等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式教學(xué)設(shè)計(jì)惠貞書(shū)院 陳磊一、 教學(xué)內(nèi)容解析等比數(shù)列是學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列后的一個(gè)特殊而又重要數(shù)列, 是數(shù)列整個(gè)章節(jié)的重要組成部分. 等比數(shù)列與實(shí)際生活有密切的聯(lián)系, 如細(xì)胞分裂、銀行貸款問(wèn)題等都可以用等比數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決, 在這個(gè)過(guò)程中可讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用性, 激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣. 通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的學(xué)習(xí), 既是對(duì)等差數(shù)列學(xué)習(xí)的一種鞏固和提高, 也為學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和奠定基礎(chǔ). 而且在研究等比數(shù)列的過(guò)程中, 學(xué)生可以體驗(yàn)類(lèi)比思想、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想、函數(shù)思想和方程思想等, 這些都可以提升他們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力, 提升他們的學(xué)科素養(yǎng). 二、 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.知識(shí)與技能

2、：理解等比數(shù)列的定義, 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)過(guò)程.2.過(guò)程與方法：在教學(xué)過(guò)程中, 讓學(xué)生觀察、動(dòng)手體驗(yàn)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程, 增強(qiáng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的互相合作, 提高他們分析、類(lèi)比猜想、歸納、證明的能力. 3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：以國(guó)學(xué)經(jīng)典作為導(dǎo)入, 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與愛(ài)國(guó)主義熱情, 培養(yǎng)學(xué)生勇于探索敢于創(chuàng)新的精神, 養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn): 等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式. 教學(xué)難點(diǎn): 等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程. 三、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)等比數(shù)列前已經(jīng)完成了對(duì)函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)和以及等差數(shù)列有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí), 但對(duì)于孫子算經(jīng)里的問(wèn)題還有些陌生, 不能用已學(xué)的

3、等差數(shù)列來(lái)表示. 本課由此入手, 引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突, 產(chǎn)生求知的欲望. 而研究等比數(shù)列的過(guò)程中學(xué)生可以類(lèi)比等差數(shù)列的定義和性質(zhì)去研究等比數(shù)列, 又是符合他們“跳一跳, 摘得到”的最近發(fā)展區(qū). 另外, 高一學(xué)生正處于從初中到高中的過(guò)渡階段, 是他們從形象思維過(guò)渡到抽象思維的關(guān)鍵時(shí)期. 因此, 本堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)一方面要遵循從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律, 讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析問(wèn)題, 并嘗試自主解決；另一方面也重視邏輯推理、歸納概括能力的培養(yǎng), 為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 四、教學(xué)策略分析等比數(shù)列與等差數(shù)列較為類(lèi)似, 可以利用類(lèi)比的方式來(lái)學(xué)習(xí)等比數(shù)列. 如由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式類(lèi)比到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,

4、由累加法類(lèi)比到累乘法等. 在這個(gè)過(guò)程中需要學(xué)生經(jīng)歷從類(lèi)比猜想到邏輯證明, 從特殊到一般, 從形象思維到抽象思維的過(guò)程, 培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 而在證明等比數(shù)列的過(guò)程中, 讓學(xué)生回歸課本定義, 訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的嚴(yán)密性和深刻性, 提升他們的思維能力和數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng). 五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境, 提出問(wèn)題（1）孫子算經(jīng)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：出門(mén)見(jiàn)九堤, 每堤有九木, 每木有九巢, 每巢有九鳥(niǎo), 每鳥(niǎo)有九雛, 每雛有九毛, 問(wèn)共有幾堤, 幾木, 幾巢, 幾鳥(niǎo), 幾雛, 幾毛, 幾色？ 可以構(gòu)成怎樣的數(shù)列？解答：9,92,93,94,95,96,97（2）如下圖為謝賓斯基三角

5、形, 著色的小三角形個(gè)數(shù)一次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng), 依此規(guī)律, 第6幅圖有多少個(gè)小三角形？可以得到怎樣的數(shù)列？如果假設(shè)第一幅圖中三角形的面積為1, 則圖中每幅圖中黑色面積又可以構(gòu)成怎樣的數(shù)列？解答：第6幅圖有個(gè)小三角形, 數(shù)列為面積構(gòu)成的數(shù)列為設(shè)計(jì)意圖：以國(guó)學(xué)經(jīng)典作為引入, 可以讓學(xué)生們從數(shù)學(xué)的角度去重新認(rèn)識(shí)國(guó)學(xué)經(jīng)典, 激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和愛(ài)國(guó)熱情；謝賓斯基三角形在數(shù)列的遞推公式中已經(jīng)碰到過(guò), 但未點(diǎn)出是等比數(shù)列, 在這里介紹引入起到很好的前后呼應(yīng)作用. （二）自主探究, 引入概念探究：上面的三個(gè)數(shù)列有什么共同點(diǎn)？引入等比數(shù)列的概念: 一般地,如果一個(gè)數(shù)列,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等

6、于同一常數(shù), 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比, 通常用字母q來(lái)表示(q0). 即類(lèi)比引入等比中項(xiàng)的定義:等差中項(xiàng)等比中項(xiàng)如果a, A, b成等差數(shù)列, 那么A叫做a與b的等差中項(xiàng). 即2A=a+b如果a, G, b成等比數(shù)列, 那么G叫做a與b的等比中項(xiàng). 即G2=ab(ab0)設(shè)計(jì)意圖: 在學(xué)生對(duì)等比數(shù)列有初步了解的基礎(chǔ)上,通過(guò)具體例子,經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程, 加深對(duì)概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力.（三）深入探究, 合作學(xué)習(xí)例1. 判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列? 若是,找出公比;不是,請(qǐng)說(shuō)明理由(1) 1, 4, 16, 32(2) 0, 2, 4, 6, 8.(3)

