電路的拉普拉斯變換分析法

1、第第7章章 電路的拉普拉斯變換分析法電路的拉普拉斯變換分析法7.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義7.2 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質 7.3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 7.4 復頻域電路復頻域電路 7.5 電路的拉普拉斯變換分析法電路的拉普拉斯變換分析法 7.1 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）是求解拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）是求解常系數線性常系數線性微分方程微分方程的的工具工具。設一個變量設一個變量t的函數的函數f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條件（一般電子技術中處理的函數都滿足這一條件）件（一般

2、電子技術中處理的函數都滿足這一條件） 拉氏拉氏正變換正變換 Sj f(t)：原函數原函數；F(S)：f(t)的的象函數象函數。 00 0。 )()(tetfat解解 lim1 1)()()()(0)(0)(00tasttastasstatsteasasedtedteedtetfsF-根據拉氏變換的定義根據拉氏變換的定義 js因為tjtatee-)(lim=00lim)(-taste)(aas -1)(aa稱為稱為收斂域收斂域 拉氏反拉氏反變換變換 -jjstdsesFjtf)(21)()()()()(1sFLtftfLsF-拉氏正變換拉氏正變換拉氏反變換拉氏反變換 拉氏變換對拉氏變換對由由F(

3、s)到到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，簡稱拉氏反變換的變換稱為拉普拉斯反變換，簡稱拉氏反變換 下面來討論一些常見函數的拉普拉斯變換下面來討論一些常見函數的拉普拉斯變換 工程中常見的函數工程中常見的函數(除少數例外除少數例外)有下列兩類有下列兩類:(1) t的指數函的指數函數；數；(2) t的正整冪函數。許多常用的函數如階躍函數、正的正整冪函數。許多常用的函數如階躍函數、正弦函數、衰減正弦函數等，都可由這兩類函數導出。弦函數、衰減正弦函數等，都可由這兩類函數導出。 7.1.1 指數函數指數函數 tet( 為常數為常數)由定義可得由定義可得 的拉普拉斯變換為的拉普拉斯變換為 1( )F ss-

4、由此可導出一些常用函數的變換由此可導出一些常用函數的變換 ：1、單位階躍函數、單位階躍函數 t tet0001)(ttt1( )F ss-0 0 1Lts2、正弦函數、正弦函數 sin t t jtjt1sin2jtee-故有故有 22sinsttL 22tjtjj1j1j21j21sin-sssteeLttL3、余弦函數、余弦函數 cos t t jtjt1cos2tee- 22cosssttL故有故有 22tjtjj1j12121cos-ssssteeLttL4、衰減正弦函數、衰減正弦函數 tsine t- -jj1sin2jtttetee-)(1)(121sinjasjasjteLat-

5、22)(as故有故有22)(sin-asteLat5、衰減余弦函數、衰減余弦函數 tcose t- -與衰減正與衰減正弦函數相弦函數相類似可得類似可得 22costsL etts -6、雙曲線正弦函數、雙曲線正弦函數 sh b bt t 1sh2ttteebbb- 22shLttsbb b-故有故有7、雙曲線余弦函數、雙曲線余弦函數 ch b bt t 與雙曲線正弦函數相類似可得與雙曲線正弦函數相類似可得 22chsLttsb b- 7.1.2 t的正冪函數的正冪函數 (n為正整數為正整數 ntt由定義可得由定義可得 的拉普拉斯變換為的拉普拉斯變換為 ntt 0nnstL ttt edt-設設

6、,ddnstutvet-則則 000101000nstnstnstnstt edtudvuvudvtnetedtssntedts- -亦即亦即 1nnnL ttL tts-依次類推，則得依次類推，則得 1211122 1 1!nnnnnn nL ttL ttL ttsssn nnnssss s ss-當當n=1時，有時，有 21)(sttL 1nnnL ttL tts-7.1.3 沖激函數沖激函數 A d d（t）沖激函數的定義沖激函數的定義 d0t f ttfd-可得可得 00dstL AtAt etAeAdd-對于對于單位沖激函數單位沖激函數來說，可令上式來說，可令上式 A=1，即得：，即

