第5章正弦穩(wěn)態(tài)分析

1、1 1第5章 正弦穩(wěn)態(tài)分析5.1基爾霍夫定律的相量基爾霍夫定律的相量5.2歐姆定律的相量式、阻抗及導納歐姆定律的相量式、阻抗及導納5.3簡單交流電路的計算簡單交流電路的計算5.4交流電路的功率交流電路的功率5.5 正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸5.6 正弦電路中的諧振正弦電路中的諧振2 25.1 基爾霍夫定律的相量式基爾霍夫定律的相量式在交流電路中，對任何一瞬時而言，基爾霍夫定律都成立，用瞬時值表示為 (5.1)0KVL0KCLui例如對圖5.1中的節(jié)點A而言，應有i1i2+i3=0由于在正弦交流電路中，所有激勵和響應都是同頻率的正弦時間函數(shù)，因而上式可以用相應的相量表示為 Im(?1m

2、ejt)Im(?2mejt)Im(?3mejt)03 3式中?1m、?2m和?3m分別是i1、i2和i3的相量形式，ejt是旋轉(zhuǎn)因子。根據(jù)復數(shù)運算法則可知：各正弦電流旋轉(zhuǎn)相量的虛部的代數(shù)和等于所有旋轉(zhuǎn)相量的代數(shù)和的虛部，于是上式可改寫成：Im(?1m?2m?3m)ejt0上式對任何一瞬時都成立的條件是?1m?2m?3m0顯然這就是節(jié)點電流瞬時值的相量式，其推廣后的一般表示式為 (5.2)0I式(5.2)即為基爾霍夫電流定律的相量式，它表明流入電路中任一節(jié)點電流相量的代數(shù)和恒等于零。4 4同理可得到基爾霍夫電壓定律的相量式：(5.3)0U它表明沿任意回路繞行一周，各部分電壓相量的代數(shù)和恒等于零。

3、圖5.1 節(jié)點電流5 55.2 歐姆定律的相量式、阻抗及導納歐姆定律的相量式、阻抗及導納1. 單參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗單參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗元件C和L上的電壓電流瞬時值關(guān)系式為tiLutuCiLCdddd及可見電容和電感元件不存在類似電阻元件所具有的歐姆定律的關(guān)系。R、L、C用相量式表示的歐姆定律分別為(5.4)(5.5)LLLLCCCCRRXUIIXULXUIIXUCRUIIRURjj:jj:或或或(5.6)6 6上式各分母項都具有阻礙電流通過的作用，它們的單位都是歐姆。為了統(tǒng)一表示上述關(guān)系，我們引入復數(shù)Z，稱為復數(shù)阻抗，簡稱復阻抗。對于不同的電路，復阻抗具有不同的意義。例如，

4、對電阻元件Z=R，對電容元件Z=jXC，對電感元件Z=jXL，于是式(5.4)、式(5.5)和式(5.6)可統(tǒng)一表示為(5.7)ZIUZUI或式(5.7)就是單參數(shù)交流電路歐姆定律的相量表示式。7 72. 多參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗多參數(shù)交流電路的歐姆定律及阻抗實際電路往往由若干不同性質(zhì)的元件組成,下面以圖5.2所示的RLC串聯(lián)電路為例,推導出其歐姆定律的相量式及阻抗表達式。由KVL知u=uR+uL+uC相量式為CLRUUUU把式(5.4)、式(5.5)和式(5.6)代入上式，得到ZIXRIXXRIXIXIRIUCLCL)j()j()j()(j(5.8)8 8圖5.2 RLC串聯(lián)電路(a)

5、 電路圖；(b) 相量模型圖9 9上式中XRZXXXCLj(5.9)其中感抗XL和容抗XC之差用符號X表示，稱為電抗，它視XL和XC的大小可正可負，也可為零。Z稱為復阻抗，它的實部是電阻R，虛部是電抗X，式(5.9)是電抗和復阻抗的一般表示式。有時需要把復阻抗寫成指數(shù)形式:Z=R+jX=zejj (5.10)上式中(5.11)RXXRzarctan22j1010由式(5.11)知R、X及Z三者之間的關(guān)系可用直角三角形表示，如圖5.3所示。圖5.3 阻抗三角形1111由式(5.11)知R、X及Z三者之間的關(guān)系可用直角三角形表示，如圖5.3所示。圖5.3所示的三角形稱為阻抗三角形。式(5.11)中

