大學物理-2 質(zhì)點動力學

1、 牛頓在牛頓在16871687年發(fā)表了具有里程碑意義的年發(fā)表了具有里程碑意義的自然哲學的數(shù)學自然哲學的數(shù)學原理原理。牛頓的主要功績是把被考察物體的周圍環(huán)境對該物體。牛頓的主要功績是把被考察物體的周圍環(huán)境對該物體的作用歸結(jié)為力，而該物體則在力的作用下按一定的規(guī)律運動的作用歸結(jié)為力，而該物體則在力的作用下按一定的規(guī)律運動。即。即環(huán)環(huán) 境境物物 體體力力力的定律力的定律運動運動運動定律運動定律 由此可見，動力學的根本任務(wù)就是回答在周圍其他物體由此可見，動力學的根本任務(wù)就是回答在周圍其他物體的作用下，被考察的物體如何運動。的作用下，被考察的物體如何運動。 在牛頓以后，拉格朗日和哈密頓等人以能量和作用量

2、為基在牛頓以后，拉格朗日和哈密頓等人以能量和作用量為基礎(chǔ)，從另一途徑建立了解決動力學問題的方法，這就是分析力礎(chǔ)，從另一途徑建立了解決動力學問題的方法，這就是分析力學。分析力學和牛頓力學是等效的。學。分析力學和牛頓力學是等效的。笫二章 牛頓運動定律 笫一定律是大量觀察和實驗事實的抽象與概括笫一定律是大量觀察和實驗事實的抽象與概括 第一定律定性提出了第一定律定性提出了“力力”和和“慣性慣性”兩個重要概念兩個重要概念 力是使物體改變靜止或勻速直線運動狀態(tài)的一種作用力是使物體改變靜止或勻速直線運動狀態(tài)的一種作用 慣性是每個物體按其一定的量而存在的一種抵抗能力慣性是每個物體按其一定的量而存在的一種抵抗能

3、力 第一定律定義了一類重要的參考系慣性系第一定律定義了一類重要的參考系慣性系 任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，除非有任何物體都要保持其靜止或勻速直線運動的狀態(tài)，除非有外力作用迫使它改變這種運動狀態(tài)為止外力作用迫使它改變這種運動狀態(tài)為止. . 愛因斯坦：愛因斯坦：伽利略的發(fā)現(xiàn)以及他所用的科學推理方法是人類思伽利略的發(fā)現(xiàn)以及他所用的科學推理方法是人類思想史上最偉大的成就之一，而且標志著物理學的真正開端想史上最偉大的成就之一，而且標志著物理學的真正開端. .牛頓第一定律牛頓第一定律1 1 牛頓運動定律牛頓運動定律牛頓第二定律牛頓第二定律amdtvdmF 運動的改變與所加的外力成正比，并發(fā)

4、生在所加外力的運動的改變與所加的外力成正比，并發(fā)生在所加外力的那個直線方向。（動量的變化率與外力成正比）那個直線方向。（動量的變化率與外力成正比）tdvmdF)(即即: : 力的量度：任選一物體力的量度：任選一物體, ,規(guī)定規(guī)定其加速度與受力成正比。其加速度與受力成正比。F標記彈簧長度制成測力計。標記彈簧長度制成測力計。實驗實驗表明對任意物體，其加速度與受力成正表明對任意物體，其加速度與受力成正: :Fa如果如果 m = const , 慣性的量度慣性的量度 - - 慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量1aF12aF2令令 m1=1 質(zhì)量單位，質(zhì)量單位，m2 的質(zhì)量便可確定的質(zhì)量便可確定:實驗表明，這樣定義的質(zhì)量

5、具有可加性實驗表明，這樣定義的質(zhì)量具有可加性. .212aam 2121mmaa為簡單與合理起見，可選擇為簡單與合理起見，可選擇 . .于是就有：于是就有：am1)( 物體產(chǎn)生加速度的大小不僅與外力物體產(chǎn)生加速度的大小不僅與外力F 有關(guān)有關(guān), ,同時與自同時與自身的某種屬性有關(guān)身的某種屬性有關(guān). . 用一個標量函數(shù)用一個標量函數(shù) m 表示該屬性表示該屬性, , 則有則有 . .由于由于 和和 的比值與的比值與 F 無關(guān)，這就要求加速無關(guān)，這就要求加速度的形式必須是：度的形式必須是：),(mFfa )()(mFa1a2a)()(2121mmaa 用慣性大小定義的質(zhì)量稱為慣性質(zhì)量用慣性大小定義的質(zhì)

6、量稱為慣性質(zhì)量, ,單位稱千克（單位稱千克（kgkg）. .千克的標準是保存在巴黎國際計量局中的一個鉑銥圓柱體。千克的標準是保存在巴黎國際計量局中的一個鉑銥圓柱體。牛頓第三定律牛頓第三定律 兩個物體之間的作用和反作用力兩個物體之間的作用和反作用力, ,沿同一直線沿同一直線, ,大小相等大小相等, ,方方向相反向相反, ,分別作用在兩個物體上。分別作用在兩個物體上。mFa質(zhì)量為質(zhì)量為1 1千克的物體千克的物體, ,產(chǎn)生產(chǎn)生 1 1m/s2 的加速度的加速度, ,所受的力為所受的力為1 1牛頓。牛頓。amF 同時發(fā)生同時發(fā)生 性質(zhì)相同性質(zhì)相同 分別作用分別作用 效果不同效果不同是關(guān)于力的性質(zhì)的定律