7、得： t1Ld書中表書中表7 - -1給出了一給出了一些常見函數的拉普拉斯變換些常見函數的拉普拉斯變換 拉氏變換法的實質就是將微分方程經數學變換轉變成代數拉氏變換法的實質就是將微分方程經數學變換轉變成代數方程，然后進行代數運算，再將所得的結果變換回去。它方程，然后進行代數運算，再將所得的結果變換回去。它和應用對數計算數的乘除相類似。不同的只是在對數運算和應用對數計算數的乘除相類似。不同的只是在對數運算中變換的對象是數，而在拉氏變換中變換的對象是函數。中變換的對象是數，而在拉氏變換中變換的對象是函數。（2）對于常用的階躍函數、沖激函數、指數函數及一些超對于常用的階躍函數、沖激函數、指數函數及一些

8、超越函數等經變換以后，可轉換成為簡單的初等函數。越函數等經變換以后，可轉換成為簡單的初等函數。拉氏變換法的拉氏變換法的優(yōu)點優(yōu)點：（1）求解過程得以簡化，又同時給出微分方程的特解及齊求解過程得以簡化，又同時給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動包含在變換式中，對次方程的通解，而且初始條件能自動包含在變換式中，對于換路起始時有突變現象的問題處理更方便；于換路起始時有突變現象的問題處理更方便；7.2 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質 拉普拉斯變換拉普拉斯變換有許多重要性質。利用這些基本性質可以方便有許多重要性質。利用這些基本性質可以方便地求出一些較為復雜函數的象函數，同時

9、通過這些基本性質地求出一些較為復雜函數的象函數，同時通過這些基本性質可以將電路在時域內的線性常微分方程變換為復頻域內的線可以將電路在時域內的線性常微分方程變換為復頻域內的線性代數方程。從而得到復頻域中的等效電路。性代數方程。從而得到復頻域中的等效電路。 7.2.1 線性特性線性特性若若 f1(t) F1(s)Lf2(t)LF2(s)則則)()(2211tfatfa L)()(2211sFasFa a1，a2為任意常數為任意常數 證明證明 求函數的象函數求函數的象函數 1 1221 122000( )( )( )( )stststa f ta f tedta f t edta f t edt-)

10、()(2211sFasFa例例 tatabeetf21)(解解 211)(21asbasbeeLtfLtata-7.2.2 尺度變換尺度變換若若 f (t) F (s)L則則 f1(at) L)(1asFaa為大于零的實數為大于零的實數 證明證明 -00)()()(adateatfdteatfatfLatasst令令x= =at )(1)(1)(0asFadxexfaatfLxas-7.2.3 時間變換時間變換若若 f (t) F (s)L)(0ttf-L0)(stesF-)(0ttf-0tf(t)0tt0f(t-t0)()(00ttttf-證明證明 -0)()()(0000tststdtet

11、tfdtettfttfL令令0ttx-0txtdxdt t0 為常數為常數 則則00)()()(00ststsxesFdxeexfttfL-例例 解解 求圖中所示的鋸齒波的拉普拉斯變換求圖中所示的鋸齒波的拉普拉斯變換 0tf(t)ETt0tfa (t)0tTfc (t)0-ETfb(t)= + + abcf tftftft aEftttT bftEtT - cEfttTtTT - 22asTbsTcEL ftTsEL ftesEL fteTs- - -由線性性質由線性性質 22211abcsTsTstL f tL ftL ftL ftEEEeeTssTsETseTs-時間平移特性還可以時間平移

12、特性還可以用來求取有始周期函數用來求取有始周期函數( (t t0 0時呈現時呈現周期性的函數周期性的函數 , ,在在t t0 0范圍函數值為零范圍函數值為零) )的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 f (t)為有始周期函數，其周期為為有始周期函數，其周期為T， f 1(t)、 f 2(t) 分別表分別表示函數的第一周期，第二周期，示函數的第一周期，第二周期，的函數的函數 ， 123f tftftft由于是周期函數，因此由于是周期函數，因此 f 2(t)可看成是可看成是 f 1(t)延時一個周期延時一個周期構成的，構成的， f 3(t)可看成是可看成是 f 1(t)延時二個周期構成的，依此延時二個周期

