等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與基本題型

1、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與基本題型一、基本概念1、等差數(shù)列的概念（1）定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。 （為常數(shù)）， （2）對(duì)于公差，需強(qiáng)調(diào)的是它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差（從第2項(xiàng)起）要防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。 （3）等差數(shù)列為遞增數(shù)列 等差數(shù)列為常數(shù)列 等差數(shù)列為遞減數(shù)列 （4）一個(gè)等差數(shù)列至少由三項(xiàng)構(gòu)成。2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 （1）通項(xiàng)公式：，（當(dāng)時(shí)，等式也成立）； （2）推導(dǎo)方法：不完全歸納法：在課本中，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是由歸納而得，這種利用一些特殊現(xiàn)象得出一般規(guī)律的方法叫不完全

2、歸納法。 迭加法：也稱(chēng)之為逐差求和的方法：，上述式子相加，即。 迭代法：。 （3）通項(xiàng)公式的應(yīng)用與理解 可根據(jù)的情況來(lái)分析數(shù)列的性質(zhì)，如遞增數(shù)列，遞減數(shù)列等。 用于研究數(shù)列的圖象。 ， （）時(shí)，是的一次函數(shù)，由于，因此，數(shù)列的圖象是直線(xiàn)上的均勻排開(kāi)的無(wú)窮（或有窮）個(gè)孤立點(diǎn)。 （）時(shí)，表示平行于軸的直線(xiàn)上的均勻排開(kāi)的無(wú)窮（或有窮）個(gè)孤立點(diǎn)。不難得出，任意兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列。 從函數(shù)知識(shí)的角度考慮等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：，是關(guān)于的一次式，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也可以表示為（設(shè)）。 等差數(shù)列具有下列關(guān)系： （）數(shù)列中任意兩項(xiàng)與，滿(mǎn)足：或。 （）在等差數(shù)列中，若，則。3、等差數(shù)列的等差中項(xiàng) （1）定

3、義：如果成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。 （2）充要條件：成等差數(shù)列。 （3）推論：是等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的主要性質(zhì) (1)若，則。（2） 數(shù)列仍為等差數(shù)列， (，)仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為（4）若是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，則（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）的最值可求二次函數(shù)的最值；或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：當(dāng)，解不等式組可得達(dá)到最大值時(shí)的值. 當(dāng)，由可得達(dá)到最小值時(shí)的值. (6) 是有窮等差數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，且等于首末兩項(xiàng)之和，即。 (7) 是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列。 (8) 下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項(xiàng)：

4、組成公差為的等差數(shù)列。 (9) 數(shù)列（為常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列。5.前項(xiàng)和二、基本題型例1、判斷下列數(shù)列是否是等差數(shù)列： （1）；（2）。 分析：用定義去判斷。例2、求等差數(shù)列的第20項(xiàng)。例3、在等差數(shù)列中，已知，求與。例4、已知為等差數(shù)列，且，求。 分析：有的同學(xué)習(xí)慣于數(shù)列等差數(shù)列，對(duì)于是等差數(shù)列就束手無(wú)策了，關(guān)鍵還是對(duì)定義理解不透徹。例5、等差數(shù)列中，已知，則 。 分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，或整體考慮問(wèn)題，求出的值。例6、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于9，它們的平方和等于35，求這三個(gè)數(shù)。 分析：若設(shè)這三個(gè)數(shù)為，則需列三個(gè)方程；若根據(jù)等差數(shù)列的定義，設(shè)這三個(gè)數(shù)為，只需列兩個(gè)方程，因此，采用后一種設(shè)法更好。例7、等差數(shù)列中，求。 分析：由，直接列方程組；解出兩個(gè)基本量和，這是常規(guī)解法，但比較麻煩，觀察的下標(biāo)，可以聯(lián)想到成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，必能提高解題速度。例8、在與7之間順次插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列為