7、而非動力學本身的定律。是關(guān)于力的性質(zhì)的定律而非動力學本身的定律。amkF2112FF 在目前的宇宙中在目前的宇宙中, ,存在著四種基本的相互作用存在著四種基本的相互作用. .所有的運動所有的運動現(xiàn)象歸根到底都是受這四種基本作用的支配現(xiàn)象歸根到底都是受這四種基本作用的支配, ,各式各樣的力只各式各樣的力只不過是這四種基本作用在不同情況下的不同表現(xiàn)不過是這四種基本作用在不同情況下的不同表現(xiàn). . 2 2 力的分類與常見的力力的分類與常見的力相對強度相對強度表征核子表征核子 衰變的力衰變的力質(zhì)子和中子結(jié)質(zhì)子和中子結(jié)合形成原子核合形成原子核電子和原子核電子和原子核結(jié)合形成原子結(jié)合形成原子恒星結(jié)合在一恒

8、星結(jié)合在一起形成銀河系起形成銀河系作用舉例作用舉例長程力長程力長程力長程力適用范圍適用范圍弱弱 力力強強 力力電電 磁磁 力力萬有引力萬有引力1510161021051039101重力（萬有引力）重力（萬有引力） 彈性力（電磁力）彈性力（電磁力） 摩擦力（電磁力）摩擦力（電磁力）軌道定律軌道定律: 每個行星都各在以太陽為焦點的一個橢圓軌道上運動每個行星都各在以太陽為焦點的一個橢圓軌道上運動.面積定律面積定律: 由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積.周期定律周期定律: 橢圓軌道半長軸橢圓軌道半長軸 a 的立方與周期的立方與周期 T 的平方之

9、比為常量的平方之比為常量. 1. 萬有引力萬有引力設(shè)行星作勻速圓周運動設(shè)行星作勻速圓周運動, ,由開普勒定律和牛頓運動定律論證萬有引力定律由開普勒定律和牛頓運動定律論證萬有引力定律. .由開普勒第三定律由開普勒第三定律 302RCT0214CC 僅與施力者（太陽）性質(zhì)有關(guān)僅與施力者（太陽）性質(zhì)有關(guān). 213024 RCRRC）（RRa2行星行星向心加速向心加速22T對對月球月球繞地心運動繞地心運動, , 有有22RCa，C2 僅與施力者僅與施力者（地球地球）性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)有關(guān). 2RCF 設(shè)設(shè) a 是由相互作用力引起并是由相互作用力引起并與該力成正比，則有與該力成正比，則有 由于力是相互作用的由

10、于力是相互作用的, ,所以所以 C 應與兩物體性質(zhì)有關(guān)應與兩物體性質(zhì)有關(guān). .用用m1和和m2 2分別分別表示各物體產(chǎn)生引力作用的性質(zhì)表示各物體產(chǎn)生引力作用的性質(zhì), , 稱為引力質(zhì)量稱為引力質(zhì)量. .221 rmmF 221 rmmGF 引入比例常數(shù)引入比例常數(shù)G 所以有所以有引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量 引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量的物理意義并不相同，二者有何關(guān)聯(lián)？引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量的物理意義并不相同，二者有何關(guān)聯(lián)？ 由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有: : 上式表明，任何物體的上式表明，任何物體的慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量 成正比。成正比。選適當選適當 G 值可使值可使 慣引mm即慣

11、性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價即慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價. gmRmGm慣引地2gRGmmm2地引慣引力質(zhì)量為引力質(zhì)量為 的物體受地球的引力為的物體受地球的引力為 2RmGmF引地引引m更精確的實驗證明是厄缶實驗及以后的改進實驗更精確的實驗證明是厄缶實驗及以后的改進實驗 。關(guān)鍵是同一地點各種物體的重力加速度是否相等？關(guān)鍵是同一地點各種物體的重力加速度是否相等？牛頓單擺實驗牛頓單擺實驗 310慣引慣慣mmmmmddRRmdSdmsin4220ldmGmdF cossin4cos20lddmGmdFFdrllRrrllrR2coscos2222222.dd0mFdlrRrRldlddrRldlrRRrlsin

12、sin22cos2222ddllRrRrmGmddlllRrRrmGmdrllRrrRldlmGmFd2222022222022201882420222202022220)1 (8)1 (8rmGmdllRrdRrmGmddllRrRrmGmFRrRrR40m若在球殼的內(nèi)部若在球殼的內(nèi)部0)1 (82222020rRrRdllRrdRrmGmF例：例：.mMlL 若考慮地球的自轉(zhuǎn)，重力是若考慮地球的自轉(zhuǎn)，重力是地球?qū)ζ浔砻嫖矬w的萬有引力與地球?qū)ζ浔砻嫖矬w的萬有引力與慣性離心力慣性離心力的合力，也稱為表觀的合力，也稱為表觀重力。重力。2.2.重力重力 若不計地球的自轉(zhuǎn)，重力是若不計地球的自轉(zhuǎn)，重

13、力是地球?qū)ζ浔砻嫖矬w的萬有引力。地球?qū)ζ浔砻嫖矬w的萬有引力。.2mMmgGR2GMgR. 物體的加速度與其質(zhì)量無關(guān)。物體的加速度與其質(zhì)量無關(guān)。3.3.彈性力彈性力彈性力包括彈簧力、正壓力、繩的張力等。彈性力包括彈簧力、正壓力、繩的張力等。kxf胡克定律胡克定律)(rbraF分子力的經(jīng)驗公式分子力的經(jīng)驗公式彈性力均起源于分子間的相互作用。彈性力均起源于分子間的相互作用。 當物體發(fā)生形變時當物體發(fā)生形變時, , 都有恢復原狀的趨勢。在恢復原狀的都有恢復原狀的趨勢。在恢復原狀的過程中施力于使之發(fā)生形變的物體，稱之為彈性力。過程中施力于使之發(fā)生形變的物體，稱之為彈性力。NNNN斥力斥力引力引力Fro4

