精華講義數(shù)學(xué)北師大八年級(jí)下冊(cè)因式分解

1、因式分解一、概述定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。意義：它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。分解因式與整式乘法互為逆變形。 二、因式分解的方法因式分解沒(méi)有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介

2、紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，除法等。注意三原則1 分解要徹底2 最后結(jié)果只有小括號(hào)3 最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3 +x=-x(3x-1)） 基本方法1】提取公因式 這種方法比較常規(guī)、簡(jiǎn)單，必須掌握。有時(shí)提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1： 2-3x解： =x(2x-3)針對(duì)性練習(xí)：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正確的是（ ）A.12abc9a2b2=3abc(43ab) B.3x2y3xy+6y=3

3、y(x2x+2y)C.a2+abac=a(ab+c) D.x2y+5xyy=y(x2+5x)2.下列多項(xiàng)式中,能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y23.如果ba=6，ab=7，那么a2bab2的值是( )A.42 B.42 C.13 D.134.將下面各式進(jìn)行因式分解(1) (2) (3) ma2-4ma+4a (4) -28y4-21y3+7y2 5.已知2xy=，xy=2，求2x4y3x3y4的值.6.已知(4x-2y-1)2+=0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【隨堂練習(xí)】1、分解因式： 2、分解因式： ；3.分解因式：

4、 2】公式法將式子利用公式來(lái)分解，也是比較簡(jiǎn)單的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等。注意：使用公式法前，建議先提取公因式。例2：-4分解因式分析：此題較為簡(jiǎn)單，可以看出4=2 2，適用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)【隨堂練習(xí)】1、下列多項(xiàng)式中，能用公式法分解因式的是（ ）ABCD2.分解因式：3. 分解因式： 針對(duì)性練習(xí)：一、平方差公式：1.填空2.將下列各式因式分解(1) (2) (3) (4) (5) (6) 二完全平方公式： 1、下列多項(xiàng)式，能用完全平方公式分解因式的是( )A、x2+xy+y2 B、x22x1 C、-x2

5、-2x-1 D、x2+4y22、多項(xiàng)式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )A.10B.20 C.20D.203、x2+2xyy2的一個(gè)因式是xy，則另一個(gè)因式是_.4、若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，則a的值是_.5將下列更是進(jìn)行因式分解(1) x2+6ax+9a2 (2) （3） (4) 2x3y216x2y+32x； (5) 3ax2+6axy+3ay2; (6)(7) (8) 【課后練習(xí)】1、將下列各式進(jìn)行因式分解：(1)x3y-2xy3； (2)(5a2-2b2)2-（2a2-5b2）2。2、將下列各式因式分解：（1）1-16x2； (2)25x2y2-49a2

6、； (3)-x4+y2。3、把下列各式進(jìn)行因式分解：(1)(3x+2y)2-（x-y）2； (2)-(x+2)2+16(x-1)2。4、因式分解4b2-4ab+a2正確的是（ ）A4b(b-a)+a2 B(2b-a)2 C(2b-a)(2b-a) D(2b+a)2 5、已知xy=1，xy=2，求x3y2x2y2+xy3的值.因式分解識(shí)點(diǎn)1：分解因式的定義1分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘的積，這種變形叫做分解因式，它與整式的乘法互為逆運(yùn)算。如： 判斷下列從左邊到右邊的變形是否為分解因式： （ ） （ ） （ ） （ ）知識(shí)點(diǎn)2：公因式公因式的定義：我們把多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這

7、個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。公因式的確定：（1）符號(hào): 若第一項(xiàng)是負(fù)號(hào)則先把負(fù)號(hào)提出來(lái)（提出負(fù)號(hào)后括號(hào)里每一項(xiàng)都要變號(hào)）（2）系數(shù)：取系數(shù)的最大公約數(shù)；（3）字母：取字母（或多項(xiàng)式）的指數(shù)最低的；（4）所有這些因式的乘積即為公因式；例如：1. _2. 多項(xiàng)式分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（ ）ABCD3. 的公因式是_知識(shí)點(diǎn)3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式的乘積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1. 可以直接提公因式的類型： （1）=_；（2）=_ （3）=_ （4）解方程組，求代數(shù)式的值2.式子

8、的第一項(xiàng)為負(fù)號(hào)的類型：（1） =_ _ =_ _（2）=_ _ 練習(xí)：1多項(xiàng)式:的一個(gè)因式是,那么另一個(gè)因式是( ) C D.2.分解因式5(yx)310y(yx)33. 公因式只相差符號(hào)的類型：公因式相差符號(hào)的，要先確定取哪個(gè)因式為公因式，然后把另外的只相差符號(hào)的因式的負(fù)號(hào)提出來(lái)，使其統(tǒng)一于之前確定的那個(gè)公因式。（若同時(shí)含奇數(shù)次和偶數(shù)次則一般直接調(diào)換偶數(shù)次里面的字母的位置，如 例：( 1)（ba）2+a（ab）+b（ba） ( 2)（a+bc）（ab+c）+（ba+c）（bac）（3）練習(xí)：1把多項(xiàng)式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)

9、(m2-m) (C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)2多項(xiàng)式的分解因式結(jié)果（ ）A B C D3分解因式：（1）_) （2）6(xy)43y(yx)5知識(shí)點(diǎn)4公式法分解因式公式法分解因式：如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。即a2-b2=(a+b)(a-b)特點(diǎn)：a.是一個(gè)二項(xiàng)式，每項(xiàng)都可以化成整式的平方. b.兩項(xiàng)的符號(hào)相反.例如：1、判斷能否用平方差公式的類型（1）下列多項(xiàng)式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a2+b2 (B)

10、-x2-y2 (C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2（2）下列各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A B C D2、直接用平方差的類型（1） （2） （3） 3、整體的類型：（1） （2）4、提公因式法和平方差公式結(jié)合運(yùn)用的類型(1)m34m= (2) 練習(xí)：將下列各式分解因式（1） (2)100x281y2；(3)9(ab)2(xy)2；（4） （5） （6）二、完全平方式分解因式法完全平方公式：兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。即 a2+2ab+b2=(a+b)2 ; a2-2ab+b2=(a-b)2特點(diǎn)：（1）多項(xiàng)式是三項(xiàng)式

11、；（2）其中有兩項(xiàng)同號(hào)，且此兩項(xiàng)能寫(xiě)成兩數(shù)或兩式的平方和的形式；（3）另一項(xiàng)是這兩數(shù)或兩式乘積的2倍.1、判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否可用完全平方公式進(jìn)行因式分解如：下列多項(xiàng)式能分解因式的是（ ）A B C D2、關(guān)于求式子中的未知數(shù)的問(wèn)題如：1若多項(xiàng)式是完全平方式，則k的值為（ ）A4 B4 C8 D42若是關(guān)于x的完全平方式，則k= 3.若是關(guān)于x的完全平方式則m=_3、直接用完全平方公式分解因式的類型 (1)； (2)； (3)； (4)4、整體用完全平方式的類型(1)(x2)212(x2)36； （2） 5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的類型 (1)-4x3+16x2-16x； (2)ax2y2+2axy+2a（3）已知：，求的值練習(xí)：分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 知識(shí)點(diǎn)5、十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =，用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式：(1) (2) (3) a2+6ab+5