等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型

1、等差數(shù)列知識點總結(jié)與基本題型一、基本概念1、等差數(shù)列的概念（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。 （為常數(shù)）， （2）對于公差，需強調(diào)的是它是每一項與它前一項的差（從第2項起）要防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。 （3）等差數(shù)列為遞增數(shù)列 等差數(shù)列為常數(shù)列 等差數(shù)列為遞減數(shù)列 （4）一個等差數(shù)列至少由三項構(gòu)成。2、等差數(shù)列的通項公式 （1）通項公式：，（當(dāng)時，等式也成立）； （2）推導(dǎo)方法：不完全歸納法：在課本中，等差數(shù)列的通項公式是由歸納而得，這種利用一些特殊現(xiàn)象得出一般規(guī)律的方法叫不完全

2、歸納法。 迭加法：也稱之為逐差求和的方法：，上述式子相加，即。 迭代法：。 （3）通項公式的應(yīng)用與理解 可根據(jù)的情況來分析數(shù)列的性質(zhì)，如遞增數(shù)列，遞減數(shù)列等。 用于研究數(shù)列的圖象。 ， （）時，是的一次函數(shù)，由于，因此，數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開的無窮（或有窮）個孤立點。 （）時，表示平行于軸的直線上的均勻排開的無窮（或有窮）個孤立點。不難得出，任意兩項可以確定一個等差數(shù)列。 從函數(shù)知識的角度考慮等差數(shù)列的通項公式：，是關(guān)于的一次式，所以等差數(shù)列的通項公式也可以表示為（設(shè)）。 等差數(shù)列具有下列關(guān)系： （）數(shù)列中任意兩項與，滿足：或。 （）在等差數(shù)列中，若，則。3、等差數(shù)列的等差中項 （1）定

3、義：如果成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。 （2）充要條件：成等差數(shù)列。 （3）推論：是等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的主要性質(zhì) (1)若，則。（2） 數(shù)列仍為等差數(shù)列， (，)仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為（4）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項為0的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負分界項，即：當(dāng)，解不等式組可得達到最大值時的值. 當(dāng)，由可得達到最小值時的值. (6) 是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即。 (7) 是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列。 (8) 下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項：

4、組成公差為的等差數(shù)列。 (9) 數(shù)列（為常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列。5.前項和二、基本題型例1、判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列： （1）；（2）。 分析：用定義去判斷。例2、求等差數(shù)列的第20項。例3、在等差數(shù)列中，已知，求與。例4、已知為等差數(shù)列，且，求。 分析：有的同學(xué)習(xí)慣于數(shù)列等差數(shù)列，對于是等差數(shù)列就束手無策了，關(guān)鍵還是對定義理解不透徹。例5、等差數(shù)列中，已知，則 。 分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，或整體考慮問題，求出的值。例6、三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于9，它們的平方和等于35，求這三個數(shù)。 分析：若設(shè)這三個數(shù)為，則需列三個方程；若根據(jù)等差數(shù)列的定義，設(shè)這三個數(shù)為，只需列兩個方程，因此，采用后一種設(shè)法更好。例7、等差數(shù)列中，求。 分析：由，直接列方程組；解出兩個基本量和，這是常規(guī)解法，但比較麻煩，觀察的下標(biāo)，可以聯(lián)想到成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，必能提高解題速度。例8、在與7之間順次插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，則這個數(shù)列為