14、.4.摩擦力摩擦力（分子力是產(chǎn)生摩擦的根本原因分子力是產(chǎn)生摩擦的根本原因）例：例：判斷摩擦力的方向判斷摩擦力的方向 滑動摩擦力：滑動摩擦力：Nf方向：與相對運動的方向相反方向：與相對運動的方向相反 靜摩擦力：靜摩擦力：max0ff 方向：與相對滑動趨勢的方向相反方向：與相對滑動趨勢的方向相反NfmaxF 當兩物體的接觸面有相對滑動或相對滑動的趨勢，當兩物體的接觸面有相對滑動或相對滑動的趨勢，產(chǎn)生一種阻礙相對滑動或相對滑動趨勢的力，稱為摩擦產(chǎn)生一種阻礙相對滑動或相對滑動趨勢的力，稱為摩擦力。前者稱為滑動摩擦力，后者稱為靜摩擦力。力。前者稱為滑動摩擦力，后者稱為靜摩擦力。 任何物理量都必須有單位，

15、但并不需要對所有的物理量都任何物理量都必須有單位，但并不需要對所有的物理量都去規(guī)定單位。因為去規(guī)定單位。因為物物理量之間通過定義或物理規(guī)律產(chǎn)生了聯(lián)系理量之間通過定義或物理規(guī)律產(chǎn)生了聯(lián)系,我們只要規(guī)定少數(shù)幾個物理量的單位，其他物理量的單位即可我們只要規(guī)定少數(shù)幾個物理量的單位，其他物理量的單位即可由它們導出。這些被選定并規(guī)定單位的物理量叫由它們導出。這些被選定并規(guī)定單位的物理量叫基本量基本量，基本，基本量的單位叫量的單位叫基本單位基本單位，其余的物理量就叫，其余的物理量就叫導出量導出量，它們的單位，它們的單位就叫就叫導出單位導出單位。由于選定的基本量及其單位不同，就形成了不。由于選定的基本量及其單

16、位不同，就形成了不同的單位制。在國際單位制中（同的單位制。在國際單位制中（SI），基本量是），基本量是長度長度、時間時間、質(zhì)量質(zhì)量、電流、發(fā)光強度、溫度和物質(zhì)的量。、電流、發(fā)光強度、溫度和物質(zhì)的量。 1 1m：光在真空中光在真空中(1/29792458)(1/29792458)s時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑的長度時間間隔內(nèi)所經(jīng)路徑的長度. .1 1 s：銫銫-133-133原子基態(tài)的兩個超精細能級間躍遷相對應的輻射原子基態(tài)的兩個超精細能級間躍遷相對應的輻射 的的 9 9 912912 631631 770770個周期的持續(xù)時間個周期的持續(xù)時間. .3 3 力學單位制與量綱力學單位制與量綱1 1kg：千克

17、原器的質(zhì)量千克原器的質(zhì)量. .( ( 用鉑銥合金制造的一個金屬圓柱體，保存在巴黎度量衡局中用鉑銥合金制造的一個金屬圓柱體，保存在巴黎度量衡局中) ) 基本物理量選定以后基本物理量選定以后, 導出量的單位就可由基本量的單位導出量的單位就可由基本量的單位按一定的規(guī)則生成按一定的規(guī)則生成. 在國際單位制中，用在國際單位制中，用 L 、 M 、 T 分別表示分別表示長度長度、質(zhì)量質(zhì)量、時間時間. 對任何力學量對任何力學量 A，就其單位量度而言，總可就其單位量度而言，總可以寫成以寫成 L、M、T 的一定冪次的組合的一定冪次的組合:rqpTMLAAdim 只有量綱相同的物理量才能相加，相減和相等，這一法則

18、只有量綱相同的物理量才能相加，相減和相等，這一法則叫量綱法則。量綱法則是量綱分析的基礎(chǔ)。量綱分析是一種有叫量綱法則。量綱法則是量綱分析的基礎(chǔ)。量綱分析是一種有用的方法，它的主要用處有：用的方法，它的主要用處有： 在基本量相同的單位制之間進行單位換算在基本量相同的單位制之間進行單位換算驗證公式驗證公式為推導某些復雜公式提供線索或直接推導公式為推導某些復雜公式提供線索或直接推導公式上式稱為力學量上式稱為力學量 A 的量綱表達式，的量綱表達式， 為量綱指數(shù)。為量綱指數(shù)。p、q、r速度的量綱速度的量綱 1TLtsv力的量綱力的量綱 2TMLamF例：例： 單位換算單位換算 用量綱法則探求規(guī)律用量綱法則

19、探求規(guī)律lCgTLTLLTT22)(lgcT 2/12/1012設(shè)設(shè)2 MLTF牛頓秒米千克5223101/10101達因=1克1厘米/秒2 檢驗公式檢驗公式例：例：單擺周期公式單擺周期公式asv2 221TLsaLTv【基本問題】【基本問題】 己知受力己知受力, ,求運動。求運動。 己知運動己知運動, ,求受力。求受力。 選擇參照系，確定研究對象。選擇參照系，確定研究對象。 隔離物體，受力分析，畫受力圖。隔離物體，受力分析，畫受力圖。 選擇坐標系，列分量方程式（包括約束方程）。選擇坐標系，列分量方程式（包括約束方程）。 求解方程，討論結(jié)果。求解方程，討論結(jié)果。 【解題步驟】【解題步驟】質(zhì)點動