13、構成的，依此類推則有類推則有 -TtfTtftftf2111根據平移特性，若根據平移特性，若 11L ftF s則則 211121111sTsTsTsTsTL f tF sF s eF s eF sF seee-f (t)為有始周期函數，其周期為為有始周期函數，其周期為T，拉普拉斯變換等拉普拉斯變換等于第一周期單個函數的拉普拉斯變換乘以周期因子于第一周期單個函數的拉普拉斯變換乘以周期因子 11sTe-例例 求圖中半波正弦函數的拉普拉斯變換求圖中半波正弦函數的拉普拉斯變換 0tET23T25T2T2Tf (t)解解 先求第一個半波先求第一個半波f 1(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換 0tEf

14、1(t)3T2T2T0tET2f 1b(t)|3T2T2T0tET2f 1a(t)+ 111sinsin22abftftftTTEttEtt - 有始正弦函數的拉普拉斯變換為有始正弦函數的拉普拉斯變換為 22sinLtts 故根據時間平移特性可得故根據時間平移特性可得 111222222221absTsTL ftL ftL ftEEEeesss-半波正弦周期函數的拉普拉斯變換為半波正弦周期函數的拉普拉斯變換為 2222221111sTsTsTEeEL f tsese-7.2.4 頻率平移特性頻率平移特性若若 f (t) F (s)L則則 )()(00ssFetfLts-證明證明 )()()()

15、(00)(0000ssFdtetfdteetfetfLtsssttsts-7.2.5 時域微分特性時域微分特性)( tfL若若 f (t) F (s)L)0()(- fssF則則 證明證明 -0)()()( dtedttdfdttdfLtfLst由上式應用分部積分法，有由上式應用分部積分法，有 -0)()()( dtedttdfdttdfLtfLst)()()()()(000ssFetfdtetfsetfdttdfLststst-式中式中 0)(-tstetf于是可得于是可得)0()()( -fssFtfL應用上式的結果可得應用上式的結果可得)0()0()()0()()()(2- fsfsFs

16、ftfsLtfdtdLtfL依此類推，可得依此類推，可得 )0()0()0()()()1(21)(-nnnnnffsfssFstfL如果如果f(t)及其各階導數的初值為零。則上式變?yōu)榧捌涓麟A導數的初值為零。則上式變?yōu)?)()( ssFtfL)()(2sFstfL )()()(sFstfLnn例例 解解 若電容元件若電容元件C的端電壓的端電壓uC(t)的拉氏變換式為的拉氏變換式為UC(s)求電容求電容C中電流的象函數中電流的象函數IC(s)。 應用微分性質應用微分性質 IC(s)=LiC(t)=LC =CsUC(s)- - uC(0-)= CsUC(s)- - CuC(0-)dttduC)(如果

17、如果C C的端電壓初始值的端電壓初始值uC(0-)=0IC(s) = CsUC(s)0()0()0()()()1(21)(-nnnnnffsfssFstfL則有則有7.2.6 時域微分特性時域微分特性L若若 f (t) F (s)則則 ssFdfLt)()(0證明證明 -000)()(dtedfdfLsttt對上式進行分部積分，得對上式進行分部積分，得 -00000)(10)()()(dtetfsdfsedtedfdfLsttststttssFdfLt)()(0=0 =0 則則 如函數的積分區(qū)間不由如函數的積分區(qū)間不由0開始而是由開始而是由-開始開始 00dddttfff-則因為則因為 故有故

18、有將積分性質廣到多重積分將積分性質廣到多重積分 0ddtfF sLfss-同前面同前面樣，樣，此處的此處的0 0意味著意味著0-0- 200ddtF sLfs 書中表書中表7 2列出了拉普拉斯變換的基本性質。列出了拉普拉斯變換的基本性質。 則有則有7.3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換利用拉普拉斯變換法對電路進行暫態(tài)分析，最終結果必利用拉普拉斯變換法對電路進行暫態(tài)分析，最終結果必須返回時域，就是說還要進行拉普拉斯反變換。須返回時域，就是說還要進行拉普拉斯反變換。 求拉氏反變換最簡單的方法是查拉氏變換表求拉氏反變換最簡單的方法是查拉氏變換表 因為變換表中只列出了常用的一些函數，它不可能將一切因為變

