差分法估計(jì)水塔水流量

1、案例案例6 6 估計(jì)水塔的水流量估計(jì)水塔的水流量問題問題一、問題分析一、問題分析建模目的：給出水從水塔流出的流量，并估計(jì)一天的總用水量 思思路路由數(shù)值決定在所給數(shù)據(jù)點(diǎn)處的水流量找出一個(gè)水從水塔流出水流量光滑擬合逼近處理水泵工作時(shí)的充水量及一天該鎮(zhèn)總用水量 ，同時(shí)亦重建了水泵工作時(shí)所缺的數(shù)據(jù)二、假設(shè)與記號(hào)二、假設(shè)與記號(hào)1.影響水從水塔流出的流率的唯一因素是公眾對(duì)傳統(tǒng)的 要求。因?yàn)楦奖碇唤o出了某一天（實(shí)際是近26小時(shí)）水塔的水位數(shù)據(jù)，并沒有對(duì)這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生有影響的因素作出具體說明，我們只能假定所給數(shù)據(jù)反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情況，如自然災(zāi)害、水災(zāi)、水塔溢水、水塔漏水等對(duì)水的特殊要求

2、假假設(shè)設(shè)2.水塔中水的水位不影響水流量的大小。據(jù)物理學(xué)的定律，水塔最大水流量是與水位的高度的平方根成正比的。針對(duì)表所給的數(shù)據(jù)，最大高度是35.50英尺，最小高度是27.00英尺，所以兩個(gè)高度的最大水流量之比是，接近于1，所以我們假定水位不影響水流量，類似的，我們假定氣候條件，溫度變化大也不直接影響水流量 3.水泵工作起止時(shí)間由水塔的水位決定，我們總是假定水位27.00英尺時(shí)，水泵開始工作，直到水位升至大約35.50英尺時(shí)停止工作。每次充水時(shí)間約為兩小時(shí)，水泵工作性能、效率總是一定的，不因使用次數(shù)多少而變化。水泵工作時(shí)不需要維修，也不中途停止工作。當(dāng)然，水泵充水的水流量遠(yuǎn)大于水塔的水流量，以保證

3、人們對(duì)水的需求 4.表中水位數(shù)據(jù)取得的時(shí)間準(zhǔn)確在1秒內(nèi) 5.水塔的水流量與水泵狀態(tài)獨(dú)立，并不因?yàn)樗霉ぷ鞫黾踊驕p少水流量的大小 6.水塔的水流量曲線可以用一條光光滑的曲線來逼近。這時(shí)，在每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，水流量的兩階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，因?yàn)樗南氖腔谏鐓^(qū)公眾一天的活動(dòng)。如洗澡、做飯、洗衣服等，每一個(gè)使用者的要求與整個(gè)社區(qū)的要求相比是微不足道的，而整個(gè)社會(huì)的需求是不可能同時(shí)增加或減少的，由于水的消耗的自然性，可以設(shè)想水流量曲線是一條連續(xù)光滑的曲線 記記號(hào)號(hào) t: 時(shí)間，單位小時(shí) h:水塔中水流高度，是時(shí)間的函數(shù)，單位為英尺 V:水塔中水的體積，單位加侖f: 估計(jì)的水塔 水流量，單位加侖/小時(shí) p:

4、水泵工作時(shí)充水的水流量 ，單位加侖/小時(shí)三、水流量與時(shí)間的關(guān)系三、水流量與時(shí)間的關(guān)系1. 把附表數(shù)據(jù)化為時(shí)間與水體積關(guān)系把附表數(shù)據(jù)化為時(shí)間與水體積關(guān)系時(shí) 間（小時(shí)）水 體 積（加侖）時(shí) 間（小時(shí)）水體積（加侖）時(shí) 間（小時(shí)）水 體 積（加侖）00.92111.84312.94973.87144.97815.90007.00647.92868.96786061255937165830265715715625995520995440815339635253725148729.98110.925610.954212.032812.954413.875814.982215.903916.826117.