20、力學問題舉例質(zhì)點動力學問題舉例例：例：把質(zhì)量為把質(zhì)量為m1和和m2的兩物體疊放在光滑的平面上的兩物體疊放在光滑的平面上， m1和和m2 之間的摩擦系數(shù)為之間的摩擦系數(shù)為 ，欲用力把，欲用力把m2從從m1下面抽出，該作用力下面抽出，該作用力的最小值是多大？的最小值是多大？解：解：以平面為參照，建立坐標系以平面為參照，建立坐標系.受力分析，畫受力圖受力分析，畫受力圖m1選選m1和和m2為研究對象為研究對象列方程：列方程：22amfF11amf 0212gmNN011gmN相對滑動相對滑動121,aaNf聯(lián)立解得聯(lián)立解得gmmF)(21m2m1m2FxylFL例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為M的木板靜止在桌面上

21、，左端與桌面對齊，桌面長的木板靜止在桌面上，左端與桌面對齊，桌面長 L。木板上有一質(zhì)量為木板上有一質(zhì)量為m的花瓶，與桌面左端距離為的花瓶，與桌面左端距離為l 。 若用力若用力 將木板將木板從花瓶下抽出而不使花瓶落地，則從花瓶下抽出而不使花瓶落地，則F至少為多大？摩擦系數(shù)均為至少為多大？摩擦系數(shù)均為 。解：解：以桌面為參照，設(shè)花瓶在木板上運動時間為以桌面為參照，設(shè)花瓶在木板上運動時間為 t t?；ㄆ吭谀景迳线\動時：花瓶在木板上運動時：花瓶花瓶木板木板gamamg112)(MagMmmgF花瓶在桌面上運動時：花瓶在桌面上運動時：花瓶花瓶木板木板gaammg112aMMgF因花瓶的速度具有先加后減的

22、對稱性，因花瓶的速度具有先加后減的對稱性，要求花瓶移動到離桌面右端一半距離時脫離木板要求花瓶移動到離桌面右端一半距離時脫離木板此時木板相對桌面的位移：此時木板相對桌面的位移：把把 和和 代入上兩式，整理可得：代入上兩式，整理可得：1a2a)(2mgFlLlM212121)(talL2121)()(21212221lLlLlta212121分析：花瓶必須在木板離開桌面之前離開木板分析：花瓶必須在木板離開桌面之前離開木板質(zhì)點運動時質(zhì)點運動時, 往往受到預先給定的限制往往受到預先給定的限制, 稱之為約束。稱之為約束。 被約束物體與約束物體之間存在相互作用力，我們把作用被約束物體與約束物體之間存在相互

23、作用力，我們把作用在被約束物體上的力稱為在被約束物體上的力稱為約束力約束力。約束力的大小和方向一般都。約束力的大小和方向一般都是未知的，它既與約束條件有關(guān)，又與物體的運動情況有關(guān)，是未知的，它既與約束條件有關(guān)，又與物體的運動情況有關(guān)，必須通過求解運動微分方程才能確定。與約束力不同，我們把必須通過求解運動微分方程才能確定。與約束力不同，我們把那些大小和方向完全確定而與約束無關(guān)的力稱為那些大小和方向完全確定而與約束無關(guān)的力稱為主動力主動力。 約束運動的特點約束運動的特點： 獨立坐標的個數(shù)減少了獨立坐標的個數(shù)減少了 由于運由于運動微分方程中出現(xiàn)了未知的約束力，使方程式中未知量的個動微分方程中出現(xiàn)了未

24、知的約束力，使方程式中未知量的個數(shù)增加了。結(jié)果由牛頓定律所能得到的代數(shù)方程的數(shù)目會少數(shù)增加了。結(jié)果由牛頓定律所能得到的代數(shù)方程的數(shù)目會少于未知量的個數(shù)。因此，必須引人約束方程才能構(gòu)成完備的于未知量的個數(shù)。因此，必須引人約束方程才能構(gòu)成完備的方程組，這一點對求解約束運動非常重要。方程組，這一點對求解約束運動非常重要。 物體作約束運動時，受到的約束一般可以表現(xiàn)為各坐標之物體作約束運動時，受到的約束一般可以表現(xiàn)為各坐標之間某種確定的函數(shù)關(guān)系，稱為約束方程。間某種確定的函數(shù)關(guān)系，稱為約束方程。1T2T332322221111amTgmamTgmamTgmm1m2m3212TT xxl11xxxl232

25、2211322llxxx02132aaa 323213232114)(4)(mmmmmmmmmmagmmmmmmmmT3232132114)(8gmmmmmmmmT3232132124)(4例：例：解：解：解：解：例：例：直角劈的質(zhì)量為直角劈的質(zhì)量為M，劈角為劈角為 ，滑塊的質(zhì)量為，滑塊的質(zhì)量為m, ,設(shè)所有的設(shè)所有的接觸面都光滑接觸面都光滑, ,求它們的加速度、相對加速度和相互作用力求它們的加速度、相對加速度和相互作用力. .cot)(0yhxxgMNR0sincossinMaNmamgNmaNyxcot0yxaaagmMma20sincossingmMmMN2sincosgmMMax2si

26、ncossingmMMmay22sinsin)(gmNxy0 xh0aaajaiaajiajaiaaaayxyx)()0()(0002222sincossin)(cossinsincossin)(mMMmgmMMmajgmMMmigmMmgmMM2222sinsin)(sincossinsincossinjgmMMmigmMMm222sinsin)(sincossin)(方向沿斜面向下。方向沿斜面向下。ymamgNcos2sincossin)(mMFgmMa滑塊對斜面靜止，0tan)(agmMF滑塊沿斜面向下，0tan)(agmMF滑塊沿斜面向上，0tan)(agmMF例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為 m

