第5章IIR 濾波器設(shè)計(jì)1

1、葛青葛青4.14.1濾波器的概念及分類濾波器的概念及分類l數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：通過(guò)對(duì)數(shù)字信號(hào)的運(yùn)算處理，改變信號(hào)頻譜，完成濾波作用的算法或裝置。數(shù)字濾波器具有穩(wěn)定、適應(yīng)性強(qiáng)、線性相位等優(yōu)點(diǎn),避免了模擬濾波器固有的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問(wèn)題。線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系可用如下數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)描述輸入輸出關(guān)系可用如下數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)描述 時(shí)域：時(shí)域： 頻域：頻域： nhnxny jjjeeeHXY l幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻幅頻特性：表示信號(hào)通過(guò)該濾波器后各頻率成分的衰減情況率成分的衰減情況l相頻特性：反映各頻率成分通過(guò)濾波器后相頻特性：反映各頻率成分通過(guò)濾波器后在時(shí)間上的延

2、時(shí)情況（在時(shí)間上的延時(shí)情況（ 聯(lián)系無(wú)失真?zhèn)鬏敆l聯(lián)系無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件）件）)()()(jeHH假定假定 和和 如圖（如圖（a）、（）、（b）所示，則由上式）所示，則由上式可得出可得出 的波形如圖（的波形如圖（c）所示。）所示。濾波原理濾波原理 jeX jeH jeY濾波后，輸出濾波后，輸出 頻率成分中頻率成分中 的部分被濾除掉了。的部分被濾除掉了。設(shè)計(jì)不同形狀的設(shè)計(jì)不同形狀的 ，就可以得到不同的濾波結(jié)果。，就可以得到不同的濾波結(jié)果。c jeHl濾波器的設(shè)計(jì)就是用一個(gè)因果穩(wěn)定的線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近理想濾波器的性能。l數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì): :確定傳輸函數(shù)H(z)的過(guò)程。l表征濾波器

3、頻率響應(yīng)的特征參量（表征濾波器頻率響應(yīng)的特征參量（3個(gè)參量）個(gè)參量）（1 1）幅度平方響應(yīng)：幅度的平方與頻率的關(guān)系）幅度平方響應(yīng)：幅度的平方與頻率的關(guān)系（2 2）相位響應(yīng)）相位響應(yīng)（3 3）群延遲響應(yīng)）群延遲響應(yīng)（物理意義）:相位對(duì)角頻率的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。若濾波器通帶內(nèi)群延遲響應(yīng)=常數(shù)，則為線性相位濾波器，聯(lián)系無(wú)失真?zhèn)鬏攩?wèn)題。無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 如果系統(tǒng)響應(yīng)僅是輸入信號(hào)在時(shí)間上的延時(shí)和幅度上的放大或縮小，就認(rèn)為信號(hào)在傳輸過(guò)程中沒(méi)有失真，這種系統(tǒng)稱為無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)( )f t0( )()y tKf tt( )h t0( )()h tKtt0( )j tHKe(

4、 )HK無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)0)(t分類標(biāo)準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)可分類型可分類型處理信號(hào)的方式處理信號(hào)的方式經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器處理信號(hào)的類型處理信號(hào)的類型模擬濾波器和數(shù)字濾波器模擬濾波器和數(shù)字濾波器通過(guò)信號(hào)的頻段通過(guò)信號(hào)的頻段低通、高通、帶通和帶阻濾波器低通、高通、帶通和帶阻濾波器實(shí)現(xiàn)方法實(shí)現(xiàn)方法模擬濾波器模擬濾波器數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器LC濾波器、螺旋濾波器、晶體濾濾波器、螺旋濾波器、晶體濾波器、陶瓷濾波器、聲表面濾波波器、陶瓷濾波器、聲表面濾波器、微帶濾波器和有源濾波器等器、微帶濾波器和有源濾波器等有限沖激響應(yīng)濾波器有限沖激響應(yīng)濾波器無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方

