第02章 平面問題的基本理論_all

1、第二章第二章平面問題的基本理論平面問題的基本理論本章將系統(tǒng)地平面問題的基本理論基本方程和邊本章將系統(tǒng)地平面問題的基本理論基本方程和邊界條件，及兩種基本解法，是彈性力學(xué)中最具典型性和界條件，及兩種基本解法，是彈性力學(xué)中最具典型性和代表性的內(nèi)容，是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。要求掌握的內(nèi)代表性的內(nèi)容，是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。要求掌握的內(nèi)容如下：容如下：1 1、兩類平面問題的定義；、兩類平面問題的定義；2 2、關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的分析；、關(guān)于一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的分析； 3 3、平面區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程與物理、平面區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程與物理方程；方程；4 4、平面邊界上的應(yīng)力和位移邊界條件的建立，及

2、、平面邊界上的應(yīng)力和位移邊界條件的建立，及圣維南原理的應(yīng)用；圣維南原理的應(yīng)用；5 5、按位移求解方法和按應(yīng)力求解方法；、按位移求解方法和按應(yīng)力求解方法；本章學(xué)習(xí)指南本章學(xué)習(xí)指南為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，為了牢固地理解和掌握平面問題的基本理論，要求做到：要求做到：1 1、清楚地了解上述有關(guān)問題的提出與分析的、清楚地了解上述有關(guān)問題的提出與分析的方法；方法；2 2、自己動(dòng)手推導(dǎo)公式，以加深理解；、自己動(dòng)手推導(dǎo)公式，以加深理解；3 3、及時(shí)對內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，掌握其要點(diǎn)；、及時(shí)對內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，掌握其要點(diǎn)；本章學(xué)習(xí)指南本章學(xué)習(xí)指南q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平

3、面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.1 2.1 平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問題 任何一個(gè)彈性體是空間物體，外力為空間力系。實(shí)際的任何一個(gè)彈性體是空間物體，外力

4、為空間力系。實(shí)際的彈性力學(xué)問題都是空間問題。彈性力學(xué)問題都是空間問題?？臻g問題的簡化與近似：當(dāng)彈性體具有特殊形狀、承受特空間問題的簡化與近似：當(dāng)彈性體具有特殊形狀、承受特殊的外力與約束時(shí)，可進(jìn)行簡化，使得分析與計(jì)算工作量大殊的外力與約束時(shí)，可進(jìn)行簡化，使得分析與計(jì)算工作量大大減少，所得結(jié)果仍然可以滿足工程精度要求。大減少，所得結(jié)果仍然可以滿足工程精度要求。平面問題平面問題哪些問題可簡化為平面問題？哪些問題可簡化為平面問題？1 1、平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題條件：平面應(yīng)力問題條件：很薄的等厚度薄板，厚度很薄的等厚度薄板，厚度為為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。

5、其所受體力、面力向的尺度。其所受體力、面力和約束均平行于板面，即只是和約束均平行于板面，即只是Oxy面內(nèi)的量，并沿厚度方向面內(nèi)的量，并沿厚度方向不變。薄板的兩個(gè)表面不受任不變。薄板的兩個(gè)表面不受任何外力和約束的作用。何外力和約束的作用。1 1、平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題 構(gòu)件幾何特征：構(gòu)件幾何特征：很薄的等厚度薄板。很薄的等厚度薄板。厚度為厚度為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。薄板的中面為平面。薄板的中面為平面。 表面面力邊界條件：表面面力邊界條件：表面不受外力作用表面不受外力作用外力與約束：外力與約束：其所受體力、面力和約其所受體力、面力和約束均平行于中面束均

6、平行于中面Oxy面內(nèi)，并沿厚度方面內(nèi)，并沿厚度方向向Oz不變。而且薄板的兩個(gè)表面不受外不變。而且薄板的兩個(gè)表面不受外力作用。因此應(yīng)力沿厚度方向不變。力作用。因此應(yīng)力沿厚度方向不變。因此只剩下因此只剩下Oxy面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)力分量面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)力分量，且只是坐標(biāo)，且只是坐標(biāo)x, y的函的函數(shù)，沿厚度方向數(shù)，沿厚度方向Oz不變，即不變，即 應(yīng)力分量分布特點(diǎn)：應(yīng)力分量分布特點(diǎn)：由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，同時(shí)應(yīng)力沿厚度還是連續(xù)分布的，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻同時(shí)應(yīng)力沿厚度還是連續(xù)分布的，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻分布，所以板中各點(diǎn)均有：分布，所以板中各點(diǎn)均有：1 1、平面

7、應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題應(yīng)變分量分布特點(diǎn)：應(yīng)變分量分布特點(diǎn)：應(yīng)變分量也只是坐標(biāo)應(yīng)變分量也只是坐標(biāo)x, y的函數(shù)，沿厚度的函數(shù)，沿厚度方向方向Oz不變。且不變。且g gzx= =g gzy=0=0，但但e ez00，這表明薄板變形時(shí)，兩底面這表明薄板變形時(shí)，兩底面將發(fā)生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。將發(fā)生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。1 1、平面應(yīng)力問題、平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題小結(jié)平面應(yīng)力問題小結(jié)：1 1、平面應(yīng)力問題，就是只有平面應(yīng)力分量、平面應(yīng)力問題，就是只有平面應(yīng)力分量（s sx，s sy和和t txy）存在，且僅為）存在，且僅為x、y的函數(shù)的彈性的函數(shù)的彈性力

8、學(xué)問題。力學(xué)問題。2 2、厚度較薄的淺梁和深梁、受上部荷載及、厚度較薄的淺梁和深梁、受上部荷載及自重的墻、平板壩的平板支墩等，都屬于平面應(yīng)自重的墻、平板壩的平板支墩等，都屬于平面應(yīng)力問題。力問題。2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題條件：平面應(yīng)變問題條件：彈性體為等截面的很長柱彈性體為等截面的很長柱體，體力、面力和約束條件均體，體力、面力和約束條件均平行于橫截面且不沿長度方向平行于橫截面且不沿長度方向變化，即只有變化，即只有Oxy平面內(nèi)的體平面內(nèi)的體力、面力和約束，且沿力、面力和約束，且沿z方向不方向不變化。變化。2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題 構(gòu)件幾何特征：構(gòu)件幾何特征：具有很