27、 的滑塊的滑塊, ,放在質(zhì)量為放在質(zhì)量為 M 的斜的斜面上面上. .受水平外力受水平外力F的作用的作用, ,斜面沿水平面斜面沿水平面作直線運動作直線運動. .不計所有摩擦不計所有摩擦, , 計算滑塊計算滑塊相對斜面的加速度相對斜面的加速度. . 寫出滑塊相對斜寫出滑塊相對斜面靜止、向下滑動、向上滑動的條件。面靜止、向下滑動、向上滑動的條件。 FmgNMgNT:M0sinMaNF解：解：以平面為參照以平面為參照:mxmaNsincos0aaaxsinaay0aaa0aaaxy例例: :質(zhì)量為質(zhì)量為m的物塊置于傾角為的物塊置于傾角為 的固定斜面上的固定斜面上, , 物塊與斜面間物塊與斜面間靜摩擦系

28、數(shù)為靜摩擦系數(shù)為 . .現(xiàn)用一水平外力現(xiàn)用一水平外力F 推物塊，欲使物推物塊，欲使物塊不滑動，塊不滑動，F(xiàn) 的大小應滿足什么條件？的大小應滿足什么條件？tan，解：解：如圖，根據(jù)平衡條件如圖，根據(jù)平衡條件0FfNgm 取圖上所示坐標，考察即將取圖上所示坐標，考察即將下滑時平衡方程的分量式為下滑時平衡方程的分量式為)1 (0sincosmgfF)3(Nf聯(lián)立解得聯(lián)立解得mgFsincoscossin1NFxy fmFyx)2(0cossinmgFN 當作用力小于當作用力小于F1 時物塊將下滑時物塊將下滑. .但但 F 也不能太大，否則物也不能太大，否則物塊還可上滑塊還可上滑. .當物塊即將上滑時

29、，平衡方程為當物塊即將上滑時，平衡方程為) 4(0sincosNmgF解解、兩式得兩式得mgFFsincoscossin2即當即當 F F2 時物塊上滑時物塊上滑. . 物塊不滑動的條件為物塊不滑動的條件為mgFmgsincoscossinsincoscossin) 5 (0sincosFgmNNFxy f解：解：以地面為參考并選用自然坐標系。以地面為參考并選用自然坐標系。dtdvmfRvmN2分析受力分析受力, ,列方程：列方程：例例: : 質(zhì)量為質(zhì)量為m質(zhì)點質(zhì)點, ,沿半徑為沿半徑為R的圓環(huán)的內(nèi)壁運動的圓環(huán)的內(nèi)壁運動, ,整個圓環(huán)水整個圓環(huán)水平地固定在光滑的桌面上平地固定在光滑的桌面上.

30、.已知質(zhì)點與環(huán)壁間的摩擦系數(shù)已知質(zhì)點與環(huán)壁間的摩擦系數(shù) 和和質(zhì)點開始運動的速率質(zhì)點開始運動的速率 , ,試求質(zhì)點在任一時刻的速率和位置試求質(zhì)點在任一時刻的速率和位置. . 0vomfvNRNfdtdvvR2分離變量進行積分并注意初值條件分離變量進行積分并注意初值條件: :tvvvdvdtR020tvRRvv00RtvRs01lnotRtvRRtvRdtvvdtstt)ln(00000例：例：高空有一質(zhì)量為高空有一質(zhì)量為 m 的水滴的水滴，由靜止開始下落。設(shè)浮力為由靜止開始下落。設(shè)浮力為 F ， 阻力阻力 f = k v，k 為常數(shù)。求水滴下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系。為常數(shù)。求水滴下落速度與時間的

31、函數(shù)關(guān)系。解：解：以水滴為對象以水滴為對象, 在地面建立坐標系在地面建立坐標系, 受力分析如圖所示受力分析如圖所示力學方程：力學方程：t dvdmkvFmgtFmgmg-F-kvlnkmvmvottv0t dkvFmgvdm0tmkeFmgkvFmgtmkekFmgv1恒量kFmgvttvvtvt,dd, 00mgfFoy例：例：質(zhì)量為質(zhì)量為m的小球最初位于的小球最初位于A點，然后沿半徑為點，然后沿半徑為R的光滑圓弧的光滑圓弧面下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面的作用。面下滑。求小球在任一位置時的速度和對圓弧面的作用。ngmNA解：解：dtdvmmgcosRvmmgN2sinRddvvd

32、sdtdvdsdtdvdRgvdvcos00cosdRgvdvvsin212Rgv sin2Rgv RRgmmgNsin2sinsin3mg221)cos1 (mvmgRRmvNmg2cos32cos3mgNMgNcos2 大環(huán)不能上升大環(huán)不能上升 大環(huán)可能上升大環(huán)可能上升 可能開始上升可能開始上升032cosN032cosN032cosNcos323mgNN以大環(huán)為對象以大環(huán)為對象.N例：例：已知已知 求大環(huán)上升的條件求大環(huán)上升的條件MmR以小環(huán)為對象以小環(huán)為對象解：解：mgNmgNmMmM23131311224164cos6121431131cos若取 Mm20231mMMm230cos4

33、cos62mMMmMm23,32cos23與上升條件矛盾，故取時，但例：例：水桶與水一起勻速旋轉(zhuǎn)，證明水面的形狀是旋轉(zhuǎn)拋物面。水桶與水一起勻速旋轉(zhuǎn)，證明水面的形狀是旋轉(zhuǎn)拋物面。ygdmNd解：解：水面具有旋轉(zhuǎn)對稱性，分析任一豎直剖面水面具有旋轉(zhuǎn)對稱性，分析任一豎直剖面Ox建立坐標系，在水面上取一小質(zhì)量元建立坐標系，在水面上取一小質(zhì)量元 dm曲線斜率與重力的關(guān)系曲線斜率與重力的關(guān)系gdmdmxdxdy2tan重力向心力xdxgdy2Cxgy222代入液面最低點的值（代入液面最低點的值（0，h）得液面方程）得液面方程hxgz222.例例: : 絞盤上繩中的張力絞盤上繩中的張力02cos2cos)(