5、9317水泵工作水泵工作67771565767063953462235260459858932557500855878119.037519.959420.839222.015022.958123.880024.986925.9083542554528236514872水泵工作水泵工作6633976485066376252. 水泵工作的起止時(shí)間水泵工作的起止時(shí)間第一次充水前的最后一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)是32284秒（8.9678 小時(shí)）時(shí)水位26.97英尺，可見水泵在此不久開始充水。 39332秒（10.9256小時(shí)）水泵工作仍在工作。 39435秒（10.9542 小時(shí)）時(shí)水位35.50英尺。從而水泵在

6、這兩時(shí)刻之間停止工作。第第一一次次充充水水水泵工作的時(shí)間為32284秒（8.9678 小時(shí)）；水泵結(jié)束時(shí)間為39435秒（10.9542小時(shí)）；充水時(shí)間約為1.9864小時(shí)第第二二次次充充水水水泵工作的時(shí)間為75021秒（20.8392 小時(shí)），水位26.97英尺水泵結(jié)束時(shí)間為82649秒（22.9581小時(shí)）,補(bǔ)充水位35.50英尺充水時(shí)間約為2.1189小時(shí)3. 由由Viti關(guān)系產(chǎn)生水流量關(guān)系產(chǎn)生水流量 fiti的關(guān)系的關(guān)系注：亦可以由Viti關(guān)系擬合 V(t)，再求微商得到 f(t) 或?yàn)榱藴p少誤差采用數(shù)值差分公式)(1288)(12112iiiiiiiittVVVVtff 關(guān)于水流量

7、fiiiiiiittVVtff 11)(11)( iiiiiittVVtff與)(243)(121iiiiiiittVVVtff 與)(243)(121 iiiiiiittVVVtff與時(shí) 間（小時(shí)）水 流 量（加侖/小時(shí)）時(shí) 間（小時(shí)）水 流 量（加侖/小時(shí)）時(shí) 間（小時(shí)）水 流 量（加侖/小時(shí)）00.92111.84312.94973.87144.97815.90007.00647.92868.967814405111801006311012879799928124101608488110189.98110.925610.954212.032812.954413.875814.982215

8、.903916.826117.9317水泵工作水泵工作194692019618941159031805515646137411496219.037519.959420.839222.015022.958123.880024.986925.9083166531449614648水泵工作1522515264137089633水流量值（表3）四、用三次樣條擬合四、用三次樣條擬合 fi （ f(t)擬合曲線擬合曲線 S(t)） S(t)為通過表3數(shù)據(jù)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，具有端點(diǎn) t0 =0 和t24 =25.9083,)()()()(1332210 iiiiiiiiiitttttattattaatS具有

9、：在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)ti 處，Si-1(t) 與Si (t) 的函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)相等 )( 6216)2)(1132111110iiiiiiiiiiiiiiiiiittMMaMaMMttttffafa 擬合水流量曲線五、對(duì)五、對(duì)水泵水泵 充水的兩段時(shí)間水流量處理充水的兩段時(shí)間水流量處理第一次充水，水塔的水體積之差162843514872677151 V加侖充水時(shí)間約為t1= 1.9864小時(shí)第一次充水水泵平均水流量19542.109678.811)(tdttftVp =81979+15597=97576（加侖/小時(shí)）第二次充水，水塔的水體積之差（加加侖侖）1628432 V充水時(shí)間約為t2

10、= 2.1189小時(shí)第二次充水水泵平均水流量29581.228392.2021)(tdttftVp =76853+15057= 91910（加侖/小時(shí)）兩次充水水泵平均水流量)(2121ppp = 94743（加侖/小時(shí)）五、一天總用水量五、一天總用水量一天總用水量 240)(dttf=333189 （加侖）檢驗(yàn)檢驗(yàn)（加加侖侖）335116)(9211.249211.0 dttf（加加侖侖）336782)(8431.258431.1 dttf（加加侖侖）335329)(251 dttf（加加侖侖）336480)(5.255.1 dttf相差只約1%0，24區(qū)間內(nèi)檢驗(yàn)區(qū)間內(nèi)檢驗(yàn)第一次充水前總用水

11、量V1= 606125-514872=91253(加侖）第一次充水后，第二次充水前總用水量V2= 677715-514872=162843(加侖）第一次充水期間用水量（加加侖侖）30981)(9542.109678. 8 dttf第二次充水期間用水量（加加侖侖）31905)(9581.228392.20 dttf22.9581,23.88期間用水量V3= 677715-663397=14318(加侖）23.88,24期間用水量（加侖）1829)(2488.23dttf一天總用水量V1 + V2 + V3+30981+31905+1829=333129 (加侖） 240)(dttf與相差只有 0.02%)(tf計(jì)算充水期間以外的用水量檢驗(yàn)計(jì)算充水期間以外的用水量檢驗(yàn)（加侖）89242)(9678. 80dttf與V1相差只有 2.3%（加侖）165143)(8392.209542.10dttf與V2相差只有 1.4%說明擬合曲線是相當(dāng)精確的六、誤差分析六、誤差分析一天一天總用總用水量水量24,8800.238800.239581.228392.2