、f（x）=g（x）+1 D、f（x）=g（x）+C，（C常數(shù)）5、若兩個(gè)函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)相等，則該二函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi).（）A、不相等 B、相等 C、僅相差一個(gè)常數(shù) D、均為常數(shù)6、下列求極限問(wèn)題中能夠使用羅必達(dá)法則的有（）7、若，這樣計(jì)算是（）8、=（）A、 B、n-1 C、n D、09、=（）10、=（）A、0 B、 C、-2 D、211、設(shè)x和y分別是同一變化

10、過(guò)程中兩個(gè)無(wú)窮大量，則x-y是（）A、無(wú)窮大量 B、無(wú)窮小量 C、常數(shù) D、不能確定12、=（）A、-1 B、1/2 C、0 D、13、=（）A、- B、+ C、1 D、014、若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域有定義，且在該鄰域內(nèi)，則稱f（x0）是f（x）的（）A、極大值點(diǎn) B、極大值 C、極小值點(diǎn) D、極小值15、如果，則一定是.( )A、極小值點(diǎn) B、極大值點(diǎn) C、駐點(diǎn) D、拐點(diǎn)16、函數(shù)f（x）的連續(xù)但不可導(dǎo)的點(diǎn).（）A、一定不是極值點(diǎn) B、一定是極值點(diǎn) C、一定不是拐點(diǎn) D、一定不是駐點(diǎn)17、函數(shù)在區(qū)間（-1,2）內(nèi)是( )A、單調(diào)增加的 B、單調(diào)減少的 C、不增不減的 D、有增有減的1

11、8、在（-,+ ）上是( )A、單調(diào)增加的函數(shù) B、單調(diào)減少的函數(shù) C、非單調(diào)函數(shù) D、偶函數(shù)19、函數(shù)y=1-sinx在區(qū)間上  ( ) A、遞增 B、遞減 C、不增不減 D、有增有減20、函數(shù)在區(qū)間0，2上.（）A、單調(diào)增 B、單調(diào)減 C、不增不減 D、有增有減21、函數(shù)在（-,+ ）上的極小值點(diǎn)為.（）A、0 B、1 C、2 D、不存在22、設(shè)f（x）一階連續(xù)可導(dǎo)且，則f（0)()A、一定是f（x）的極大值 B、一定是f（x）的極小值C、一定不是f（x）的極值 D、可能是也可能不是f（x）的極值23、設(shè)函數(shù)f（x）在0，a上二次可微，且，則在（0，a）內(nèi)是（）A、不增的 B、不

12、減的 C、嚴(yán)格單調(diào)增加 D、嚴(yán)格單調(diào)減少24、是可導(dǎo)函數(shù)y= f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的（）A、必要條件 B、充分條件 C、充要條件 D、無(wú)關(guān)條件25、函數(shù)y= f（x）在點(diǎn)處取得極值，則必有（）A、 B、 C、不存在 D、26、函數(shù)在區(qū)間-1，1上的最大值是（）A、0 B、1 C、2 D、不存在27、（）A、0     B、 C、  D、28、若f（x0）是連續(xù)函數(shù)f（x）在a，b上的最小值，則( )A、f（x0）一定是f（x）的極小值 B、 C、f（x0）一定是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值 D、x0或是極值點(diǎn)，或是區(qū)間端點(diǎn)29、函數(shù)在區(qū)間（1

13、，4）內(nèi)是( )A、上凸 B、下凹 C、既有上凹又有下凹 D、直線段30、函數(shù)y=|sinx+1|在區(qū)間內(nèi)是.( )A、下凸 B、上凸 C、既有下凸又有上凸 D、直線31、在區(qū)間（a,b）內(nèi)任意一點(diǎn)函數(shù)f（x）的曲線弧總位于其切線的上方，則該曲線在（a，b）內(nèi)是.( )A、下凸 B、上凸 C、單調(diào)上升 D、單調(diào)下降32、如果f（x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)恒有，則曲線f（x）的弧為 ( )A、上升且上凸 B、下降且上凸 C、上升且下凸 D、下降且下凸33、函數(shù)的拐點(diǎn)是( )A、（2，0） B、（1，-1） C、（0，-2） D、不存在34、函數(shù)的拐點(diǎn)是( )A、（0，1）和（1，0） B、不存在C、