19、換表中只列出了常用的一些函數，它不可能將一切函數都包括在內。因此，下面介紹一種基本的方法，函數都包括在內。因此，下面介紹一種基本的方法，部分部分分式法分式法。利用拉普拉斯變換分析電路的暫態(tài)過程時所遇到的象函數一般利用拉普拉斯變換分析電路的暫態(tài)過程時所遇到的象函數一般都是都是s的實系數有理函數，它的結果可表示成兩個多項式之比，的實系數有理函數，它的結果可表示成兩個多項式之比，即即 0122110111)()()(asasasasbsbsbsbsDsNsFnnnnnmmmm-式中的諸系數式中的諸系數an , bn 都是實數，都是實數，m、n都是正整數。都是正整數。 如如mn時，可以將假分式可分解為

20、多項式與真分式之和。時，可以將假分式可分解為多項式與真分式之和。 N(S)=0的根被稱為的根被稱為F(S)的的零點零點； D( (S)=0)=0的根被稱為的根被稱為F( (S) )的的極點極點。 為了分解為了分解F(s)為部分分式，只需討論為部分分式，只需討論D(s)=0的根。的根。7.3.1 D(s)=0均為單根，即無重根的情況（設均為單根，即無重根的情況（設mn） 因因D(s)是是s的的n次多項式，故可分解因式如下次多項式，故可分解因式如下 由于由于D(s)無重根，故無重根，故sn都不相等，都不相等， F(S)寫成部分分式的形式為寫成部分分式的形式為)()()()(21nkssssssss

21、sD-nnkkssAssAssAssAsF-2211)(A1，A2，. Ak. An為待定系數，稱為為待定系數，稱為F(s)在各極點處的在各極點處的留數留數。 Ak 如何確定？如何確定？nnkkkknnkkkkkkkssAssAssAssssAssssAssssAssssAssssAsssFss-)()()()()()()()()(22112211ksskksssDsNA-)()()(令令 kss 將等式的兩邊將等式的兩邊乘以乘以(s-sk)nnkkssAssAssAssAsF-2211)(在求出了部分分式的在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐項對部分分式各值之后，就可以逐項對部分分式求

22、拉氏反變換，得求拉氏反變換，得 tskkkkeAssAL-1F(s)的原函數為的原函數為0 )()()()()()(1111-tesDsNssssALsDsNLtfnktsssknkkkkk由此可見，象函數的拉氏反變換，可表示為若干指數函數項之和由此可見，象函數的拉氏反變換，可表示為若干指數函數項之和 例例1 解解 求求 的原函數。的原函數。 35210114)(22sssssF首先將首先將F(s)化為真分式化為真分式 2222411104142253253253222ssssF sssssss將分母進行因式分解將分母進行因式分解 25331222D sssss將將F(s)中的真分式寫成部分分

23、式中的真分式寫成部分分式 122413253212AAsssss求真分式中各部分分式的系數求真分式中各部分分式的系數 111112324416331223453212s ssssN sssAsssD sssssAsss- -于是于是F(s )可展開為可展開為 1615232122F sss-其原函數為其原函數為 211112325411103223253125232ttssLLLLssssteetd-0t注意：在對假分式進行反變換時，應首先將假分式變?yōu)檎孀⒁猓涸趯俜质竭M行反變換時，應首先將假分式變?yōu)檎娣质剑缓笤龠M行部分分式分解。分式，然后再進行部分分式分解。例例 解解 求求 的原函數。的原

24、函數。 52)(2ssssF先將分母分解因式先將分母分解因式052)(2sssD得得21) )204(2(212, 1js-是一對共軛復數是一對共軛復數 )2(41)21()21)(21(211jjsjsjssAjs-)2(41)21()21)(21(212jjsjsjssAjs-方法一方法一由由由于由于 為一對共軛值，為一對共軛值， A1，A2則也必為共軛值，則也必為共軛值， 所以所以A2可由可由A1直接求得。直接求得。*21ss 于是于是 21) 12(4121) 12(41)(jsjjsjsF-對上式逐項求反變換，并加以整理得對上式逐項求反變換，并加以整理得1112( 12)( 12)1