5、法Butterworth濾波器、濾波器、Chebyshev濾波器和橢圓濾波器等濾波器和橢圓濾波器等l經(jīng)典濾波器：用于提取有用的信號(hào)，抑經(jīng)典濾波器：用于提取有用的信號(hào)，抑制不需要的干擾；或?qū)⑿盘?hào)分成不同的制不需要的干擾；或?qū)⑿盘?hào)分成不同的頻率成分；頻率成分；l現(xiàn)代濾波：信號(hào)檢測(cè)和信號(hào)估計(jì)現(xiàn)代濾波：信號(hào)檢測(cè)和信號(hào)估計(jì)經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器 模擬濾波器幅頻特性曲線模擬濾波器幅頻特性曲線數(shù)字濾波器幅頻特性曲線數(shù)字濾波器幅頻特性曲線低通濾波器（LPAF/LPDF):Low pass filter帶通濾波器(BPAF/BPDF):Bandpass filter高通濾波器(HPAF/H

6、PDF):High pass filter帶阻濾波器(BSAF/BSDF):Bandstop filter模擬(Analog)濾波器:是用來(lái)處理模擬信號(hào)的處理系統(tǒng)。數(shù)字(Digital)濾波器:是用來(lái)處理數(shù)字信號(hào)的處理系統(tǒng)。x(n)y(n)數(shù)字信號(hào)處理？IIR(infinite impulse response):IIR(infinite impulse response):有限沖激響應(yīng)濾波器有限沖激響應(yīng)濾波器, ,單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)是無(wú)限是無(wú)限長(zhǎng)序列長(zhǎng)序列 FIR(finite impulse response): FIR(finite impulse response

7、):無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器, ,單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)是有限是有限長(zhǎng)序列長(zhǎng)序列x(n)y(n)數(shù)字信號(hào)處理？4.IIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與FIR系統(tǒng)系統(tǒng)l從系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)來(lái)區(qū)分l無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)序列1.有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)序列x(n)y(n)數(shù)字信號(hào)處理？五、五、IIRIIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與FIRFIR系統(tǒng)系統(tǒng)l從系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)造來(lái)區(qū)分lIIR系統(tǒng)：至少有一個(gè)極點(diǎn)。包括全極點(diǎn)系統(tǒng)（分子只有常數(shù)項(xiàng)）和零極點(diǎn)系統(tǒng)（分子不止常數(shù)項(xiàng)）；有反饋環(huán)路，采用遞歸型結(jié)構(gòu)。1.FIR系統(tǒng)：收斂域內(nèi)無(wú)極點(diǎn)

8、，是全零點(diǎn)系統(tǒng)。無(wú)反饋環(huán)路，多采用非遞歸結(jié)構(gòu)。0001( )1MMmmmmmmNNkkkkkkb zb zH za za zx(n)y(n)數(shù)字信號(hào)處理？IIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與FIR系統(tǒng)系統(tǒng)l從系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)造來(lái)區(qū)分從系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)造來(lái)區(qū)分11101)(數(shù)為：離散因果系統(tǒng)的傳遞函MiiiNiiizbzazHx(n)y(n)數(shù)字信號(hào)處理？IIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與FIR系統(tǒng)系統(tǒng))1N-(.)2-()1-()()(.)(，則0全為若)1(1210)1(-12-21-1010nananananhzazazaazazHbNNNNiiii當(dāng)0nN-1時(shí)，h(n)=0具有這種形式的濾波器稱為具有這種形式的濾波器稱為FIR

9、濾波器濾波器(Finite Impulse Response)。其差分方程為：。其差分方程為：)1N-(.)1-()()(110nfanfanfanyNx(n)y(n)數(shù)字信號(hào)處理？(2)bi(2)bi中至少有一項(xiàng)不為零，并且分母中至少有中至少有一項(xiàng)不為零，并且分母中至少有一個(gè)根不為分子所抵消一個(gè)根不為分子所抵消.)2-()1-()()(1.),1(1)(021010nnnanhzzzazazH具有這種形式的濾波器稱為具有這種形式的濾波器稱為IIR濾波器濾波器(Infinite Impulse Response)。其差分方程為：。其差分方程為： x(n)y(n)數(shù)字信號(hào)處理？IIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與