9、長縱向具有很長縱向軸的柱形體，橫截面大小和形狀沿軸的柱形體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變軸線長度不變 位移失量分布特點(diǎn)：位移失量分布特點(diǎn)：只沿只沿x和和y方向移動(dòng)，沿軸線方向方向移動(dòng)，沿軸線方向位移為位移為0 0，即，即u=u(x,y)v=v (x,y) w=0外力與約束：外力與約束：體力、面力和約束體力、面力和約束與縱向軸垂直，即平行于橫截面，與縱向軸垂直，即平行于橫截面，并且沿長度不變；柱體的兩端受固并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束；定約束；2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題應(yīng)變分量分布特點(diǎn)：應(yīng)變分量分布特點(diǎn)：應(yīng)變分量為坐標(biāo)應(yīng)變分量為坐標(biāo)x, y的函數(shù)，沿的函數(shù)，沿z方向?yàn)榉较驗(yàn)?

10、0，即，即e ez= =g gxz= =g gyz=0=0，只剩下只剩下oxy平面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)平面內(nèi)的三個(gè)應(yīng)變分量。變分量。應(yīng)力分量分布特點(diǎn)：應(yīng)力分量分布特點(diǎn)：應(yīng)力分量也是坐標(biāo)應(yīng)力分量也是坐標(biāo)x, y的函數(shù)，的函數(shù)，沿沿z方向的切應(yīng)力為方向的切應(yīng)力為0 0，即，即t txz= =t tyz=0=0。由于沿由于沿z方向的伸縮方向的伸縮要受到約束，故要受到約束，故s sz00。2 2、平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題小結(jié)平面應(yīng)變問題小結(jié)：1 1、平面應(yīng)變問題，就是只有平面應(yīng)變分量、平面應(yīng)變問題，就是只有平面應(yīng)變分量（e ex，e ey和和g gxy）存在，且僅為）存在，且僅為x、y的函數(shù)的彈性

11、的函數(shù)的彈性力學(xué)問題。力學(xué)問題。2 2、擋土墻、很長的管道和隧洞問題，盡管、擋土墻、很長的管道和隧洞問題，盡管不是無限長，但對于離開兩端較遠(yuǎn)處，可按平面不是無限長，但對于離開兩端較遠(yuǎn)處，可按平面應(yīng)變問題來分析計(jì)算，結(jié)果在工程上是可用的。應(yīng)變問題來分析計(jì)算，結(jié)果在工程上是可用的。平面問題的總結(jié)平面問題的總結(jié)名稱名稱平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量應(yīng)力應(yīng)力s sx、s sy、t txys sz= t txz = t tyz = 0s sx、s sy、t txys sz 0 t txz = t tyz =0應(yīng)變應(yīng)變e ex、e ey、g

12、 gxye ez 0 g gxz = g gyz = 0e ex、e ey、g gxye ez = g gxz = g gyz = 0位移位移u、vw 0u、vw= 0外力外力體力、面力和約束作用于體力、面力和約束作用于oxy面內(nèi)，且沿板厚均布面內(nèi)，且沿板厚均布體力、面力和約束作用于體力、面力和約束作用于oxy面內(nèi)，且沿面內(nèi)，且沿z軸不變軸不變形狀形狀等厚度薄板等厚度薄板等截面長柱體等截面長柱體平面問題的總結(jié)平面問題的總結(jié)平面問題特點(diǎn)：平面問題特點(diǎn)：1 1、基本未知量為、基本未知量為8 8個(gè)，均為平面（個(gè)，均為平面（oxy面）內(nèi)的面）內(nèi)的物理量；物理量；2 2、所有未知量僅是、所有未知量僅是x

13、和和y兩個(gè)變量的函數(shù)；兩個(gè)變量的函數(shù)；3 3、相對于空間問題，其基本物理量、基本方程、相對于空間問題，其基本物理量、基本方程均減少，使得它比一般空間問題簡單得多；均減少，使得它比一般空間問題簡單得多； 4 4、主要有兩類：平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、主要有兩類：平面應(yīng)力、平面應(yīng)變例例 題題例例1 1：（本章習(xí)題：（本章習(xí)題2 21 1）如果某一問題中，如果某一問題中，s szt tzxt tzy=0，只存在平面應(yīng)，只存在平面應(yīng)力分量力分量s sx，s sy和和t txy ，且它們不沿，且它們不沿z方向變化，僅為方向變化，僅為x、y的函數(shù)，試考慮此問題是否就是平面應(yīng)力問題？的函數(shù)，試考慮此問題是否就是平

14、面應(yīng)力問題？例例2 2：（本章習(xí)題：（本章習(xí)題2 23 3）如圖如圖211，試分析說明，在不受任何面力作用，試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平的空間體表面附近的薄層中，其應(yīng)力狀態(tài)接近于平面應(yīng)力的情況。面應(yīng)力的情況。例例 題題例例3、如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則、如圖所示的幾種受力體是否是平面問題？若是，則是平面應(yīng)力問題，還是平面應(yīng)變問題？是平面應(yīng)力問題，還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題薄板彎曲問題薄板彎曲問題平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題空間問題空間問題空間問題空間問題q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問

15、題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.2 2.2 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程 平面問題的平衡微分方程是考慮平面問題的靜力學(xué)條平面問題的平衡微分方程是考慮平面問題

