線性代數(shù)第三章習(xí)題與答案(東大絕版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三章 習(xí)題與答案 習(xí)題 A1.求向量的線性組合解 .2.從以下方程中求向量 ，其中解 由方程得， 故,即.3.求證:向量組中的任一向量可以由這個(gè)向量組線性表出.證 4.證明: 包含零向量的向量組線性相關(guān).證 設(shè)向量組為,則有而不全為0,故向量組線性相關(guān).5.設(shè)有個(gè)向量,證明: 若,則向量組線性相關(guān).證 顯然有,而不全為0.故向量組線性相關(guān).6.判斷下列向量組的線性相關(guān)性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,);(2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4)

2、(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)設(shè)有三個(gè)數(shù),使則有方程組,因?yàn)橄禂?shù)行列式.方程組僅有零解,所以三個(gè)向量線性無關(guān).(2)設(shè)有兩個(gè)數(shù)使 則有方程組,由此解得,所以兩個(gè)向量線性無關(guān).另外,也可由其分量不成比例看出兩個(gè)向量線性無關(guān).(3)設(shè)有四個(gè)數(shù),使,則有方程組,其系數(shù)行列式,所以方程組有非零解,向量組線性相關(guān).(4) 設(shè)有四個(gè)數(shù),使則有方程組由前三個(gè)方程得,代入第五個(gè)方程得,即,從而,所以向量組線性無關(guān).7.設(shè)線性無關(guān),證明:也線性無關(guān).證 設(shè)有三個(gè)數(shù),使,則,因線性無關(guān),故,因系數(shù)行列式,所以只有,由此知線性無關(guān).8

3、.設(shè)線性無關(guān),問向量組是線性相關(guān),還是線性無關(guān)?并給出證明.解 設(shè)有個(gè)數(shù)使,則得方程組其系數(shù)行列式可見,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),方程組僅有零解,向量組線性無關(guān),當(dāng)為偶數(shù)時(shí),方程組有非零解,向量組線性相關(guān).9.設(shè),證明:向量組線性相關(guān)的充分必要條件是.證 必要性:設(shè)線性相關(guān),則存在不全為0的個(gè)數(shù)使,即有方程組該方程組有非零解,故系數(shù)行列式,即,充分性: 對(duì)于方程組(*)當(dāng)時(shí),系數(shù)行列式,所以有非零解,即存在不全為0的使成立,故線性相關(guān).10.設(shè)是一組維向量.已知維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組能由它們線性表出,證明: 線性無關(guān).證 設(shè),則有可見也能由線性表出,從而兩個(gè)向量組等價(jià).因?yàn)榫€性無關(guān),所以也線性無關(guān).11.設(shè)是一組

4、維向量.證明:它們線性無關(guān)的充分必要條件是:任一維向量都可由它們線性表出.證 必要性:設(shè)線性無關(guān),為任一維向量,則,必線性相關(guān).(個(gè)數(shù)大于維數(shù)),因此可由線性表出.充分性:設(shè)任一維向量都可由線性表出.因此與等價(jià),從而線性無關(guān).12.判斷下列向量是否線性相關(guān),并求出一個(gè)極大線性無關(guān)組.(1)(2) (3) 解 (1) ,向量組的秩為2, 為一個(gè)極大線性無關(guān)組.(2) 向量組的秩為3, 為一個(gè)極大線性無關(guān)組.(3) 向量組的秩為2, 為一個(gè)極大線性無關(guān)組.13.求一個(gè)秩是4的方陣,它的兩個(gè)行向量是.解 所求方陣可寫成,則顯然.14.已知的秩為,證明: 中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無

5、關(guān)組.證 設(shè)為中任意個(gè)線性無關(guān)的向量,因?yàn)橄蛄拷M的秩為,故線性相關(guān).可見中的每個(gè)向量都可由線性表出.因此, 是的一個(gè)極大線性無關(guān)組.15.用初等變換化下列矩陣為階梯形,并判斷其秩.(1); (2);(3);(4).解 (1) ,秩為3.(2) ,秩為2.(3) ,秩為2.(4) ,秩為3.16.證明: 兩個(gè)矩陣和的秩不超過這兩個(gè)矩陣秩的和,即 .證 設(shè)為一個(gè)極大線性無關(guān)組,為一個(gè)極大線性無關(guān)組,.因?yàn)榭捎?線性表出,從而也可由,線性表出.故.17.設(shè)與可乘,且,證明: 的列數(shù).證法一 設(shè)為矩陣,為矩陣由,有比較等式兩邊對(duì)應(yīng)元素,有,.可見的列向量組為上述個(gè)齊次線性方程組的解向量,因此有 ,移項(xiàng)

6、得(的列數(shù)).證法二 設(shè)為矩陣,為矩陣, ,因?yàn)?則的標(biāo)準(zhǔn)形可寫成,即存在可逆陣使得.又設(shè),則,但,可見,又因?yàn)?所以,而共行,因此,即或. 習(xí)題 B1.證明: (其中)線性相關(guān)的充要條件是至少有一個(gè)可被線性表出.證 必要性:設(shè)線性相關(guān)(),則存在不全為0的個(gè)數(shù)使,設(shè)是中最后一個(gè)不為零的數(shù),即,而,則,因?yàn)?所以,即,(否則則不能成立),于是,即可由線性表出.充分性:如果,則,而不全為0,所以線性相關(guān).2.證明:一個(gè)向量組的任一線性無關(guān)組都可擴(kuò)充為一個(gè)極大線性無關(guān)組.證 設(shè)有向量組秩為,是它的任意一個(gè)線性無關(guān)組,如果,則它就是的一個(gè)極大線性無關(guān)組.如果,則的其余向量中一定可以選出向量,使,線性

7、無關(guān)(否則與秩矛盾),只要,重復(fù)上述過程,直到時(shí)為止.這樣就是由擴(kuò)充成的一個(gè)極大線性無關(guān)組.3.已知兩向量組有相同的秩,且其中之一可被另一個(gè)線性表出,證明:這兩個(gè)向量組等價(jià).證 設(shè)為兩個(gè)秩為的向量組, 分別為極大線性無關(guān)組,設(shè)可由線性表出,則有,其中為組合系數(shù)構(gòu)成的階方陣,因?yàn)榫€性無關(guān),所以可逆,從而可由線性表出,從而可由線性表出,又可由線性表出,所以可由線性表出,即可由線性表出,因此向量組,等價(jià).4.設(shè)向量組的秩為,在其中任取個(gè)向量,證明: .證 設(shè)的秩為,從它的一個(gè)極大線性無關(guān)組(含個(gè)向量)可擴(kuò)充為的一個(gè)極大線性無關(guān)組(含個(gè)向量),所擴(kuò)充向量的個(gè)數(shù)為個(gè).但中除了外,還有個(gè)向量,故,即.5.設(shè)階矩陣的秩為,證明:存在秩為的階矩陣及秩為的階矩陣,使.