6、小寫字母z表示復阻抗的輻模，簡稱阻抗；j是復阻抗的輻角，或稱為阻抗角。 若電壓相量是，電流相量是，則復阻抗uUUjjeiIIjjejjjj)j(eezIUIUZiu(5.12)可見復阻抗的輻模z還可表示為電壓和電流的有效值之比，而輻角j是電壓與電流的相位差角，但它表明的是總電壓超前于電流的相位角。1212當電抗值不同時，電路呈現(xiàn)出以下三種不同的特征：當X0時，表明感抗大于容抗，電路呈現(xiàn)電感性，j0，此時電壓相位超前于電流；當X0時，表明容抗大于感抗，電路呈現(xiàn)電容性，j0，此時電流相位超前于電壓；當 X=0時，表明感抗和容抗的作用相等，即XL=XC，電壓與電流同相，j=0，此時電路如同純電阻電路

7、一樣，這樣的情況稱為諧振，有關(guān)諧振問題將在后面討論。1313【例【例5.1】 電路如圖5.2(b)所示，已知其中R=4 ，XL=3 ，XC=6 ，電源電壓 U =1000V，試求電路的電流相量及各元件上的電壓，并畫出相量圖。解解 復阻抗Z=R+j(XLXC)=4+j(36)=4j3=536.9電流 A9 .36209 .3950100ZUI各元件上的分電壓?R2036.948036.9V j?XL2036.939060126.9Vj?XC2036.969012053.1VRULUCU1414各元件的相量和為8036.960126.912053.1(64j48)(36j48)(72j96)100

8、0V以上各量可用簡化相量圖表示，如圖5.4所示。在畫相量圖時，選初相位為零的相量為參考相量比較簡便。CLRUUUU1515圖5.4 例5.1相量圖(a) 電壓電流相量關(guān)系；(b) 各電壓相量；(c) 阻抗三角形16163. 導納導納在交流串聯(lián)電路中應用阻抗計算比較方便，在并聯(lián)電路中應用阻抗的倒數(shù)導納計算比較方便。下面根據(jù)圖5.5所示的RLC并聯(lián)電路引出導納的概念及關(guān)系式。圖5.5 RLC并聯(lián)電路1717設(shè)外加正弦電壓為u=Um sin(t+ju)若各支路電流分別為iR、iL和iC，則總電流i為i=iR+iL+iC上式對應的相量式為CCLLRXUIXUIRUIj,j,CLRIIII因為所以181

9、8YUIUYUBGUBBGUCLRXUXURUICLCL)j()j(1j1jj(5.14)(5.15)即式(5.15)是歐姆定律的又一種相量表示式。式(5.14)中幾個符號的名稱和關(guān)系分列于下，其單位都是西門子(S)。1919電導 電感電納電容電納電納復導納復導納Y不是相量，所以符號上不加圓點，只用大寫字母表示。BGYCLBBBCXBLXBRGCLCCLLj1111112020復導納的指數(shù)形式表示為YGjByejj (5.16)(5.17)式中 GBBGyarctan22j由式(5.17)可知G、B和Y三個量的關(guān)系也可用直角三角形表示，稱為導納三角形，如圖5.6所示。圖中小寫字母y是復導納Y的

10、幅模，簡稱導納，j是復導納的幅角或稱導納角。2121圖5.6 導納三角形2222復阻抗和復導納是電路參數(shù)的兩種不同的表達形式。就一段無源支路而言，既可以用復阻抗表示，也可以用復導納表示。一段無源支路在同樣電壓下取得相同電流時，復導納與復阻抗互為倒數(shù)，即有 (5.18)ZY1從式(5.18)可以看出 j= j (5.19)即阻抗角和導納角等值異號。還要注意，雖然Z與Y互為倒數(shù)，但是在一般情況下R和G以及B和X并不互為倒數(shù)，只有在特殊情況下，例如=0時G=1/R, R=0時B=1/X。應用阻抗與導納的等效變換，可對串聯(lián)和并聯(lián)兩種電路進行等效變換，從而簡化電路。23235.3 簡單交流電路的計算簡單

11、交流電路的計算在正弦交流電路中，可以用阻抗(或?qū)Ъ{)代表電路的基本元件，并仍用矩形符號表示。阻抗的串聯(lián)、并聯(lián)以及串并聯(lián)電路都屬于簡單電路，下面分別討論它們的分析方法。1. 阻抗串聯(lián)電路阻抗串聯(lián)電路如圖5.7所示，有n個復阻抗串聯(lián)，若每個阻抗元件的參數(shù)是： Z=R1+jX1 Z=R2+jX2 Z=Rn+jXn2424圖5.7 阻抗串聯(lián)電路2525每個阻抗元件都應服從歐姆定律的相量形式：nnZIUZIUZIU2211ZIXRIXXXRRRIZZZIUUUUnnnn)j()j()(21212121由KVL得到總電壓：2626從式(5.20)知總電阻、總電抗和總阻抗分別為 nkknnkknnkknZZ