16、的靜力學(xué)條件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分單元的靜力平衡條件來推導(dǎo)出應(yīng)力件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分單元的靜力平衡條件來推導(dǎo)出應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。分量與體力分量之間的關(guān)系。如圖，在彈性體內(nèi)任一點(diǎn)如圖，在彈性體內(nèi)任一點(diǎn)取一微小的正平行六面體，其取一微小的正平行六面體，其x、y方向的尺寸分別為方向的尺寸分別為dx、dy，為計(jì)算方便，設(shè)它在為計(jì)算方便，設(shè)它在z方向方向的尺寸為單位長度的尺寸為單位長度1 1。平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程由于六面體是微小的，各面上的應(yīng)力可認(rèn)為由于六面體是微小的，各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布，且作用于對應(yīng)面的中心。是均勻分布，且作用于對應(yīng)面的中心。同理，六面體所受的

17、體力也可以認(rèn)為是均勻同理，六面體所受的體力也可以認(rèn)為是均勻分布，且作用于它的體積的中心。分布，且作用于它的體積的中心。一般而論，應(yīng)力分量是變量一般而論，應(yīng)力分量是變量x和和y的函數(shù)，作用于左右兩對面或的函數(shù)，作用于左右兩對面或上下兩對面的應(yīng)力分量不完全上下兩對面的應(yīng)力分量不完全相同，具有微小的差量。相同，具有微小的差量。平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程2 2、由通過中心由通過中心C C點(diǎn)并平行于點(diǎn)并平行于z軸軸的直線為轉(zhuǎn)軸，列出力矩的平衡的直線為轉(zhuǎn)軸，列出力矩的平衡條件，并利用小變形假設(shè)，可推條件，并利用小變形假設(shè)，可推導(dǎo)出導(dǎo)出“切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理”，即，即t txy=

18、=t tyx3 3、由由x軸和軸和y軸兩個(gè)方向的平面軸兩個(gè)方向的平面力系的平衡條件，可推導(dǎo)出力系的平衡條件，可推導(dǎo)出“平平衡微分方程衡微分方程”，即，即0000yxyyxyxxyxfxyfyxFFtsts1 1、利用連續(xù)性假設(shè)，根據(jù)利用連續(xù)性假設(shè)，根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)展開式，略去高級(jí)數(shù)展開式，略去高價(jià)項(xiàng)，可求出各面上的應(yīng)力價(jià)項(xiàng)，可求出各面上的應(yīng)力分量。分量。平衡微分方程：注意事項(xiàng)平衡微分方程：注意事項(xiàng) 列平衡條件時(shí)，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積列平衡條件時(shí)，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；和體積，才能得到合力； 應(yīng)用了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)（應(yīng)用了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假

19、設(shè)（不同面間應(yīng)力不同面間應(yīng)力分量采用泰勒級(jí)數(shù)展開分量采用泰勒級(jí)數(shù)展開）和小變形假設(shè)（）和小變形假設(shè)（受力變形前后受力變形前后微分體尺寸不變微分體尺寸不變），這也是其適用的條件。），這也是其適用的條件。 平衡微分方程中各個(gè)量的量綱都相同，其中第一式平衡微分方程中各個(gè)量的量綱都相同，其中第一式的各項(xiàng)為的各項(xiàng)為x方向的力，第二項(xiàng)為方向的力，第二項(xiàng)為y方向的力；方向的力；平衡微分方程：注意事項(xiàng)平衡微分方程：注意事項(xiàng) 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡微分方程相平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡微分方程相同同( (平面應(yīng)變問題中的正應(yīng)力平面應(yīng)變問題中的正應(yīng)力s sz不影響方程的推導(dǎo)不影響方程的推導(dǎo)) ) 平

20、面問題的平衡微分方程有平面問題的平衡微分方程有2 2個(gè)方程，但包含有個(gè)方程，但包含有3 3個(gè)未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學(xué)條件無法定解，即是超靜個(gè)未知函數(shù)，只根據(jù)靜力學(xué)條件無法定解，即是超靜定的。要想定解，還必須考慮幾何學(xué)和物理學(xué)方面的定的。要想定解，還必須考慮幾何學(xué)和物理學(xué)方面的條件。條件。 平衡微分方程表示了平面區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的微分單平衡微分方程表示了平面區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的微分單元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個(gè)區(qū)元體的平衡條件，必然保證任一有限大部分和整個(gè)區(qū)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學(xué)條件是嚴(yán)域是滿足平衡條件的，因而所考慮的靜力學(xué)條件是嚴(yán)格和精確的；格和精確的；例題例題例例2.2.

21、12.2.1：如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為如圖所示單位寬度薄板懸梁，跨度為l，其其上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)上表面承受三角形分布載荷作用，體力不計(jì)。試根據(jù)材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分材料力學(xué)中的應(yīng)力表達(dá)式，由平衡微分方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。方程導(dǎo)出另兩個(gè)應(yīng)力分量。yxlhq330 x2s例題例題0)(32230yxyyxyfxyxfyxlhqtst解解：（：（1 1）將將s sx代入平衡微分方程第一式代入平衡微分方程第一式02330 xyxxxfyxyxlhqtss)()(2330 xgyxfxylhqys)(32230 xfyxlhqxyt （2 2）將將t t

22、xy代入平衡微分方程第二式代入平衡微分方程第二式q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.3 2.3 平面問題中一點(diǎn)

23、應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力是與作用面有關(guān)的。應(yīng)力是與作用面有關(guān)的。 s sx，s sy和和t txy作為基本未知函作為基本未知函數(shù)，只是表示一點(diǎn)的坐標(biāo)平面上的應(yīng)力分量（數(shù)，只是表示一點(diǎn)的坐標(biāo)平面上的應(yīng)力分量（左圖左圖）。而）。而校核強(qiáng)度時(shí)需要知道過此點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力校核強(qiáng)度時(shí)需要知道過此點(diǎn)的任意斜面上的應(yīng)力p。而斜。而斜面上的全應(yīng)力又可以按坐標(biāo)軸分解為（面上的全應(yīng)力又可以按坐標(biāo)軸分解為（px, ,py），也可沿），也可沿法向和切向分解為正應(yīng)力法向和切向分解為正應(yīng)力s sn和和切應(yīng)力和和切應(yīng)力t tn（右圖右圖）。）。2.3 2.3 平面問題中一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中一點(diǎn)應(yīng)