10、FIR系統(tǒng)系統(tǒng)lIIR系統(tǒng)：至少有一個(gè)極點(diǎn)。包括全極點(diǎn)系統(tǒng)（分子只有常數(shù)項(xiàng)）和零極點(diǎn)系統(tǒng)（分子不止常數(shù)項(xiàng)）；有反饋環(huán)路，采用遞歸型結(jié)構(gòu)。lFIR系統(tǒng)：收斂域內(nèi)無(wú)極點(diǎn)，是全零點(diǎn)系統(tǒng)。無(wú)反饋環(huán)路，多采用非遞歸結(jié)構(gòu)。數(shù)字濾波器的性能要求l一個(gè)理想濾波器，要求所在通頻帶內(nèi)幅頻響一個(gè)理想濾波器，要求所在通頻帶內(nèi)幅頻響應(yīng)是一常數(shù)；相位頻率相應(yīng)為零或是頻率的應(yīng)是一常數(shù)；相位頻率相應(yīng)為零或是頻率的線性函數(shù)。但一個(gè)實(shí)際的濾波器要是不可能線性函數(shù)。但一個(gè)實(shí)際的濾波器要是不可能得到上述幅頻和相頻響應(yīng)。以低通濾波器為得到上述幅頻和相頻響應(yīng)。以低通濾波器為例，頻率響應(yīng)有通帶、過(guò)渡帶及阻帶三個(gè)范例，頻率響應(yīng)有通帶、過(guò)渡帶

11、及阻帶三個(gè)范圍圍。數(shù)字濾波器的性能要求p p：通帶衰減通帶衰減 s s：阻帶衰減阻帶衰減 p p：通帶截止頻率通帶截止頻率s s：阻帶截止頻率阻帶截止頻率p p-s s ：過(guò)渡帶過(guò)渡帶 通帶允許的最大衰減通帶允許的最大衰減 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減： ps pccHHH1lg20elg20eelg20jj0jpsHHHlg20elg20eelg20ssjj0js數(shù)字濾波器的性能要求式中假定式中假定 被歸一化為被歸一化為1 11e0jHl按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)術(shù)指標(biāo)l一個(gè)因果穩(wěn)定的離散一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LSILSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的

12、系統(tǒng)函數(shù)H H( (z z) )逼近此性能指標(biāo)逼近此性能指標(biāo)l利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等l實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或?qū)嶋H技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSPDSP芯片芯片法法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)lIIRIIR濾波器設(shè)計(jì)主要內(nèi)容包括：濾波器設(shè)計(jì)主要內(nèi)容包括：巴特沃思、切比雪夫模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；巴特沃思、切比雪夫模擬低通濾波器設(shè)計(jì)；脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法的數(shù)字化變脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法的數(shù)字化變換方法；換方法；數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。數(shù)字

13、高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。l而而FIRFIR濾波器是直接采用的數(shù)字式設(shè)計(jì)方法。濾波器是直接采用的數(shù)字式設(shè)計(jì)方法。針對(duì)針對(duì)FIRFIR濾波器特征，首先介紹了其線性相濾波器特征，首先介紹了其線性相位的實(shí)現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和頻率位的實(shí)現(xiàn)條件，然后介紹了窗函數(shù)法和頻率抽樣法的設(shè)計(jì)方法。抽樣法的設(shè)計(jì)方法。 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：數(shù)字濾波器一般有以下兩種方法：l1. 1. 模擬濾波器模擬濾波器: :首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾首先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器，這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較濾波器，

14、這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等阻等。l2.直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，由于要聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)作計(jì)，由于要聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)作輔助設(shè)計(jì)。輔助設(shè)計(jì)。4.2 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)l IIR濾波器以模擬低通濾波器為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)方濾波器以模擬低通濾波器為基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)方法，為了設(shè)計(jì)其他的選頻濾波器（高通，帶通法，為了設(shè)計(jì)其他的選頻濾波器（高通，帶通，帶阻等），需要對(duì)低通濾波器進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換，帶阻等），需要對(duì)低通濾波器進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換，在設(shè)計(jì)過(guò)程中有兩種不