12、ZZZZXXXXZRRRR121121121(5.21)串聯(lián)電路中各元件上的電壓分別是：(5.22)nnnnnnZZZZUZIUZZZZUZIUZZZZUZIU2122122121112727【例【例5.2】 電路如圖5.8所示，已知電流相量? =50 A, 電容電壓UC=25 V，阻抗Z1=(7.07+j12.07)。求電路的總阻抗Z與端電壓。解解 電路中的容抗為 U5525IUXCC電路中的總阻抗為 Z=jXC+Z1=j5+7.07+j12.07=7.07+j7.07=1045電壓相量為 Z?104550V5045VU2828圖5.8 例5.2電路圖 29292. 阻抗并聯(lián)電路阻抗并聯(lián)電路

13、若n個阻抗并聯(lián)，如圖5.9所示，每個阻抗的參數(shù)分別是：Z1R1jX1 Z2R2jX2 ZnRnjXn每個阻抗元件上的電壓電流關(guān)系都應服從歐姆定律，即nnZUIZUIZUI22113030圖5.9 阻抗并聯(lián)電路3131由KCL得到 UYUYYYUZZZZUZUZUIIIInnnn)()111(21212121nkknYYYYY121(5.23)式中的Y為并聯(lián)電路總的復導納： (5.24)當只有兩個復阻抗并聯(lián)時，(5.25)21212121212111ZZZZZZZZZZZYYY32323. 阻抗串并聯(lián)電路阻抗串并聯(lián)電路對于由阻抗組成的串并聯(lián)電路，計算過程往往比較復雜，先要把并聯(lián)支路化為等效串聯(lián)支

14、路然后計算，其計算方法與直流電路電阻串并聯(lián)的計算方法相似，有時利用復數(shù)的基本性質(zhì)也可在一定程度上簡化求解過程。下面用例題說明。【例【例5.3】 如圖5.10(a)所示電路中, L=20 mH, C=10F, R1=50 ，R2=30 ， =1500V，=1000 rad/s。求各支路電流并畫出相量圖。U3333圖 5.10 例5.3電路圖 (a) 電路； (b) 相量圖3434解解 容抗和感抗為10010101000116CXC20j40100j50)100j(50j)j(111CCXRXRZXLL10002010320 并聯(lián)支路阻抗 串聯(lián)支路阻抗 Z2R2jL30j20 總阻抗 Z=Z1+Z

15、2=(30+j20)+(40j20)=70 3535各支路電流為 A014. 2700150ZUIA4 .6396. 0014. 2100j5050jA6 .2692. 1014. 2100j50100jjj11211IXRRIIXRXICCC相量圖如圖5.10(b)所示。36364. 相量分析法的一般解題步驟相量分析法的一般解題步驟應用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的一般步驟為：(1) 將已知電壓、電流寫成相應的相量形式。為了運算或畫圖方便起見，一般選取初相為零的相量為參考相量；若各相量的初相均不為零，可根據(jù)題意任選一相量為參考相量。(2) 把電路參數(shù)寫成相應的復阻抗或復導納形式，并畫出它們的相量模

16、型電路圖。一般對串聯(lián)電路或僅含有兩條支路的并聯(lián)電路，用復阻抗形式表示比較簡便，而多支路并聯(lián)電路以復導納形式表示比較簡便。3737(3) 根據(jù)相量模型電路圖，應用基爾霍夫定律的相量式，列出相應的相量方程進行相量運算。在運算中，若能畫出它們的相量圖，可以幫助我們了解各相量之間的幾何關(guān)系，從而簡化計算過程。(4) 將求解出的相量式變換成相應的正弦函數(shù)的瞬時值表達式。(5) 復雜交流網(wǎng)絡(luò)的分析求解需要用第2章所講的定理和方法，例如支路電流法、網(wǎng)孔電流法、疊加原理、電壓源與電流源的等效變換以及戴維南定理，等等。38385.4 交流電路的功率交流電路的功率5.4.1 基本元件的功率基本元件的功率1. 電阻