24、力狀態(tài)分析1：求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面軸的任何斜面上的上的應(yīng)力應(yīng)力p？ 2：求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面軸的任何斜面上的上的正應(yīng)力正應(yīng)力s sn和和切應(yīng)力切應(yīng)力t tn ？ 3：若經(jīng)過該點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為若經(jīng)過該點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為0，求此斜面上，求此斜面上的的主應(yīng)力主應(yīng)力s s和和應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向a a ？4：求經(jīng)過該點(diǎn)的求經(jīng)過該點(diǎn)的正應(yīng)力正應(yīng)力s sn和和切應(yīng)力切應(yīng)力t tn 的最大和最小值的最大和最小值？ 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析就是求解上述有關(guān)應(yīng)力分一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析就是

25、求解上述有關(guān)應(yīng)力分量，具體為：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量量，具體為：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量s sx，s sy和和t txy，求解如下四個(gè)問題：求解如下四個(gè)問題：過一點(diǎn)任意斜面的全應(yīng)力過一點(diǎn)任意斜面的全應(yīng)力問題問題1 1：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量：已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量s sx，s sy和和t txy，求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任何斜面上的軸的任何斜面上的應(yīng)力應(yīng)力p？取如圖所示的微分三角板或三取如圖所示的微分三角板或三棱柱棱柱PAB，當(dāng)平面當(dāng)平面AB無限接近于無限接近于P點(diǎn)時(shí)，該平面上的應(yīng)力即為所求。點(diǎn)時(shí)，該平面上的應(yīng)力即

26、為所求。根據(jù)該微分單元的力系平衡條根據(jù)該微分單元的力系平衡條件，在件，在x和和y軸方向上合力為軸方向上合力為0，從，從而有：而有：mlpmlpFFyxyyxyxxyxstts00過一點(diǎn)任意斜面的正應(yīng)力與切應(yīng)力過一點(diǎn)任意斜面的正應(yīng)力與切應(yīng)力問題問題2 2：求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于：求經(jīng)過該點(diǎn)、平行于z軸而斜交于軸而斜交于x軸和軸和y軸的任軸的任何斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力？何斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力？平面平面AB上的上的正應(yīng)力正應(yīng)力s sn即為上即為上面所求的全應(yīng)力面所求的全應(yīng)力p向法線方向向法線方向n的投影：的投影：平面平面AB上的上的切應(yīng)力切應(yīng)力t tn即為上即為上面所求的全應(yīng)力面所求的全應(yīng)力P向切線方

27、向的向切線方向的投影：投影：yxnmplp syxnlpmp t222nyxnppst或或過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向問題問題3 3：若經(jīng)過該點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為：若經(jīng)過該點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力為0 0，求此斜，求此斜面上的主應(yīng)力面上的主應(yīng)力s s和應(yīng)力主方向和應(yīng)力主方向a a ？設(shè)如圖所示的斜面上切應(yīng)力設(shè)如圖所示的斜面上切應(yīng)力為為0 0，則，則該面上的全應(yīng)力等于正該面上的全應(yīng)力等于正應(yīng)力，也等于主應(yīng)力應(yīng)力，也等于主應(yīng)力，于是有，于是有mmpllpnynxssss又由于有又由于有mlpmlpyxyyxyxxstts過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向過一點(diǎn)任意斜面

28、的主應(yīng)力與主方向從而有關(guān)于方向余弦從而有關(guān)于方向余弦l, ,m的線性方程組：的線性方程組：0)(0)(mlmlyxyxyxssttss有有yxyxyxlmssttss0212IIss221xyyxyxIItssss展開得平面問題的主應(yīng)力特征方程：展開得平面問題的主應(yīng)力特征方程：由求根公式有：由求根公式有：2222112 , 1)2(224xyyxyxIIItsssss過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向過一點(diǎn)任意斜面的主應(yīng)力與主方向下面求應(yīng)力主方向。下面求應(yīng)力主方向。xyxlmtssa1111tan將所求主應(yīng)力將所求主應(yīng)力s s2代入第二個(gè)方程：代入第二個(gè)方程：yxylmssta2222tan0)(

29、0)(mlmlyxyxyxssttss兩個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的兩個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的將所求主應(yīng)力將所求主應(yīng)力s s1代入第一個(gè)方程：代入第一個(gè)方程：過一點(diǎn)任意斜面的應(yīng)力極值過一點(diǎn)任意斜面的應(yīng)力極值問題問題4 4、已知任一點(diǎn)處兩個(gè)主應(yīng)力、已知任一點(diǎn)處兩個(gè)主應(yīng)力s s1和和s s2，及其應(yīng)力主，及其應(yīng)力主方向，可求得經(jīng)過該點(diǎn)正應(yīng)力、切應(yīng)力的最大和最小值。方向，可求得經(jīng)過該點(diǎn)正應(yīng)力、切應(yīng)力的最大和最小值。 為了分析簡便，選取為了分析簡便，選取x軸和軸和y軸分別與兩個(gè)應(yīng)力主方向軸分別與兩個(gè)應(yīng)力主方向一致，則該點(diǎn)的應(yīng)力分量為一致，則該點(diǎn)的應(yīng)力分量為 s sx= =s s1， s sy= =s s2

30、 ， t txy= =0 先求正應(yīng)力的極值。先求正應(yīng)力的極值。 上式代入正應(yīng)力公式（上式代入正應(yīng)力公式（2 24 4），并利用兩個(gè)方向余弦），并利用兩個(gè)方向余弦平方和為平方和為1，得，得 s sn= =(s s1- -s s2)l2+ s s2 由此可知，兩個(gè)主應(yīng)力就是正應(yīng)力的最大和最小值。由此可知，兩個(gè)主應(yīng)力就是正應(yīng)力的最大和最小值。過一點(diǎn)任意斜面的應(yīng)力極值過一點(diǎn)任意斜面的應(yīng)力極值 再求切應(yīng)力的極值。再求切應(yīng)力的極值。 將將s sx= =s s1，s sy= =s s2 ，t txy= =0代入切應(yīng)力公式（代入切應(yīng)力公式（2 25 5），并利），并利用兩個(gè)方向余弦的平方和為用兩個(gè)方向余弦的平