15、同的變換，在設(shè)計(jì)過(guò)程中有兩種不同的變換,頻帶變換和頻帶變換和模擬模擬/數(shù)字變換。根據(jù)這兩種變換的先后次序，數(shù)字變換。根據(jù)這兩種變換的先后次序，引出兩種設(shè)計(jì)方法引出兩種設(shè)計(jì)方法。 4.2 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)歸一化歸一化模擬低通模擬低通模擬高通、模擬高通、帶通、帶阻帶通、帶阻數(shù)字高通、數(shù)字高通、帶通、帶阻帶通、帶阻模擬域模擬域頻帶變換頻帶變換雙線性雙線性變換變換歸一化歸一化模擬低通模擬低通數(shù)字?jǐn)?shù)字低通低通數(shù)字高通、數(shù)字高通、帶通、帶阻帶通、帶阻數(shù)字域數(shù)字域頻帶變換頻帶變換或雙線性或雙線性變換變換沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)不變法不變法其它非低通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程其它非低通數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

16、過(guò)程IIRIIR的設(shè)計(jì)方法的設(shè)計(jì)方法借用模擬濾波器借用模擬濾波器先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成先設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后變換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟 將給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾將給定的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾 波器的技術(shù)指標(biāo)；波器的技術(shù)指標(biāo)；根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬原型濾波器；根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬原型濾波器； 按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。按照一定規(guī)則將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。常用模擬低通濾波器及其特點(diǎn)1.巴特沃思巴特沃思(Butterworth)(Butterworth)濾波器濾波器

17、: 特點(diǎn)是從通帶中心向兩邊幅頻特性單調(diào)下降；2.2.切比雪夫型切比雪夫型I(Chebyshev)濾波器:通帶內(nèi)有等波紋幅頻特性函數(shù)，阻帶內(nèi)有單調(diào)下降的幅頻特性函數(shù)；3.3.切比雪夫型切比雪夫型II(Chebyshev)濾波器:通帶內(nèi)有單調(diào)下降的幅頻特性函數(shù)，阻帶內(nèi)有等波紋幅頻特性函數(shù)；4. .橢圓橢圓濾波器(又稱考爾Cauer濾波器或雙切比雪夫切比雪夫?yàn)V波器):通帶和阻帶內(nèi)均有等波紋幅頻特性；5.貝塞爾貝塞爾(Bessel)(Bessel)濾波器濾波器（又稱最大平坦群時(shí)延濾波器）:在中心頻率附近逼近線性相位特性；模擬濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程模擬濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程（1）根據(jù)要求確定設(shè)計(jì)指標(biāo)；（2）選擇濾波

18、器類型；（3）計(jì)算濾波器階數(shù)；（4）通過(guò)查表或計(jì)算確定濾波器的系統(tǒng) 函數(shù)Ha(s);（5）綜合實(shí)現(xiàn)并裝配調(diào)試；1.巴特沃思低通濾波器（1）基本性質(zhì) 巴特沃思濾波器以巴特沃思函數(shù)來(lái)近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器。 221()1()aNcHj N N為濾波器階數(shù)為濾波器階數(shù)c c為為3dB3dB截止頻率截止頻率巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù)巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù)巴特沃斯濾波器的主要特征 a.對(duì)所有的N: 即即1)(20jHa21)(2cjHa707. 0)(cjH

19、adBjHca3)(lg20b. 是 的單調(diào)下降函數(shù)。c. 隨著階次N的增大而更接近于理想低通濾波器。2)( jHa2)( jHa 歸一化原型濾波器是指截止頻率歸一化原型濾波器是指截止頻率 已經(jīng)歸一已經(jīng)歸一化成化成 的低通濾波器。對(duì)于截止頻率為的低通濾波器。對(duì)于截止頻率為 某個(gè)低通濾波器，則令某個(gè)低通濾波器，則令 替歸一化原型濾波器系替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的統(tǒng)函數(shù)中的 ， 對(duì)于其他高通、帶通、帶阻濾波器，可應(yīng)用后面對(duì)于其他高通、帶通、帶阻濾波器，可應(yīng)用后面討論到的頻帶變換法，由其變換得出。討論到的頻帶變換法，由其變換得出。 c1ccscscss/巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：巴特沃

20、斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：NcajH22)(11|)(|N為濾波器的階次， 為3dB截頻。c( (2 2) )巴特沃思低通濾波器巴特沃思低通濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程設(shè)計(jì)過(guò)程通帶最大衰減和阻帶最小衰減可由定義式求出通帶最大衰減和阻帶最小衰減可由定義式求出: :( (設(shè)設(shè)=0=0處幅度歸一化到處幅度歸一化到1 1) ), , 則則: :22| )(|lg10| )(|lg10saspapjHjHNcajH22)(11|)(|(2)巴特沃思低通濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程1)1)求出求出N N10/210)(1pNcp10/210)(1sNcs110110)(10/10/spNspN Nminmin應(yīng)取向上取整。應(yīng)取向