17、元件的功率電阻元件的功率設(shè)電阻元件R上的端電壓u為u=Um sin(t+j)則流過R的電流為i=Im sin(t+j) 那么電阻R上的瞬時功率p為p=ui=UmIm sin2(t+j) =UI1cos2(t+j) =UIUI cos2(t+j)3939由上式可以看出，瞬時功率由兩部分組成，一部分為有效值U和I的乘積，它是恒定分量；另一部分為UI cos2(t+ j)，它以電壓(或電流)的二倍角頻率振蕩，功率變化的波形如圖5.11所示。由于u和i同相，因而瞬時功率恒為正，這表明電阻是個耗能元件。用瞬時功率在一個周期的平均值衡量電阻元件消耗功率的大小，稱為平均功率或有功功率，單位是瓦(W)或千瓦(

18、kW)，用大寫字母P表示，即RURIUIPUIttUIUITtpTPTT2200d)(2cos1d1j或(5.27)(5.26)4040圖5.11 電阻元件的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖41412. 電感元件的功率電感元件的功率設(shè)電感元件中的電流和端電壓分別為i=Im sint2sinmtUutUItIUttIUuipmsin2sin2212sinsinmmm則電感元件的瞬時功率為其波形如圖5.12(b)所示。4242圖5.12 電感元件的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖 4343電感元件的平均功率0d10TtpTP上式表明電感元件不是耗能元件，而是儲能元件，且它和電源有能量的

19、交換。為了衡量能量交換的規(guī)模，取其瞬時功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位是乏(Var)或千乏(kVar)， 用字母QL表示，即QL=ULI=I2XL (5.29) 必須說明，無功功率并非無用功率，許多感性負載(如電動機)就是靠與電源的能量交換進行工作的，而無功功率正是用于說明這種能量交換的規(guī)模的大小。4444從第3章式(3.12)知電感的儲能為tLILItILLi(t)WL2cos2121)sin2(212122222av21LIWL平均儲能為 (5.30)45453. 電容元件的功率電容元件的功率電容元件的分析過程和電感元件相同。設(shè)電容元件中的電流和端電壓分別為uC=UCm sinttU

20、ItIUttIUuiPCsin2sin221 2sinsinmCmmm2sinmtIiC則電容元件的瞬時功率為其波形如圖5.13(b)所示。4646圖5.13 電容元件的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖4747電容元件的平均功率(5.31)0d10TtpTP上式說明電容元件不是耗能元件，而是儲能元件，它和電源也有能量交換。為了衡量能量交換的規(guī)模，取其瞬時功率的最大值來表示，稱為無功功率，單位也是乏(Var), 用字母QC表示, 即QC=UCI=I2XC (5.32) 由第3章式(3.6)知電容的儲能為tCUCUtUCCu(t)WC2cos2121)sin2(212122222av21CU

21、WC平均儲能為(5.33)48485.4.2 二端網(wǎng)絡(luò)的功率和功率因數(shù)二端網(wǎng)絡(luò)的功率和功率因數(shù)圖5.14(a)為一線性無源二端網(wǎng)絡(luò)的電路模型。 圖5.14 無源二端網(wǎng)絡(luò)的功率(a) 電路模型； (b) 波形圖4949為討論問題簡便起見，設(shè)i=Im sint u=Um sin(t+j) 二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為p=ui=UmIm sint sin(t+j) =UIcosj (1cos2t)+sinj (sin2t) =UI cosj (1cos2t)+UI sinj (sin2t) (5.34)式(5.34)表明二端網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率為兩個分量的疊加，第一項始終為正，它表示二端網(wǎng)絡(luò)從電源吸取的功率(其實

22、就是電路中所有電阻R上消耗的功率之和)，其平均值為(5.35)jjcosd)2cos1 (cos10UIttUITPPTR5050上式是計算正弦交流電路有功功率的一般公式。cosj稱為功率因數(shù)，j角稱為功率因數(shù)角，其大小由電路的參數(shù)、頻率和結(jié)構(gòu)決定。對于純電阻電路，j=0，cosj=1，P=UI ；對于純電容或純電感電路，j=/2，cosj=0，P=0；一般情況下，0j，cosj1，PUI。式(5.34)的第二項表示二端網(wǎng)絡(luò)中的電抗元件與電源之間能量交換的速率，其振幅為UI sinj，它表示二端網(wǎng)絡(luò)與外電路能量交換的規(guī)模，定義其為無功功率，用Q表示: Q=UI sinj (5.36)電路中總的