31、方和為1 1，得，得 由此可知，當(dāng)由此可知，當(dāng) l2=0.5 ，s s1s s2 時(shí)，切應(yīng)力的最大和最小時(shí)，切應(yīng)力的最大和最小值如下，其作用平面的法線方向與值如下，其作用平面的法線方向與x軸和軸和y軸成軸成4545角：角：221212)21(41)()(llmnsssst2)()(21sst極值n一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析_ _總結(jié)總結(jié)已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量已知任一點(diǎn)處坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量s sx，s sy和和t txy，可求解如下四個(gè)問題：可求解如下四個(gè)問題：1：任何斜面上的應(yīng)力：任何斜面上的應(yīng)力p ：mlpmlpyxyyxyxxstts,2：任何斜面上的正應(yīng)力：任何斜面上的正應(yīng)

32、力s sn和切應(yīng)力和切應(yīng)力t tn ： xyxyyxnxyyxyxnmllmlpmplmmlmplptssttsss)()(22222一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析_ _總結(jié)總結(jié)4：經(jīng)過該點(diǎn)的正應(yīng)力：經(jīng)過該點(diǎn)的正應(yīng)力s sn和切應(yīng)力和切應(yīng)力t tn 的最大和最小值：的最大和最小值： 3：主應(yīng)力：主應(yīng)力s s和應(yīng)力主方向和應(yīng)力主方向a a ：yxyxyxxyyxyxsstatssatsssss2211222 , 1tan,tan)2(22)(,2)()(,)(212121sssstsss極值n極值n例題例題例例2.3.12.3.1：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，某點(diǎn)：在負(fù)載結(jié)構(gòu)中，某點(diǎn)O處的等厚平行四面體各面

33、處的等厚平行四面體各面的受力情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（的受力情況如圖所示（平面應(yīng)力狀態(tài)）。試求（1）主應(yīng)）主應(yīng)力的大小及方向（力的大小及方向（2）沿與水平面成）沿與水平面成30傾角的微面上的全傾角的微面上的全應(yīng)力和正應(yīng)力。應(yīng)力和正應(yīng)力。 45xyO30ABC0t0t0t0t000102, 1002312,2)32() 12()21 (, 0,2tttatsttstsarctgxyyxq 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題

34、的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.4 幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移 平面問題的幾何方程是考慮平面問題的幾何學(xué)條平面問題的幾何方程是考慮平面問題的幾何學(xué)條件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分線段及角度的幾何學(xué)知識(shí)來推件，根據(jù)彈性體內(nèi)微分線段及角度的幾何學(xué)知識(shí)來推導(dǎo)出導(dǎo)出形變分量與位移分量之間的關(guān)系形變分量與位移分量之間的

35、關(guān)系。 與推導(dǎo)平衡微分方程一樣，平面問題的幾何方與推導(dǎo)平衡微分方程一樣，平面問題的幾何方程也是要從微分角度導(dǎo)出，這樣結(jié)果才是精確的。程也是要從微分角度導(dǎo)出，這樣結(jié)果才是精確的。幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移如圖所示，考慮彈性體內(nèi)任如圖所示，考慮彈性體內(nèi)任意點(diǎn)意點(diǎn)P(x,y)，沿，沿x、y方向取兩個(gè)方向取兩個(gè)微小長度的線段微小長度的線段PA和和PB分別為分別為dx、dy。受力變形后受力變形后P、A和和B分別移動(dòng)到分別移動(dòng)到P、A和和B 。1、設(shè)設(shè)P點(diǎn)的位移分量分別為點(diǎn)的位移分量分別為u和和v。利用連續(xù)性和小利用連續(xù)性和小變形假設(shè)，根據(jù)變形假設(shè)，根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)展開式，略去高階項(xiàng)，可級(jí)數(shù)

36、展開式，略去高階項(xiàng)，可求出求出A和和B的位移分量。的位移分量。幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移2 2、由線應(yīng)變的定義，可得出線段由線應(yīng)變的定義，可得出線段PAPA的相對伸縮量如下（的相對伸縮量如下（即即x方向的方向的線應(yīng)變。由于位移微小，線應(yīng)變。由于位移微小，y y方向的方向的位移引起的位移引起的PAPA伸縮量是高一階的微伸縮量是高一階的微量，忽略不計(jì)量，忽略不計(jì)）：）：3 3、同理，線段同理，線段PBPB的相對伸縮量（的相對伸縮量（即即y方向的線應(yīng)變方向的線應(yīng)變）如下：）如下：yvdyvdyyvvyexudxudxxuuxe幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移4 4、由切應(yīng)變的定義，可得

37、出線段由切應(yīng)變的定義，可得出線段PAPA和和PBPB之間的直角的改變量（之間的直角的改變量（即切即切應(yīng)變應(yīng)變）由兩部分組成，一部分由）由兩部分組成，一部分由y方方向的位移向的位移v引起，即引起，即x方向的線段方向的線段PAPA的轉(zhuǎn)角；另一部分由的轉(zhuǎn)角；另一部分由x方向的位移方向的位移u引起，即引起，即y方向的線段方向的線段PBPB的轉(zhuǎn)角，由的轉(zhuǎn)角，由此此xvdxvdxxvvaatanyudyudyyuutan幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移于是，線段于是，線段PAPA和和PBPB之間的直角的改變量（之間的直角的改變量（即切應(yīng)變即切應(yīng)變）如下：如下：yuxvxyag綜合上述三式，就是平面問題