21、上取整。 2 2) )如技術(shù)指標(biāo)未給出如技術(shù)指標(biāo)未給出 ，則可由下式計(jì)算：，則可由下式計(jì)算： 或或采用上式求采用上式求 ，阻帶指標(biāo)有富裕量；，阻帶指標(biāo)有富裕量；下式則通帶指標(biāo)有富裕量。下式則通帶指標(biāo)有富裕量。cNpcp211.0)110(Nscs211.0)110(c查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 , 即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。3)求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)(sHacss/s低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟：低通巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)步驟：（1 1）由）由 求濾波器階次求濾波器階次N N；（2 2）由）由N N查表，求出歸一化傳輸函數(shù)查表，求出歸一化傳輸函數(shù) ；（3

22、3）令）令 代入代入 ，得實(shí)際，得實(shí)際 濾波器傳輸函數(shù)濾波器傳輸函數(shù)H Ha a(s) (s) 。 sspp和、css/)(sHa)(sHaN Nminmin應(yīng)取向上取整。應(yīng)取向上取整。Npcp211.0)110(Nscs211.0)110(N及 計(jì)算c或 2dB1lg101 ApNcajH22)(11|)(| nH22211 nA2ps2psdBs1lg10 110p1 . 02 ps1 . 01 . 0/lg110/110lgps n通帶邊頻: 通帶的最大衰減為: 阻帶邊頻為: 阻帶的最小衰減為: dBp2例:設(shè)計(jì)一巴特沃思低通濾波器，使其滿足以下指標(biāo): sradp/20srads/30d

23、BS10解:根據(jù)濾波器技術(shù)指標(biāo) 取N=4, 查表得四階巴特沃思多項(xiàng)式，得歸一化系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式確定階次N371. 3N1613. 2414. 3613. 21)(234sssssHa巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)Npcp211.0)110(代入代入387.21ccss1613. 2414. 3613. 21)(234sssssHa54233451009. 210556. 210562. 188.551009. 2)(sssssHa1.巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)步驟：巴

24、特沃思濾波器設(shè)計(jì)步驟：(1)(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求求出濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率cpspsNpcp211.0)110(Nscs211.0)110(N Nminmin應(yīng)取向上取整。應(yīng)取向上取整。或或1.1.巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)步驟：巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)步驟：(2)(2)求系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H Ha a(s)(s) 1)1)查表求查表求 H Ha a(s)(s) 查表求得歸一化傳輸函數(shù)查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 , 得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。cs)(sHas 求濾波器的極點(diǎn)，并由求濾波器的極點(diǎn)，并由s s平面左半平面的平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成極點(diǎn)構(gòu)成 。

25、幅度平方函數(shù)極點(diǎn)為： 將s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)分配給1 2122 0,1,2,21kjNkcsekN)()(10kNkNcasssH)(sHa)(sHa2)2)極點(diǎn)法求系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)法求系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)Ha(s) 例：例：已知已知f fp p=5kHz=5kHz，p p=2dB=2dB，f fs s=12kHz=12kHz， s s=30dB=30dB，設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。，設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。 解：（解：（1 1）確定階次）確定階次N N： 25. 44 . 2lg0242. 0lglg110110lg10/10/psspN 取取N=5N=5，其極點(diǎn)為，其極點(diǎn)為（歸一化極點(diǎn)） 34

26、55016523754,jjjjjsesesesese（2 2）查表求極點(diǎn)：）查表求極點(diǎn)：P1,2=-0.3090P1,2=-0.3090 j0.9511; j0.9511; p3,4=-0.8090 p3,4=-0.8090 j0.5857; p0=-1.000 j0.5857; p0=-1.000所以所以 )()(10kNkNcasssH（3）求）求 c：所以所以s比題目中給出的指標(biāo)小比題目中給出的指標(biāo)小，過(guò)渡帶符合要求。過(guò)渡帶符合要求。sKrad/5.275521)(102N10.1pcpsKradNcss/525.102) 110(211 . 0（4 4）去歸一化，求）去歸一化，求H