25、1(21)(21)442512121 (21)(21)41 (2cos2sin2 ) 02jtjttjjsLLLsssjsjj ej eettt- - - - - -方方法法二二當當D(s)為二次三項式，且為二次三項式，且D(s)=0的根為一對共軛復數時，的根為一對共軛復數時，還可以使用更簡便的方法求原函數。即將分母配成二項還可以使用更簡便的方法求原函數。即將分母配成二項式的平方，將一對共軛復根作為一個整體來考慮。式的平方，將一對共軛復根作為一個整體來考慮。 F(s)可配可配方為方為 22222222) 1(12) 1(1 4) 1(4) 12(52)(-ssssssssssssF直接查閱拉普

26、拉斯變換表可得直接查閱拉普拉斯變換表可得0 )2sin2cos2(21 2sin212cos 2) 1(12) 1(1)(222211-tttetetesssLsFLttt計算步驟大為簡化計算步驟大為簡化 例例 解解 求求 的原函數。的原函數。 象函數象函數F(s)不是有理函數，部分分式分解的方法無不是有理函數，部分分式分解的方法無法直接應用，這時可先將法直接應用，這時可先將F(s)改寫成改寫成ssesFsFssessssF221222)()(65365)(-其中其中653)(65)(2221sssFssssF分別都是有理函數，可用部分分式法分解分別都是有理函數，可用部分分式法分解 653)(

27、22-ssessFs根據時間平移性質可知根據時間平移性質可知 的原函數，就等于的原函數，就等于F2(s)的的原函數再平移原函數再平移2個時間單位的結果。個時間單位的結果。 sesF22)(-分別求分別求F1(s)，F2(s)的原函數的原函數 )()32(3322)(3111teessLsFLt-)()33(3323)(32121teessLsFLtt-11212232(2)3(2)( ) ( )( )( ) ( 23) ( )(33) (2) 0sttttf tLF sLF sF s eeeteett- -于是可得于是可得7.3.2 D(s)=0的根有重根的情況（設的根有重根的情況（設mn）

28、設設D(s)=0在在s=s1處有處有p階重根，這時可將階重根，這時可將F(s)寫成下面的形式寫成下面的形式 )()()()(1sQsssNsFp-把把F(s)展開成部分分式展開成部分分式pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF-33221121131112111)()()()()(A2，A3，. An-p 各留數仍可照無重根的情況求取各留數仍可照無重根的情況求取pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF-33221121131112111)()()()()(1)()()(111sssDsNssA-A12、A13、. A1p各留數各留數，不能再采用這種方

29、法。因為這樣將使，不能再采用這種方法。因為這樣將使導數分母中出現導數分母中出現“0”值，而得不出結果。值，而得不出結果。留數留數A11的求取的求取，可將等式的兩邊乘以，可將等式的兩邊乘以 令令s=s1 pss)(1-)()()(11sFsssFp-于是于是-1112113112111)()()()(ppssAssAssAAsF為此，引入輔助函數為此，引入輔助函數-1112113112111)()()()(ppssAssAssAAsF對對s微分得微分得 .)(1(.)(2)(211113121-ppsspAssAAssF1)(112ssssFA1)(! 2112213sssFdsdA1)()!1

30、(11111sskkksFdsdkA-顯然顯然同理同理依此類推，得一般形式為依此類推，得一般形式為)()!1()(111111tetkAssALtskkkk-pnitsitsptsptsptspteAteAtteAtetpAtetpAsFLi21)1(12121111)()()( )()!2()()!1()(1111確定了系數，就可根據拉普拉斯變換直接，求取原函數。確定了系數，就可根據拉普拉斯變換直接，求取原函數。所以所以F(s)對應的原函數對應的原函數因為因為例例 解解 求求 的原函數。的原函數。 2) 1)(3(2)(sssssFD(s)=0有四個根，一有四個根，一個二重根個二重根s1=

31、- -1和和s2=0，s3= - -3 兩個兩個單根單根31) 1() 1)(2(2)(32122112sAsAsAsAsssssF431|)3()32)(2()3( )3(2) 1)(211| )3(2) 1)(22112121211-ssssssssssdsdssFdsdAssssssFAsss其中各待定系數分別確定如下其中各待定系數分別確定如下故部分分式故部分分式可表示為可表示為121) 1(2)3)(32) 1)(3(2)(32330202-sssssssssFAsssssFA312132143) 1(21)(2-sssssF131321 ( ) 024312tttLF steeet-