38、中的幾何方程，如下：綜合上述三式，就是平面問題中的幾何方程，如下：yuxvyvxuxyyxgee幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移平面問題的幾何方程平面問題的幾何方程適用于兩類平面問題適用于兩類平面問題意義：意義：平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的微分線段上的形變平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的微分線段上的形變與位移之間的幾何關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是一種變形的連續(xù)與位移之間的幾何關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是一種變形的連續(xù)性條件（性條件（物體在變形前后都是連續(xù)的物體在變形前后都是連續(xù)的）。）。適用條件：適用條件：與平衡微分方程一樣，滿足連續(xù)性與平衡微分方程一樣，滿足連續(xù)性和小變形假定和小變形假定幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移 考慮應(yīng)變分量全

39、為考慮應(yīng)變分量全為 0 0 的特殊情況，即的特殊情況，即“無形變無形變”時(shí)時(shí)，由幾何方程，仍存在位移解：，由幾何方程，仍存在位移解：xyuu00其中其中 u0 和和 0 分別為物體沿分別為物體沿x軸和軸和y軸方向的剛體平移，軸方向的剛體平移，而而 為沿物體繞為沿物體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定；當(dāng)形當(dāng)位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定；當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（3 3個(gè)個(gè)方程，方程，2 2未知數(shù)）未知數(shù)） 為什么？為什么？幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移對于上述形變和位移之間的

40、關(guān)系，可作如下討論：對于上述形變和位移之間的關(guān)系，可作如下討論： 1 1、如果物體的位移確定，則形變完全確定。、如果物體的位移確定，則形變完全確定。從物理概念從物理概念角度，當(dāng)物體變形后各點(diǎn)的位置完全確定時(shí)，任一微分線段角度，當(dāng)物體變形后各點(diǎn)的位置完全確定時(shí)，任一微分線段上的形變也完全確定。從數(shù)學(xué)推導(dǎo)也可見，當(dāng)位移函數(shù)確定上的形變也完全確定。從數(shù)學(xué)推導(dǎo)也可見，當(dāng)位移函數(shù)確定時(shí)，其導(dǎo)數(shù)也就確定，即形變分量也完全確定。時(shí)，其導(dǎo)數(shù)也就確定，即形變分量也完全確定。 2 2、當(dāng)物體的形變確定時(shí)，位移不完全確定。、當(dāng)物體的形變確定時(shí)，位移不完全確定。從物理概念從物理概念角度，當(dāng)保持物體內(nèi)部形變不變的條件下

41、，物體還可作剛體角度，當(dāng)保持物體內(nèi)部形變不變的條件下，物體還可作剛體運(yùn)動(dòng)平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。從數(shù)學(xué)角度看，由形變求位移是一個(gè)積運(yùn)動(dòng)平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。從數(shù)學(xué)角度看，由形變求位移是一個(gè)積分過程，在常微分中會(huì)出現(xiàn)一任意常數(shù)；在偏微分中會(huì)出現(xiàn)分過程，在常微分中會(huì)出現(xiàn)一任意常數(shù)；在偏微分中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)與積分變量無關(guān)的未定任意函數(shù)，該未定項(xiàng)就是剛體平一個(gè)與積分變量無關(guān)的未定任意函數(shù)，該未定項(xiàng)就是剛體平移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)量。移和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)量。幾何方程及剛體位移幾何方程及剛體位移綜上所述：綜上所述：當(dāng)形變確定時(shí)，與形變有關(guān)的位移可以確定，而當(dāng)形變確定時(shí)，與形變有關(guān)的位移可以確定，而與形變無關(guān)的剛體位移尚未確定，須通過邊界上的約與形變

42、無關(guān)的剛體位移尚未確定，須通過邊界上的約束條件來確定。束條件來確定。例題例題例例2.4.12.4.1：當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，當(dāng)應(yīng)變?yōu)槌Ａ繒r(shí)，e ex =a, , e ey =b , ,g gxy =c ，試求對應(yīng)的位移分量。試求對應(yīng)的位移分量。xcbyyaxuu)(00q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理

43、及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.5 平面問題的物理方程平面問題的物理方程物理方程：考慮平面問題的物理學(xué)條件而得出的應(yīng)力物理方程：考慮平面問題的物理學(xué)條件而得出的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，又稱本構(gòu)方程和廣義胡克定律。與應(yīng)變的關(guān)系，又稱本構(gòu)方程和廣義胡克定律。E 為拉壓彈性模量為拉壓彈性模量- -楊氏模量楊氏模量G 為剪切彈性模量為剪切彈性模量m 為橫向變形系數(shù)為橫向變形系數(shù)泊松比泊松比)1 (2mEGGGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzx

44、yyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1對于對于理想彈性體理想彈性體，有，有平面應(yīng)力問題的物理方程平面應(yīng)力問題的物理方程將平面應(yīng)力問題的條件將平面應(yīng)力問題的條件s sz= =t tzx= =t tzy=0=0代入代入物理方程，可得物理方程，可得00)1(2)()(1)(1xzyzxyxyyxzxyyyxxEEEEggtmgssmemssemsseGGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題的物理方程將平面應(yīng)變問題的條件將平面應(yīng)變問題的條件 e ez= =

45、g gzx= =g gzy=0=0 和和w=0=0 代入左式，可得代入左式，可得00)1(20)1(1)1(122xzyzxyxyzxyyyxxEEEggtmgesmmsmesmmsme并有并有 s sz= =m(m(s sx+ s sy) ) 和和t tzx= =t tzy=0=0GGGEEExzxzyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxtgtgtgssmsessmsessmse)(1)(1)(1兩類平面問題的物理方程比較兩類平面問題的物理方程比較平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題的物理方程xyxyxyyyxxEEEtmgsmmsmesmmsme)1(2)1(1)1(122平面應(yīng)力問題的物

46、理方程平面應(yīng)力問題的物理方程xyxyxyyyxxEEEtmgmssemsse)1(2)(1)(1將平面應(yīng)力問題物理方程中的將平面應(yīng)力問題物理方程中的 E 和和 m m 作如下替換，可得平面應(yīng)變問作如下替換，可得平面應(yīng)變問題的物理方程題的物理方程mmmm112EE平面問題的基本方程平面問題的基本方程從平面問題的三套基本方程可見，對于兩類平面從平面問題的三套基本方程可見，對于兩類平面問題，除了物理方程中的有關(guān)系數(shù)要進(jìn)行相應(yīng)的變問題，除了物理方程中的有關(guān)系數(shù)要進(jìn)行相應(yīng)的變換外，其它的平衡微分方程和幾何方程完全相同。換外，其它的平衡微分方程和幾何方程完全相同。平面問題的基本方程共有平面問題的基本方程共