34、dfdTddTT化簡化簡dNTddNdT ,于是于是dTTddNdTddTT2sin2sin)(切向：切向：法向：法向：取取= 0.25 ， 1圈圈5倍，倍，5圈圈2500倍倍 . dRdN)(TdTT dNfd12cos,22sinddd又又eTTAB)(0dTdTBATTABTTln取一段線元作分析取一段線元作分析ATBTrdLMmd)(rT)(rdrTnamdrdrTrT)()(水平面內(nèi)法向運動方程：水平面內(nèi)法向運動方程：解：解：在繩上取微元在繩上取微元 dmormdrd)()(2rLrdMrTd0TLr利用邊界條件確定積分上下限：利用邊界條件確定積分上下限：Lr0rTrdrLMrTd2

35、)()(LrLMrT2)()(222例：例：質(zhì)量均勻的繩在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，已知：質(zhì)量均勻的繩在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，已知：,LM求：張力求：張力)(rT繩內(nèi)部相鄰兩部分相互作用力繩內(nèi)部相鄰兩部分相互作用力ox22tdxdmkx 022xmktdxd0222xt dxd02xtddv02xdxvdv0)(222xvd)(2222xAv22xAdtdxdtxAdx22CtAxarcsin)sin(CtAx例：例：彈簧振子的運動彈簧振子的運動22222Axv.orMNoNoMor平面極坐標系中的圓錐曲線方程平面極坐標系中的圓錐曲線方程coscosrerrrNMrMNMOeooocos1 errocos1 er

36、roxycossincoserrrryrxoexyxro2222222)1 (ooryxerxe22222222oryxerxeyx22222)1 (ooryxerxeCyBxAxe221ooryrxe212112CBxAxye221拋物線拋物線雙曲線雙曲線橢圓橢圓reeetddrdtddtdredtdrdtrdar222222edtdrdtdrmdtdrdtrdmrGMm2222210； 先消去時間，得到軌道方程滿足的微分方程；再通過先消去時間，得到軌道方程滿足的微分方程；再通過求解微分方程，得到軌道方程求解微分方程，得到軌道方程 .)(rr r),(rP行星運動的軌道方程方程行星運動的軌道

37、方程方程edtdrdtdredtdrdtrdr22221edtdrdtdrmdtdrdtrdmrGMm2222210 - 由由 hdtdr2- 令令21uhdtdru- dduhhudduudtdudddtdddrdtdr2211- 222222222duduhhududhdtddduhdddtdrdtddtrd把 代入3222222uhduduhGMu令令2hGMuu022udud)cos(BAu0222hGMudud00022)cos(11)cos()cos(1rBArrBAhGMBAhGMuur)cos(100BArrr322221mMGELe軌道為雙曲線時 E, 1,0軌道為拋物線時

38、E, 1,0軌道為一橢圓時 E, 1,0可以證明，軌道的偏心率取決于行星的能量可以證明，軌道的偏心率取決于行星的能量選擇基線的位置，使選擇基線的位置，使 B= 0cos10err 物理學中的抽象和定義：偉大的科學理論及其形式常常物理學中的抽象和定義：偉大的科學理論及其形式常常起始于卓越的抽象與精當?shù)亩x，它們源于科學家對未知的起始于卓越的抽象與精當?shù)亩x，它們源于科學家對未知的復雜事物包括實驗現(xiàn)象，一番深邃的縝密的反復的思考和分復雜事物包括實驗現(xiàn)象，一番深邃的縝密的反復的思考和分析。牛頓力學邏輯嚴謹?shù)睦碚擉w系，是物理學理論首創(chuàng)的典析。牛頓力學邏輯嚴謹?shù)睦碚擉w系，是物理學理論首創(chuàng)的典范，三百多年

39、來對物理學和自然科學乃至人類文明，一直有范，三百多年來對物理學和自然科學乃至人類文明，一直有著深刻的影響。著深刻的影響。恩格斯總結(jié)了牛頓的科學業(yè)績：牛頓由于發(fā)現(xiàn)了萬有引力定恩格斯總結(jié)了牛頓的科學業(yè)績：牛頓由于發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律而創(chuàng)立了科學的天文學，由于進行了光的分解而創(chuàng)立了科律而創(chuàng)立了科學的天文學，由于進行了光的分解而創(chuàng)立了科學的光學，由于建立了二項式定律和無窮小理論而創(chuàng)立了科學的光學，由于建立了二項式定律和無窮小理論而創(chuàng)立了科學的數(shù)學，由于認識了力的本性而創(chuàng)立了科學的力學。學的數(shù)學，由于認識了力的本性而創(chuàng)立了科學的力學。亞歷山大亞歷山大 波普的對句：波普的對句：自然和自然的法則躲藏在黑夜之中

40、；自然和自然的法則躲藏在黑夜之中；上帝說，讓牛頓去吧！于是一切都變得明亮。上帝說，讓牛頓去吧！于是一切都變得明亮。例：例：由地面沿鉛直方向發(fā)射質(zhì)量為由地面沿鉛直方向發(fā)射質(zhì)量為m的宇宙飛船。求宇宙飛船能的宇宙飛船。求宇宙飛船能脫離地球引力所需的最小初速度。（脫離地球引力所需的最小初速度。（ 地球半徑地球半徑 R = 6378000m ）解：解：設(shè)地球表面的重力等于引力設(shè)地球表面的重力等于引力mgRGMm22gRGM 宇宙飛船受的引力：宇宙飛船受的引力：222ymgRymMGF運動方程：運動方程：mg v y 22ymgRdtdvmdydvvdydtdvdydtdv22ydygRvdvyRvvyd

