線性代數第三章習題與答案(東大絕版)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第三章 習題與答案 習題 A1.求向量的線性組合解 .2.從以下方程中求向量 ，其中解 由方程得， 故,即.3.求證:向量組中的任一向量可以由這個向量組線性表出.證 4.證明: 包含零向量的向量組線性相關.證 設向量組為,則有而不全為0,故向量組線性相關.5.設有個向量,證明: 若,則向量組線性相關.證 顯然有,而不全為0.故向量組線性相關.6.判斷下列向量組的線性相關性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,);(2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4)

2、(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)設有三個數,使則有方程組,因為系數行列式.方程組僅有零解,所以三個向量線性無關.(2)設有兩個數使 則有方程組,由此解得,所以兩個向量線性無關.另外,也可由其分量不成比例看出兩個向量線性無關.(3)設有四個數,使,則有方程組,其系數行列式,所以方程組有非零解,向量組線性相關.(4) 設有四個數,使則有方程組由前三個方程得,代入第五個方程得,即,從而,所以向量組線性無關.7.設線性無關,證明:也線性無關.證 設有三個數,使,則,因線性無關,故,因系數行列式,所以只有,由此知線性無關.8

3、.設線性無關,問向量組是線性相關,還是線性無關?并給出證明.解 設有個數使,則得方程組其系數行列式可見,當為奇數時,方程組僅有零解,向量組線性無關,當為偶數時,方程組有非零解,向量組線性相關.9.設,證明:向量組線性相關的充分必要條件是.證 必要性:設線性相關,則存在不全為0的個數使,即有方程組該方程組有非零解,故系數行列式,即,充分性: 對于方程組(*)當時,系數行列式,所以有非零解,即存在不全為0的使成立,故線性相關.10.設是一組維向量.已知維標準單位向量組能由它們線性表出,證明: 線性無關.證 設,則有可見也能由線性表出,從而兩個向量組等價.因為線性無關,所以也線性無關.11.設是一組

4、維向量.證明:它們線性無關的充分必要條件是:任一維向量都可由它們線性表出.證 必要性:設線性無關,為任一維向量,則,必線性相關.(個數大于維數),因此可由線性表出.充分性:設任一維向量都可由線性表出.因此與等價,從而線性無關.12.判斷下列向量是否線性相關,并求出一個極大線性無關組.(1)(2) (3) 解 (1) ,向量組的秩為2, 為一個極大線性無關組.(2) 向量組的秩為3, 為一個極大線性無關組.(3) 向量組的秩為2, 為一個極大線性無關組.13.求一個秩是4的方陣,它的兩個行向量是.解 所求方陣可寫成,則顯然.14.已知的秩為,證明: 中任意個線性無關的向量都構成它的一個極大線性無

5、關組.證 設為中任意個線性無關的向量,因為向量組的秩為,故線性相關.可見中的每個向量都可由線性表出.因此, 是的一個極大線性無關組.15.用初等變換化下列矩陣為階梯形,并判斷其秩.(1); (2);(3);(4).解 (1) ,秩為3.(2) ,秩為2.(3) ,秩為2.(4) ,秩為3.16.證明: 兩個矩陣和的秩不超過這兩個矩陣秩的和,即 .證 設為一個極大線性無關組,為一個極大線性無關組,.因為可由,線性表出,從而也可由,線性表出.故.17.設與可乘,且,證明: 的列數.證法一 設為矩陣,為矩陣由,有比較等式兩邊對應元素,有,.可見的列向量組為上述個齊次線性方程組的解向量,因此有 ,移項

6、得(的列數).證法二 設為矩陣,為矩陣, ,因為,則的標準形可寫成,即存在可逆陣使得.又設,則,但,可見,又因為,所以,而共行,因此,即或. 習題 B1.證明: (其中)線性相關的充要條件是至少有一個可被線性表出.證 必要性:設線性相關(),則存在不全為0的個數使,設是中最后一個不為零的數,即,而,則,因為,所以,即,(否則則不能成立),于是,即可由線性表出.充分性:如果,則,而不全為0,所以線性相關.2.證明:一個向量組的任一線性無關組都可擴充為一個極大線性無關組.證 設有向量組秩為,是它的任意一個線性無關組,如果,則它就是的一個極大線性無關組.如果,則的其余向量中一定可以選出向量,使,線性

7、無關(否則與秩矛盾),只要,重復上述過程,直到時為止.這樣就是由擴充成的一個極大線性無關組.3.已知兩向量組有相同的秩,且其中之一可被另一個線性表出,證明:這兩個向量組等價.證 設為兩個秩為的向量組, 分別為極大線性無關組,設可由線性表出,則有,其中為組合系數構成的階方陣,因為線性無關,所以可逆,從而可由線性表出,從而可由線性表出,又可由線性表出,所以可由線性表出,即可由線性表出,因此向量組,等價.4.設向量組的秩為,在其中任取個向量,證明: .證 設的秩為,從它的一個極大線性無關組(含個向量)可擴充為的一個極大線性無關組(含個向量),所擴充向量的個數為個.但中除了外,還有個向量,故,即.5.設階矩陣的秩為,證明:存在秩為的階矩陣及秩為的階矩陣,使.