14、（0，-1）和（1，0） D、（0，1）和（-1，0）35、函數(shù)的水平漸近線方程是( )A、y=2 B、y=1 C、y=-3 D、y=036、函數(shù)，(其中b,a>0為常數(shù))的水平漸近線方程是( )A、y=0 B、y=b C、y=a D、y=1/a37、曲線的水平漸近線是.( )A、x=-1 B、x=1 C、y=0 D、y=138、曲線有 ( )A、水平漸近線y=1 B、水平漸近線y=1/2 C、鉛直漸近線x=1 D、鉛直漸近線x=1/239、函數(shù)的垂直漸近線方程為( )A、x=0 B、x=1 C、x=0和x=1 D、不存在40、某企業(yè)每月生產(chǎn)q噸產(chǎn)品時(shí)總成本c是產(chǎn)量q的函數(shù)，則每月生產(chǎn)產(chǎn)

15、品8噸時(shí)的邊際成本是.( )A、4 B、6 C、10 D、2041、已知某商品生產(chǎn)x單位時(shí)總費(fèi)用F（x）的變化率為f（x）=0.4x-6，且F（0）=60，則總費(fèi)用函數(shù)F（x）=（）42、設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為，則當(dāng)L=27，K=8時(shí)，資本K的邊際生產(chǎn)率為()A、4/9 B、36/8 C、3 D、36/2743、設(shè)產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)（x），則生產(chǎn)x0個(gè)單位時(shí)間的邊際利潤(rùn)為（）44、設(shè)一產(chǎn)品的總成本是產(chǎn)量x的函數(shù)C(x)，則生產(chǎn)x0個(gè)單位時(shí)的總成本變化率（即邊際成本）是 ( )45、設(shè)某商品需求函數(shù)為Q=10-P/2，則當(dāng)P=3時(shí)的需求價(jià)格彈性是（）A、3/17 B、-3/17 C、-1/2 D、1/17

16、二、計(jì)算題(一）1、設(shè)求A的值，使解：欲2、求解：=33、求解：三、計(jì)算題(二）求解法一：原式= =1+1=2解法一：原式=四、應(yīng)用題1、求函數(shù)的極值解：可見(jiàn)f(x)在x=0處取極小值為f(0)=0.在x=1處取極大值為f(1)=1.在x=2處取極小值為f(2)=0.2、求出函數(shù)在區(qū)間-1，2上的最大值與最小值解：令f(x)=0，得x=0 為駐點(diǎn)比較駐點(diǎn)值、端點(diǎn)值 f（-1）=0，f（0）=2，f（2）=3/4得函數(shù)f（x）在-1，2上的最大值為2，最小值為0。3、從直徑為d的圓形樹(shù)干中切出橫切面為矩形的梁，此矩形的底為b，高為h，若梁的強(qiáng)度,問(wèn)梁的橫斷面尺寸如何，其強(qiáng)度最大，并求出最大強(qiáng)度。解：，令又為最大值因此，當(dāng)矩形斷面的底時(shí)，其強(qiáng)度最大，最大強(qiáng)度為4、某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為5000元，每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品直接消耗成本要增加2500元。設(shè)市場(chǎng)對(duì)此商品的年需求量為500臺(tái)，在此范圍內(nèi)產(chǎn)品能全部售出且銷售收入R與銷售臺(tái)數(shù)的關(guān)系是（萬(wàn)元）（a是售出數(shù)量，單位：百臺(tái)）；若超出