41、ygRvdv220yRgRvv1122202飛船脫離地球引力時：飛船脫離地球引力時：0,vy102 .112skmgRv令令0v例：例：一動滑輪與一定滑輪如圖連接一動滑輪與一定滑輪如圖連接, m1、m2、m3為已知為已知 , 略去各種摩略去各種摩擦及滑輪和繩的質(zhì)量擦及滑輪和繩的質(zhì)量, 繩長不變。求繩長不變。求 m3 的加速度和繩中的張力。的加速度和繩中的張力。 解：解：020123aaaaa02312aaa2142143333322221111TTTTTTTamTgmamTgmamTgm21213)()(lxxxxlxx)6() 5()4() 3()2() 1 ()7(月球在軌道受萬有引力應約

42、為月球在軌道受萬有引力應約為 gmRmmG月地月地2設(shè)月球在地球表面，受萬有引力設(shè)月球在地球表面，受萬有引力 22601地月地RmmG232nm/s107 .2601ga萬有引力定律最初在地球萬有引力定律最初在地球 月球系統(tǒng)得到檢驗月球系統(tǒng)得到檢驗. 地月軌道Rr60月球在軌道上因受地球引力得到的加速度為月球在軌道上因受地球引力得到的加速度為 23222nm/s107 . 24TRRva而由牛頓定律直接計算出月球繞地球圓周運動的向心加速度而由牛頓定律直接計算出月球繞地球圓周運動的向心加速度 兩種方法結(jié)果一致兩種方法結(jié)果一致 . 1m2m3m例：例：如圖，求各物體加速度的關(guān)系如圖，求各物體加速度

43、的關(guān)系0 xx1x2x3x02312aaa 21213lxxxxlxx設(shè)動滑輪的中心坐標為設(shè)動滑輪的中心坐標為x，加速度為，加速度為 由約束條件（由約束條件（繩長不變繩長不變）：）：a020123aaaaa例例:質(zhì)量為質(zhì)量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動的斜面可在光滑的水平面上滑動,斜面斜面傾角為傾角為,質(zhì)量為質(zhì)量為m1的運動員與斜面之間亦無摩擦的運動員與斜面之間亦無摩擦,求求運動員相對于斜面的加速度及其對斜面的壓力。運動員相對于斜面的加速度及其對斜面的壓力。解：解：以地為參考以地為參考, 設(shè)斜面對地的加速度為設(shè)斜面對地的加速度為a2, 方向向右方向向右, 人對斜面的人對斜面的加速度度為加速

44、度度為a, 方向沿斜面向下方向沿斜面向下, 由相對運動公式由相對運動公式, 人對地的加速度人對地的加速度2 aaa隔離人與斜面，受力及運動情況如圖示，隔離人與斜面，受力及運動情況如圖示，取坐標取坐標o-xy，對人應用牛頓第二定律：，對人應用牛頓第二定律：) 1 (sincos21111amamNgmy)4(cos) 3(sin122221NgmNamNgmmmmagmmmmN21221212211sinsin)(,sincos取坐標取坐標o-xy,對斜面應用牛頓第二定律：對斜面應用牛頓第二定律：由由：m1.m2)2()cos(sin2111aamamgmxxyN1am1ga2xN1yN2m2g

45、強相互作用力：強相互作用力：核子之間存在強相互作用，是短程核子之間存在強相互作用，是短程力，核子間的距離太大時，強力很快下降消失。力，核子間的距離太大時，強力很快下降消失。 電磁力：電磁力：兩個帶電粒子或物體之間的相互作用，滿兩個帶電粒子或物體之間的相互作用，滿足庫侖定律。該相互作用使原子、分子聚集成實物，足庫侖定律。該相互作用使原子、分子聚集成實物，在力學中常見的拉力、壓力、扭力等彈力以及摩擦在力學中常見的拉力、壓力、扭力等彈力以及摩擦力，歸根結(jié)底是電磁力。力，歸根結(jié)底是電磁力。弱相互作用力：弱相互作用力：在基本粒子之間還存在另一種短程在基本粒子之間還存在另一種短程相互作用，它的作用距離比強

46、力更短，僅在粒子間相互作用，它的作用距離比強力更短，僅在粒子間的某些反應（如的某些反應（如衰變）中起重要作用。衰變）中起重要作用。萬有引力：萬有引力：存在于任何有質(zhì)量的物體之間的相互吸存在于任何有質(zhì)量的物體之間的相互吸引力，是最微弱的，但它是長程力，在宇宙的形成引力，是最微弱的，但它是長程力，在宇宙的形成和天體的系統(tǒng)中起著決定性的作用。和天體的系統(tǒng)中起著決定性的作用。力的分類力的分類笫三定律是關(guān)于力的性質(zhì)的定律，而不是動力學本身的定律。笫三定律是關(guān)于力的性質(zhì)的定律，而不是動力學本身的定律。 物理學中的抽象和定義：偉大的科學理論及其形式物理學中的抽象和定義：偉大的科學理論及其形式常常起始于卓越的