23、無功功率等于各電感元件和各電容元件的無功功率的代數(shù)和，即Q=QL+QC=I2XLI2XC=I2(XLXC)=I2X (5.37)5151在交流電路中把電壓有效值與電流有效值的乘積UI稱為視在功率或設(shè)備容量，用字母S表示，單位是伏安(VA)或千伏安(kVA)，即 S=UI (5.38) 二端網(wǎng)絡(luò)的有功功率P與視在功率S的關(guān)系為P=UI cosj=S cosj (5.39)cosj=P/S (5.40) 一般交流用電設(shè)備，如發(fā)電機、變壓器等都是按照安全運行規(guī)定的額定電壓UN和額定電流IN運行的，因此我們把UN和IN的乘積稱為額定視在功率，用SN表示，即SN=UNIN (5.41) 5252圖5.1

24、5 功率三角形5353SN表示電源設(shè)備可能提供的最大有功功率，該功率也稱為額定容量，簡稱容量。有功功率P、無功功率Q、視在功率S之間的關(guān)系可用圖5.15所示的三角形表示，稱為功率三角形。從功率三角形可看出： (5.42)PQQPSQPSSUIQSUIParctansinsincoscos22222jjjjj54545.4.3 復功率復功率若把功率三角形放在復平面里，用復數(shù)來表示的功率稱為復功率，用表示。S*)j(j)j(jeeee)sinj(cosjIUIUUIUIUIQPSiuiu jjjjjjj(5.43)式中?*Iej(ji)，它是Iej(ji)的共軛復數(shù)。上式把視在功率、有功功率、無功

25、功率和功率因數(shù)統(tǒng)一表示在一個式子里，使得功率的計算更加簡便。5555【例【例5.4】電路如圖5.16所示，電源頻率為50 Hz，電壓為220 V。求:(1) 電路的功率因數(shù)cosj，電路消耗的有功功率P，無功功率Q；(2) 在電路a、b端并入一個80 F的電容后，電路的功率因數(shù)。解解 (1) 電路的阻抗為4522020j2020j164Z功率因數(shù)為cosj=cos45=0.7075656圖5.16 例5.4電路圖5757設(shè)電源電壓相量=2200 V，則電路的電流為A4578. 7452200220ZUIU有功功率P為P=UI cosj=2207.780.707=1210 W無功功率Q為Q=UI

26、 sinj=2207.780.707=1210 Var(2) 并入一個80 F的電容后，電容的阻抗為40j10805014. 321j21j1j6fCCZC5858電路的總阻抗變?yōu)? .1189.438 . 8j4340j20j16)40j)(20j16(4Z功率因數(shù)cosj為 cosj=cos11.3=0.98 通過計算我們發(fā)現(xiàn)，在感性負載兩端并聯(lián)電容后，可以提高電路的功率因數(shù)。這是因為電容的無功功率和電感的無功功率在同一時間內(nèi)總是相反的, 電感的無功功率可以通過電容供給, 而不再需要從電源獲取。在電網(wǎng)運行中，功率因數(shù)反映了電源輸出的視在功率被有效利用的程度，故功率因數(shù)的大小對節(jié)約用電具有重

27、要的經(jīng)濟意義，在電感負載二端并聯(lián)電容來提高功率因數(shù)的方法，稱為無功補償，在供電系統(tǒng)中有著廣泛的應用。59595.5 正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸正弦穩(wěn)態(tài)的功率傳輸在交流電路中，怎樣使負載獲得最大限度的有功功率，這對電子技術(shù)和測量線路都很重要?，F(xiàn)討論負載從電源獲得最大功率的條件。如圖5.17所示電路，設(shè)負載ZL=R+jX，電源為=U0 0，電源的內(nèi)阻抗為Z0=r0+jX0。由電路圖知0U)j()(000L00XXrRUZZUI6060圖5.17 電路模型圖6161電流的有效值為 20200)()(XXrRUIRXXrRURIP2020202)()(負載獲得的功率為由上式可知，若r0不變，僅改變X，則為了獲

28、得最大功率，應使X+X0=0即X=X0這時電路變?yōu)榧冸娮桦娐?，其功率?262在X=X0的條件下，改變R使負載獲得最大傳輸功率的條件應該是RrRUP202)(0ddRP從而可得出 R=r06363【例【例5.5】 電路如圖5.18(a)所示，若ZL中的RL和XL均可改變，問ZL等于多少時，負載才能獲得最大功率，最大功率為多少？圖5.18 例5.5電路圖6464解解 首先可求出ZL端口的戴維南等效電路，如圖5.18(b)所示。等效內(nèi)阻抗為4 . 0j2 . 1j2222j22)2j2(20）（ZV56.2694. 82j222020ocU等效電源電壓為所以，ZL獲得最大功率的條件是ZL=Z*0=1.2j0.4 ZL獲得的最大功率為 6565W65.162 . 1494. 84202ocmaxRUP66665.