47、有8 8個(gè)：（個(gè)：（2 2個(gè)平衡微分方個(gè)平衡微分方程、程、3 3個(gè)幾何方程、個(gè)幾何方程、3 3個(gè)物理方程）。這個(gè)物理方程）。這8 8個(gè)基本方程個(gè)基本方程包含包含8 8個(gè)未知函數(shù)（坐標(biāo)的未知函數(shù)）：個(gè)未知函數(shù)（坐標(biāo)的未知函數(shù)）：3 3個(gè)應(yīng)力分個(gè)應(yīng)力分量、量、3 3個(gè)應(yīng)變分量、個(gè)應(yīng)變分量、2 2個(gè)位移分量。要想求解這些未個(gè)位移分量。要想求解這些未知函數(shù)，還必須考慮彈性體邊界上的條件。知函數(shù)，還必須考慮彈性體邊界上的條件。q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾

48、何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.6 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件邊界條件：邊界條件：表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式，又分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界力之間的關(guān)系式，又分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。條件和混合邊界條件。1

49、 1、位移邊界條件：、位移邊界條件：若給定了部分邊界上的約束位移若給定了部分邊界上的約束位移分量，則邊界上每一點(diǎn)的位移函數(shù)應(yīng)滿足如下條件分量，則邊界上每一點(diǎn)的位移函數(shù)應(yīng)滿足如下條件)()(),()(ssuuss其中等式左邊是位移的邊界值，而等式右邊則是邊界其中等式左邊是位移的邊界值，而等式右邊則是邊界上的約束位移分量，是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。對于上的約束位移分量，是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。對于完全固定的邊界，其約束位移分量均為完全固定的邊界，其約束位移分量均為0 0。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件2 2、應(yīng)力邊界條件：、應(yīng)力邊界條件：若給定了部分邊界上面力分量，若給定了部分邊界上面力分量，

50、則由邊界上任意點(diǎn)的靜力平衡條件，導(dǎo)出邊界上每則由邊界上任意點(diǎn)的靜力平衡條件，導(dǎo)出邊界上每一點(diǎn)的應(yīng)力與面力的關(guān)系式：一點(diǎn)的應(yīng)力與面力的關(guān)系式：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyxstts其中等式左邊是應(yīng)力分量的邊界值，而等式右邊則其中等式左邊是應(yīng)力分量的邊界值，而等式右邊則是邊界上的面力分量，是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。是邊界上的面力分量，是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。 l 和和 m 為該點(diǎn)處邊界面外法線的方向余弦。為該點(diǎn)處邊界面外法線的方向余弦。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件對于應(yīng)力邊界條件，必須很好地理解和掌握，應(yīng)注對于應(yīng)力邊界條件，必須很好地理解和掌握，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：意以下幾

51、點(diǎn)：1、應(yīng)力邊界條件表示邊界上任一點(diǎn)的應(yīng)力和面力之間應(yīng)力邊界條件表示邊界上任一點(diǎn)的應(yīng)力和面力之間的關(guān)系，的關(guān)系， 它是函數(shù)方程，在邊界上每一點(diǎn)都應(yīng)滿足；它是函數(shù)方程，在邊界上每一點(diǎn)都應(yīng)滿足；2、公式（公式（2-3）表示的是區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的斜面上的應(yīng)）表示的是區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的斜面上的應(yīng)力分量與坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量之間的關(guān)系，適用于平力分量與坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量之間的關(guān)系，適用于平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)，而邊界條件（面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)，而邊界條件（2-15）只能應(yīng)用于邊）只能應(yīng)用于邊界上。因此，必須將邊界界上。因此，必須將邊界S的方程代入（的方程代入（2-15）的應(yīng)力）的應(yīng)力表達(dá)式中；表達(dá)式中；平面問題的邊界條件平面

52、問題的邊界條件3、注意式（注意式（2-15）中的面力和應(yīng)力具有不同的）中的面力和應(yīng)力具有不同的正負(fù)號(hào)規(guī)定，且分別作用于通過邊界點(diǎn)的不同正負(fù)號(hào)規(guī)定，且分別作用于通過邊界點(diǎn)的不同面上。外法線方向余弦則按三角公式確定正負(fù)面上。外法線方向余弦則按三角公式確定正負(fù)號(hào)。號(hào)。4、平面問題中應(yīng)力邊界條件都是兩個(gè)，分別表平面問題中應(yīng)力邊界條件都是兩個(gè)，分別表示示x和和y兩個(gè)方向的條件，它是邊界上微分體的兩個(gè)方向的條件，它是邊界上微分體的平衡條件，也屬于靜力學(xué)條件。平衡條件，也屬于靜力學(xué)條件。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件對于邊界面為坐標(biāo)面的情形，應(yīng)力邊界條件對于邊界面為坐標(biāo)面的情形，應(yīng)力邊界條件(2-15

53、)(2-15)可可進(jìn)行簡化如下：進(jìn)行簡化如下：由于面力和應(yīng)力具有不同的正負(fù)號(hào)規(guī)定，因此，在由于面力和應(yīng)力具有不同的正負(fù)號(hào)規(guī)定，因此，在正負(fù)坐標(biāo)面上，表達(dá)式中的符號(hào)是不相同的。在正正負(fù)坐標(biāo)面上，表達(dá)式中的符號(hào)是不相同的。在正坐標(biāo)面上，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)；在負(fù)坐標(biāo)面坐標(biāo)面上，應(yīng)力分量與面力分量同號(hào)；在負(fù)坐標(biāo)面上，應(yīng)力分量與面力分量異號(hào)。上，應(yīng)力分量與面力分量異號(hào)。yaxxyxaxxff)(,)(ts若若x=a為正為正x面，面，ybxxyxbxxff)(,)(ts若若x=b為負(fù)為負(fù)x面，面，平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件由上可知，應(yīng)力邊界條件可采用兩種表達(dá)形式：由上可知，應(yīng)力邊界條件可采用