47、抽象與精當?shù)亩x，它們源于科學家常常起始于卓越的抽象與精當?shù)亩x，它們源于科學家對未知的復雜事物包括實驗現(xiàn)象，一番深邃的縝密的反對未知的復雜事物包括實驗現(xiàn)象，一番深邃的縝密的反復的思考和分析。牛頓力學邏輯嚴謹?shù)睦碚擉w系，是物復的思考和分析。牛頓力學邏輯嚴謹?shù)睦碚擉w系，是物理學理論首創(chuàng)的典范，三百多年來對物理學和自然科學理學理論首創(chuàng)的典范，三百多年來對物理學和自然科學乃至人類文明，一直有著深刻的影響。乃至人類文明，一直有著深刻的影響。 若物體的線度與它們間的距離可相比擬時，這時物體若物體的線度與它們間的距離可相比擬時，這時物體不能視作質(zhì)點，需將物體分成許多小部分，使每一部分都不能視作質(zhì)點，需將物

48、體分成許多小部分，使每一部分都能視作質(zhì)點，利用上式求出物體能視作質(zhì)點，利用上式求出物體 1各小部分與物體各小部分與物體 2 各小部各小部分之間的引力，每個物體所受的引力等于其各部分所受引分之間的引力，每個物體所受的引力等于其各部分所受引力的矢量和力的矢量和.1m 3m 2m 1m3m2m用用“分割分割”方法計算兩物體間的萬有引力方法計算兩物體間的萬有引力. 122rm mFGer 1110)00067. 067428. 6(G該定律由牛頓提出，其中該定律由牛頓提出，其中G稱為引力常數(shù)。稱為引力常數(shù)。111111年后英國的卡文迪許利用自創(chuàng)的年后英國的卡文迪許利用自創(chuàng)的懸絲掛懸絲掛實驗測定實驗測定

49、G值。值。 20062006年公布的標準值：年公布的標準值：牛頓米牛頓米/ /千克千克1.1.萬有引力萬有引力1m2mr 這使牛頓想到：兩種力可能有著相同的起源，這一事實，這使牛頓想到：兩種力可能有著相同的起源，這一事實，距今已有幾百年了，這在今天已經(jīng)成為老生常談了，以至于我距今已有幾百年了，這在今天已經(jīng)成為老生常談了，以至于我們很難想象出當時牛頓的魄力與膽識。為了把行星繞太陽或月們很難想象出當時牛頓的魄力與膽識。為了把行星繞太陽或月亮繞地球的運動，想象為一個亮繞地球的運動，想象為一個“降落降落”的過程，就像石頭從手的過程，就像石頭從手中扔出去后的降落一樣，遵從著相同的規(guī)律和在相同的力的作中扔

50、出去后的降落一樣，遵從著相同的規(guī)律和在相同的力的作用下，這需要多么驚人的想象力?。。ㄓ孟拢@需要多么驚人的想象力?。。ú２?恩恩） 重力隨物體所處高度和緯度而微小變化重力隨物體所處高度和緯度而微小變化 埃菲爾鐵塔落體實驗埃菲爾鐵塔落體實驗 二、約束：對運動物體的一定限制。二、約束：對運動物體的一定限制。約束力：約束物對被約束物體所施的作用力。約束力：約束物對被約束物體所施的作用力。主動力：大小和方向與約束無關(guān)的作用在物體上的外力。主動力：大小和方向與約束無關(guān)的作用在物體上的外力。 主動力與約束條件無關(guān)，它的變化規(guī)律是已知的主動力與約束條件無關(guān)，它的變化規(guī)律是已知的，如重力、，如重力、粘滯阻力等

51、。粘滯阻力等。而約束力一般都是未知的，是一種被動力而約束力一般都是未知的，是一種被動力，必要，必要時可由物體的運動去求得，如摩擦力等。時可由物體的運動去求得，如摩擦力等。2.3 2.3 解題舉例解題舉例表示一個物理量由基本量的冪次組合的式子表示一個物理量由基本量的冪次組合的式子.基本量選定后基本量選定后,導出量的量綱可由基本量的量綱的組導出量的量綱可由基本量的量綱的組合而得合而得. 在國際單位制中在國際單位制中,表示力學量表示力學量A的量綱式為的量綱式為rqpATMLdim 如：如： -1LT dim v2LTdim a2LMTdim F000TMLdim L為長度的量綱，為長度的量綱，M為質(zhì)

52、量的量綱，為質(zhì)量的量綱， T為時間的量綱為時間的量綱.p、q、r 為量綱指數(shù)為量綱指數(shù) 1. 量綱量綱速度的量綱速度的量綱 加速度的量綱加速度的量綱 力的量綱力的量綱 圓心角的量綱圓心角的量綱 【基本量和導出量】【基本量和導出量】長度長度L(m) L(m) 時間時間T(s) T(s) 質(zhì)量質(zhì)量M(kg)M(kg)電流電流I(A) I(A) 物質(zhì)的量物質(zhì)的量(mol) (mol) 熱力學溫度熱力學溫度C(k) C(k) 發(fā)光強度發(fā)光強度(cd)(cd)國際單位制國際單位制(SI)(SI)七個基本量及基本單位：七個基本量及基本單位：二、單位制二、單位制絕對單位制：先規(guī)定質(zhì)量的單位，從而導出力的單位的單位制。絕對單位制：先規(guī)定質(zhì)量的單位，從而導出力的單位的單位制。2.2 2.2 力學量的單位和量綱力學量的單位和量綱 被選作獨立規(guī)定單位的物理量稱為被選作獨立規(guī)定單位的物理量稱為基本量基本量，它們的單，它們的單位叫位叫基本單位基本單位；其他量叫；其他量叫導出量導出量，其單位叫，其單位叫導出單位導出單位。三、量綱三、量綱應用：應用： 在基本量相同的單位制之間進行單位換算在基本量相同的單位制之間進行單位換算. .