32、 -故得故得取反變換得取反變換得以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具體問題時，可根據體問題時，可根據F(s)的分母有無重根分別用前述兩種方法求的分母有無重根分別用前述兩種方法求各極點的留數，只要這些留數一經求得，就能得出反變換。各極點的留數，只要這些留數一經求得，就能得出反變換。7.4 復頻域電路復頻域電路用拉氏變換分析電路暫態(tài)時可不必寫出微分方程再進行變用拉氏變換分析電路暫態(tài)時可不必寫出微分方程再進行變換，可換，可先將時域電路變成復頻域電路模型先將時域電路變成復頻域電路模型，再根據復頻域電再根據復頻域電路直接寫出運算形式

33、的電路方程路直接寫出運算形式的電路方程，使計算過程更為簡化。，使計算過程更為簡化。根據元件電壓、電流的時域關系，可以推導出各元件電根據元件電壓、電流的時域關系，可以推導出各元件電壓電流關系的運算形式。壓電流關系的運算形式。7.4.1 電阻元件電阻元件Ri(t)u (t)在時域中，有在時域中，有)()(tRituRI(s)U(s)Ri(t)u (t)()(sUtuL)()(sItiL)()(sRIsU設設 ， 等式兩邊取拉氏變換，得等式兩邊取拉氏變換，得 )()(tRitu 時域形式時域形式復頻域形式復頻域形式7.4.2 電容元件電容元件Ci(t)u(t)在時域中，有在時域中，有)0(1111)

34、(000-CtttCuidCidCidCidCtu)()(sUtuLCC)()(sItiLsusIsCsUCC)0()(1)(-令令對等式取拉氏變換并應用積分性質得對等式取拉氏變換并應用積分性質得I(s)U(s)1sCuC(0-)ssusIsCsUCC)0()(1)(-容端電壓的象函數（稱容端電壓的象函數（稱象電壓象電壓）由兩部分組成：）由兩部分組成：第一部分第一部分是電流的象函數（稱是電流的象函數（稱象電流象電流）與運算形式的容抗（簡言）與運算形式的容抗（簡言容容抗抗）的）的積積；第二部分第二部分相當于某階躍電壓的象函數，稱為相當于某階躍電壓的象函數，稱為內內運算電壓源運算電壓源。 電容電容

35、C在復頻域中串聯形式的電路模型在復頻域中串聯形式的電路模型 I(s)U(s)sCCuC(0-)susIsCsUCC)0()(1)(-)0()()(-CCCUssCUsI象電流象電流也由兩部分組成：也由兩部分組成：第一部分第一部分是是sC（稱（稱容納容納）和）和象電壓象電壓UC(s)的的乘積乘積；第二部分第二部分相當于某電流源的象函相當于某電流源的象函數，稱數，稱內運算電流源內運算電流源 。電容電容C在復頻域中并聯形式的電路模型在復頻域中并聯形式的電路模型 7.4.3 電感元件電感元件在時域中，有在時域中，有Li(t)u(t)dtdiLtu)()0()()(-LissLIsUsisUsLsI)0

36、()(1)(-令令Lu (t)=U (s),Li(t)=I(s)，對上式取拉氏變換，對上式取拉氏變換或或I(s)U(s)Li(0-)sL1sLI(s)U(s)i(0-)ssL)0(-LisiL)0(-感抗感抗內運算電壓源內運算電壓源 內運算電流源內運算電流源 串聯形式的電路模型串聯形式的電路模型并聯形式的電路模型并聯形式的電路模型7.4.4 互感元件互感元件在時域中，有在時域中，有L1i2(t)L2Mi1(t)u1(t)u2(t)sL1I2(s)sL2sMI1(s)U1(s)U 2(s)L 1i1(0-)M i2(0-)L2i2(0-)M i1(0-)dtdiMdtdiLudtdiMdtdiL

37、u12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111-MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU對等式兩邊取拉氏變換有對等式兩邊取拉氏變換有sM)0(1-Mi)0(2-Mi互感運算阻抗互感運算阻抗附加電壓源的方向與電流附加電壓源的方向與電流i1、i2的參考方向有關。的參考方向有關。 附加的電壓源附加的電壓源耦合電感元件耦合電感元件 復復頻頻域域形形式式 7.4.5 受控源受控源線性受控源電路，在時域電線性受控源電路，在時域電路中滿足路中滿足 U1(s)= I1(s)R，U2(s)= U1(s)u1=i1R，u2=u1對等式兩邊取拉氏變換有