54、兩種表達(dá)形式：1、在邊界上取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件，在邊界上取出一個(gè)微分體，考慮其平衡條件，便可便可得出應(yīng)力邊界條件（得出應(yīng)力邊界條件（2-15）或其簡化式；）或其簡化式；2、在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對應(yīng)的面力分量在同一邊界面上，應(yīng)力分量應(yīng)等于對應(yīng)的面力分量（數(shù)值相同，方向一致）（數(shù)值相同，方向一致）。由于面力的數(shù)值和方向是給。由于面力的數(shù)值和方向是給定的，因此，在同一邊界面上，應(yīng)力的數(shù)值應(yīng)等于對應(yīng)定的，因此，在同一邊界面上，應(yīng)力的數(shù)值應(yīng)等于對應(yīng)的面力的數(shù)值，而面力的方向就是應(yīng)力的方向。例如：的面力的數(shù)值，而面力的方向就是應(yīng)力的方向。例如：ysyxsxfpfp)(,)(在斜面上，在

55、斜面上，在正負(fù)坐標(biāo)面上，如同前述簡化式。在正負(fù)坐標(biāo)面上，如同前述簡化式。平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件混合邊界條件：混合邊界條件：一部分邊界具有已知位移，因而具一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，如式（有位移邊界條件，如式（2-142-14）；另一部分邊界具有）；另一部分邊界具有已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件，如式（已知面力，因而具有應(yīng)力邊界條件，如式（2-152-15）；）；另外，在同一部分邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件，另外，在同一部分邊界上還可能出現(xiàn)混合邊界條件，即兩個(gè)邊界條件中，一個(gè)是位移邊界條件，而另一個(gè)即兩個(gè)邊界條件中，一個(gè)是位移邊界條件，而另一個(gè)是應(yīng)力邊界條件。是應(yīng)

56、力邊界條件。例題例題例例2.6.12.6.1：如圖，為左側(cè)受靜水壓力、下邊固定的水壩如圖，為左側(cè)受靜水壓力、下邊固定的水壩，試寫出其應(yīng)力邊界條件（固定邊不寫）。，試寫出其應(yīng)力邊界條件（固定邊不寫）。0sincos0sincosasatatasyxyxyx右側(cè)面：右側(cè)面：gstgtssinsincoscossincosyyyxyxyx左側(cè)面：左側(cè)面：例題例題例例2.6.22.6.2：如圖，為上、下邊分別受均布力作用的三角如圖，為上、下邊分別受均布力作用的三角形懸臂梁，試寫出其應(yīng)力邊界條件（固定邊不寫）。形懸臂梁，試寫出其應(yīng)力邊界條件（固定邊不寫）。qyxyyy00)(0)(ts上邊界：上邊界：p

57、yxyxyxasatatascossin0cossin下邊界：下邊界：思考題思考題思考題：思考題：如圖所示，薄板條在如圖所示，薄板條在y y方向受均勻拉力作用方向受均勻拉力作用（視為平面應(yīng)力問題），試證明在板中間突出部分（視為平面應(yīng)力問題），試證明在板中間突出部分的尖端的尖端A A處無應(yīng)力存在處無應(yīng)力存在( (注：注：Ox是角平分線是角平分線) )。q 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題q 平面問題的平衡微分方程平面問題的平衡微分方程q 平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析平面問題中的一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)分析q 平面問題的幾何方程與剛體位移平面問題的幾何方程與剛體位移q 平面問題的物理方程平

58、面問題的物理方程q 平面問題的邊界條件平面問題的邊界條件 q 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用q 按位移法求解平面問題按位移法求解平面問題q 按應(yīng)力求解平面問題及相容方程按應(yīng)力求解平面問題及相容方程q 常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化與應(yīng)力函數(shù)主要內(nèi)容主要內(nèi)容2.7 圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用彈性力學(xué)問題的求解是在給定的邊界條件下求解三套基彈性力學(xué)問題的求解是在給定的邊界條件下求解三套基本方程。彈性力學(xué)的解必然要求物體表面的外力或者位移本方程。彈性力學(xué)的解必然要求物體表面的外力或者位移滿足邊界條件。滿足邊界條件。對于工程實(shí)際問題，構(gòu)件表面面力或者位對于工程實(shí)際問題，構(gòu)件表面

59、面力或者位移是很難完全滿足這個(gè)要求。這使得彈性力學(xué)解的應(yīng)用將移是很難完全滿足這個(gè)要求。這使得彈性力學(xué)解的應(yīng)用將受到極大的限制。為了擴(kuò)大彈性力學(xué)解的適用范圍，放寬受到極大的限制。為了擴(kuò)大彈性力學(xué)解的適用范圍，放寬這種限制，圣維南提出了局部影響原理。這種限制，圣維南提出了局部影響原理。 圣維南原理主要內(nèi)容：圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體如果把物體表面一小部分邊界上表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系（主失量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么只在作用邊界失量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同），那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改

60、變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。其影響可以忽略不計(jì)。圣維南原理及應(yīng)用圣維南原理及應(yīng)用1 1、變換的外力必須與原外力是靜力等效的：、變換的外力必須與原外力是靜力等效的：主失量相主失量相同，對同一點(diǎn)的主矩也相同同，對同一點(diǎn)的主矩也相同2 2、只能在局部邊界上（小邊界）進(jìn)行靜力等效變換。、只能在局部邊界上（小邊界）進(jìn)行靜力等效變換。3 3、根據(jù)圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效、根據(jù)圣維南局部影響原理，假如我們用一靜力等效力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的力系取代彈性體上作用的原外力，則其影響僅在力的作用區(qū)域附近。