27、Ha(S)a(S)將將p=s/p=s/c c代入代入H Ha(P)a(P)，得：，得：50412323234455)(ccccccabsbsbsbsbssH切比雪夫?yàn)V波器引入原因：切比雪夫?yàn)V波器引入原因：Butterworth濾波器頻率特性，無(wú)論在通帶與阻帶都隨頻率單調(diào)變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在阻帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就是會(huì)超過(guò)指標(biāo)的要求，因此并不經(jīng)濟(jì)。更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻的分布在通帶內(nèi)，或均勻分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻分布在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過(guò)選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來(lái)完成。4.2.24.2.2切比雪夫?yàn)V波器設(shè)

28、計(jì)切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)-切比雪夫切比雪夫1 1型型通帶內(nèi)單調(diào)，阻帶內(nèi)等波紋通帶內(nèi)單調(diào)，阻帶內(nèi)等波紋-切比雪夫切比雪夫2 2型型切比雪夫切比雪夫1 1型的幅度平方函數(shù)：型的幅度平方函數(shù)：)(11| )(|222pNaCjH是小于是小于1 1的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表示通的正數(shù)，稱為紋波參數(shù)，是表示通帶內(nèi)紋波大小的一個(gè)參數(shù)，帶內(nèi)紋波大小的一個(gè)參數(shù)， 愈大，紋波也愈大，紋波也愈大。愈大。p p稱為有效通帶截止頻率。稱為有效通帶截止頻率。頻率通常對(duì)頻率通常對(duì)p p歸一化，歸一化， p 在通帶內(nèi)，在1和 之間起伏變化；在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的； 當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，濾

29、波器在 處的幅度響應(yīng)為1；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，濾波器 在 處的幅度響應(yīng)為 。當(dāng) 時(shí)， 2110 0 211p 21()1aHj 4.2.24.2.2切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)基本性質(zhì)基本性質(zhì)的確定的確定 設(shè)允許的通帶紋波為，那么 22max2min()10lg10lg(1)()aaHjHj210101階數(shù)階數(shù)N N 的確定的確定2221()1()assNpHjC1211()()1()ssNppasCch NchHj12111()()asspchHjNch(1)(1)查表得查表得 (2)查表得查表得幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)幅度平方函數(shù)的極點(diǎn) 其中iiisj 21sin221cos2ipipishN

30、ichN 111( )shN 的確定的確定)(sHa)(sHa極點(diǎn)分布極點(diǎn)分布 2N個(gè)等角度間隔（間隔為/N）分布在 為長(zhǎng)半軸， 為短半軸的橢圓 上的點(diǎn)。 schssh2222221iiccshch切比雪夫?yàn)V波器的傳輸函數(shù)切比雪夫?yàn)V波器的傳輸函數(shù) 系數(shù)A由s=0時(shí)濾波器幅度響應(yīng)的值確定:當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)， (0)1aH21(0)1aHNiisssAsH1)()(去歸一化得到濾波器的傳輸函數(shù)去歸一化得到濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟 (1)(1)由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)確定切比雪夫?yàn)V波由給定的設(shè)計(jì)指標(biāo)確定切比雪夫?yàn)V波器的參數(shù)器的參數(shù)、N N和

31、和p p21010112111()()asspchHjNch(2)確定Ha(s) 1)查表求得歸一化傳輸函數(shù)查表求得歸一化傳輸函數(shù) ,令 代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的 ，即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。cs)(sHas切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟 歸一化歸一化ChebyshevChebyshev低通濾波器的傳輸函數(shù)為低通濾波器的傳輸函數(shù)為sQksHaa/0aQKkapspspssQ21nnnassasasaaksH112210.)(切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟 歸一化歸一化ChebyshevChebyshev低通濾波器的傳輸函數(shù)為低通濾波器的傳輸函數(shù)為為了得到單位峰值增益，一般選為了得到單位峰值增益，一般選為偶數(shù)為奇數(shù)nQnQKaa2100切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟 (2)(2)確定確定Ha(s)Ha(s) 2 2）濾波器的極點(diǎn)，并由）濾波器的極點(diǎn)，并由s s平面左半平面平面左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成的極點(diǎn)