38、對等式兩邊取拉氏變換有R1i1u1 u2u1 U2(s)U1(s)R1U1(s)I1(s) 線性受控源線性受控源受控源的復頻域形式受控源的復頻域形式 把時域電路變換成它的等效運算電路（復頻域電路）把時域電路變換成它的等效運算電路（復頻域電路） 以以RLC串聯電路為串聯電路為例例 RSu(t)(t 00uCCi(t)LRSU(s)(t 00I(s)Li(0-)sL1sCuC(0-)s RLC串聯電路串聯電路 等效運算電路等效運算電路 由等效運算電路可直接寫出電路的運算形式的代數方程由等效運算電路可直接寫出電路的運算形式的代數方程)()0()(1)0()()(sUsusIsCLissLIsRIC-

39、suLisUsIsCsLRC)0()0()()()1(-suLisUsIsZC)0()0()()()(-即即)()0()(1)0()()(sUsusIsCLissLIsRIC-sCsLRsZ1)(sCsLRsZsY11)(1)(RLC串聯電路的串聯電路的運算阻抗運算阻抗 RLC串聯電路的串聯電路的運算導納運算導納 式中式中 )()()(sUsIsZ)()()(sIsUsY或者或者運算形式的歐姆定律運算形式的歐姆定律在零值初始條件下，在零值初始條件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，則有，則有 在畫復頻域電路時，應注意電路中的在畫復頻域電路時，應注意電路中的電壓、電流電壓、電流均用均用象象函數

40、函數表示，同時表示，同時元件元件用用運算阻抗或運算導納運算阻抗或運算導納表示，且表示，且電電容電壓和電感電流初始值容電壓和電感電流初始值用用附加電源附加電源表示。表示。 例例E E (t)i1RRLCLi2I1(s)RRLsLI2(s)1sCEs 時域電路時域電路復頻域電路復頻域電路7.5 電路的拉普拉斯變換分析法電路的拉普拉斯變換分析法 0)(sI 0)(sU)()()(sIsZsU)()()(sZsYsI拉普拉斯變換法把時間函數變換為對應的象函數，把線性電拉普拉斯變換法把時間函數變換為對應的象函數，把線性電路的求解歸結為求解以象函數為變量的線性代數方程。路的求解歸結為求解以象函數為變量的線

41、性代數方程。對任一回路對任一回路對任一節(jié)點對任一節(jié)點對于復頻域電路對于復頻域電路 ，兩類約束關系為，兩類約束關系為應用拉氏變換分析線性電路的應用拉氏變換分析線性電路的步驟步驟：（4）通過拉氏反變換得出時域中響應電壓和電流。通過拉氏反變換得出時域中響應電壓和電流。（2）畫出換路后的等值運算電路；畫出換路后的等值運算電路；（3）應用電路分析方法求出響應電壓、電流的象函數；應用電路分析方法求出響應電壓、電流的象函數；（1）求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓uc (0-) 和所有電感元件上的初始電流和所有電感元件上的初始電流iL (0-)；例例1解解電路如

42、圖所示，電路如圖所示， ，開關，開關s閉合前電路處閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，在于穩(wěn)態(tài)，在t = 0時開關時開關S閉合，求電路中閉合，求電路中iL及及uC V100)0(-Cu1000 F0.1HuC200ViLS10103030開關閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以開關閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以 (0 )5ALi- V100)0(-Cu已知已知 可得運算電路可得運算電路 0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)5 . 0200)(10)1 . 040)(21-ssIssIssIssI100)()100010()(10-21設回路電流為設回路電流為I1(s)、I2(s), 應用回應用回路電流法，可列出方程為路電流法，可列出方程為解得解得221)200()40000700(5)(sssssI22222111)200(15005)200(200)(sssKsKsKsI求其反變換得原函數為求其反變換得原函數為AttetititL)()15005()()(2001-Attetit)()15005()(2001-電容上的電壓為電容上的電壓為21)200(300002001505 . 0)()(-ssssLIsUC