7、 1,10,100,1000,10000(4) 3, 3, 3, 3, 3.(5) a, a, a, a, a.請(qǐng)以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發(fā)言.解答：(1)不是； (2)不是；(3)是, 公比是-10；(4)是, 公比是1；(5) 當(dāng)時(shí)不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)是等比數(shù)列, 公比是1.設(shè)計(jì)意圖：前4個(gè)數(shù)列重在考察等比數(shù)列的定義, 其中第4個(gè)又為第5個(gè)做了鋪墊, 讓學(xué)生養(yǎng)成分類(lèi)討論的好習(xí)慣, 讓學(xué)生自主思考公比能否為0.練習(xí)1：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,試判斷是否為等比數(shù)列.解答：而,則不是等比數(shù)列.設(shè)計(jì)意圖：練一練旨在提醒學(xué)生利用求通項(xiàng)時(shí)需分類(lèi)討論,并利用定義判斷是否為等比數(shù)列,是學(xué)生

8、的易錯(cuò)點(diǎn)所在.探究：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:提問(wèn): 在等差數(shù)列中an可以用a1和d表示, 類(lèi)似地, 在等比數(shù)列中an可以用a1和q表示嗎?怎樣表示呢? 請(qǐng)同學(xué)們想想等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程, 試著推出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 請(qǐng)以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發(fā)言.法一：不完全歸納法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程法二：累加(乘)法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程累加法累乘法由定義式可得：（n-1）個(gè)等式a2a1=da3a2=danan-1=d將上述式子累加得an=a1+(n-1)d由定義式可得：（n-1）個(gè)等式將上述式子累乘得an=a1qn-1法三：

9、迭代法等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程由定義式可得：由定義式可得：由以上方法可知：等比數(shù)列通項(xiàng)公式為： an= a1qn-1（a1, q0）, 以上方法均強(qiáng)調(diào)n=1時(shí)等式也成立, 養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S態(tài)度. 設(shè)計(jì)意圖: 類(lèi)比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程, 讓學(xué)生通過(guò)不完全歸納法、迭代法和累乘法三種不同的方式得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. 培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比、猜想的能力, 在這個(gè)過(guò)程中學(xué)會(huì)知識(shí)、方法的遷移, 轉(zhuǎn)化難點(diǎn).試一試、請(qǐng)寫(xiě)出引題中的三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式解答： 設(shè)計(jì)意圖：解決引題中的數(shù)列的通項(xiàng)公式, 前后呼應(yīng), 有始有終. 探究：在直角坐標(biāo)系中, 畫(huà)出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象和函數(shù)的圖象, 你

10、發(fā)現(xiàn)了什么？類(lèi)似地, 在同一直角坐標(biāo)系中, 畫(huà)出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象和函數(shù)的圖象, 并觀察等比數(shù)列和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系. 請(qǐng)以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發(fā)言.等比數(shù)列的圖象是相應(yīng)函數(shù)圖象上的孤立的點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖: 通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié), 讓學(xué)生理解等比通項(xiàng)公式的圖象和相應(yīng)函數(shù)的圖象的關(guān)系, 體現(xiàn)了函數(shù)思想. （四）課堂演練, 思維碰撞例2、一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18, 求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是, 公比是q, 易得=16/3,=8答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是,8. 設(shè)計(jì)意圖: 解決本題可采用啟發(fā)式和討論式教學(xué)方法. 啟發(fā)學(xué)生要求a1 , a2只

11、要求出an, 而要求an只要求出a1,q, 使學(xué)生知道解決本題關(guān)鍵是求基本量a1,q. 追問(wèn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式中涉及哪幾個(gè)量？設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí),用方程思想知三求一. 練習(xí)2、已知等比數(shù)列滿足求. 請(qǐng)以四人小組為單位, 合作討論, 并派代表發(fā)言.法一：由知或均可解得. 法二：由, 得. 設(shè)計(jì)意圖: 本題從兩種方法來(lái)解決問(wèn)題, 方法一, 基本量法, 使學(xué)生熟悉等比數(shù)列的通項(xiàng)公式, 體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想；方法二：本題并非必須解出, 而可以利用整體思想, 由解出, 提高學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力. 練習(xí)3：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且(1)設(shè)證明為等比數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式.解答：(1)略；(2) ,則，有故數(shù)列是首項(xiàng)為, 公差為的等差數(shù)列, 設(shè)計(jì)意圖：本題通過(guò)鋪設(shè)臺(tái)階, 構(gòu)造新數(shù)列的方法, 求出數(shù)列的通項(xiàng)公式, 考查了等比數(shù)列的定義與證明, 體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想, 也為后續(xù)的學(xué)習(xí)中, 利用待定系數(shù)構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)公式埋下伏筆. （五）歸納總結(jié), 提高升華1、通過(guò)本堂課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些新的知識(shí)、方法、技巧？2、本堂課你“悟”到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？3、你有何心得和收獲？知識(shí)內(nèi)容技巧方法思想方法等比數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比中項(xiàng)一、不完全歸納法、累乘法、迭代法二、類(lèi)比、歸納三、基本量法、構(gòu)造法方程思想整體思想函數(shù)思想轉(zhuǎn)