柏努利方程應用例題

1、柏努利方程應用例題柏努利方程應用例題河北科大化原河北科大化原例1、如圖所示，水從儲水箱A經(jīng)異徑水平管段B及C流至大氣中。已知水箱內(nèi)液面與管子中心線間的垂直距離為5.5m，保持恒定，管段B的直徑為管段C的兩倍。水流經(jīng)B、C段的摩擦阻力分別為hf,B=15J/Kg及hf,C=30J/Kg有水箱至管段B及有管段B至管段C的突然縮小損失可以忽略，而管段C至外界的出口損失不能忽略。試求：1、水在管段c中的流速；2、水在管段B中的流速 ；3、管段B末段內(nèi)側(cè)的壓強。 解：水箱上方有水補充，側(cè)面有溢流管，箱內(nèi)液位恒定，故本題為無外加功的不可壓縮流體作定態(tài)流動。計算所要求各項目時，可采用無外功加入的柏努利式。水

2、在管路 C中的流速uC 在水箱11面及管 C出口內(nèi)側(cè)22面間列柏努利式，以水平管中心線為基準面：21 ,2222211122fhupgzupgz（1） 其中：z1=5.5m p1=0 (表壓) u10 （因水箱截面很大，故u1很小，可認為u10） z2=0 p2=0 （22面在管口內(nèi)側(cè)，接近外界大氣壓，故可認為 p2與外界大氣壓相等，其表壓為零） u2=uc=待求值題意忽略水箱至管B、由管B至管C的突然縮小損失可以忽略，故由11至22兩面間的總摩擦力為：CfBfAffhhhh,21 ,式中hf,A、hf,B、hf,C分別為水流經(jīng)水箱、管B及管C的摩擦阻力，因水箱內(nèi)的流速幾乎等于零，故hf,A0

3、，因此：kgJhhhCfBff/453015,21 ,取水的密度1000kg/m3，將以上諸值代入式1：4525 . 581. 92Cu解得 uC=4.232m/s2、水在管路B中的流速uB 水是不可壓縮流體，故可用連續(xù)性方程式求uB：CCBBAuAu簡化之 22CCBBdudu或 2BCCBdduu上式說明不可壓縮流體在管道中的流速與直徑的平方成反比。 smdduuBCCB/058. 121232. 4223、管B出口內(nèi)側(cè)壓強 管B出口內(nèi)側(cè)壓強可以在11及33（管B出口內(nèi)側(cè)）面或33及22面間列柏努利式，算出的結(jié)果是一致的。今在11及33面間列柏努利式，仍以管中心線為基準面，取水的密度100

4、0kg/m3：31 ,2333211122fhupgzupgz其中 smuuB/058. 13kgJhhBff/15,31 , 152058. 110005 . 581. 923p解得：管B出口表壓強p3=3.84104Pa例2、用離心泵將密度為1200kg/m3的水溶液由敞口貯槽A送至高 位 槽 B . 已 知 離 心 泵 吸 入 管 路 上 各 種 流 動 阻 力 之 和hf,a=10J/kg、壓出管路的hf,b=30J/kg,兩槽液面維持恒定，其間垂直距離為20m,每小時液面的輸送量為30m3.若離心泵的效率為0.65，試求泵的軸功率。解：根據(jù)題意畫出如本題附圖所示的流程示意圖。本題屬于

5、由外功加入的不可壓縮流體坐定態(tài)流動。在由外功加入的系統(tǒng)中應用伯努利方程式時，兩個截面必須選在泵的兩側(cè)，才能將泵向系統(tǒng)輸入的能量計入，這兩個截面的具體位置視具體情況而定，本題以選槽液面1-1及B槽液面2-2為宜，因這兩個面上機械能以及其間的hf,1-2均為已知或可算出。若選圖中3-3及4-4兩個面，雖然算出的We與選1-1及2-2時算出的是一樣，但3-3及4-4面上各種機械能與其間的摩擦阻力hf,3-4均未可知，且在本題條件下又缺乏計算數(shù)據(jù)，故不能選用3-3及4-4兩個面。 選貯槽液面1-1及高位槽液面2-2為衡算范圍，以1-1面為基準面：2122222111+2+=+2+,fehupgzupg

6、zw其中z1=0 z2=20m p1=0(表壓) p2=0(表壓)u10 u20hf,1-2=hf,a+hf,b=10+30=40J/kg We=209.81+40=236.2J/kg由以上計算過程知：泵提供的能量用于將溶液提升至高位槽以及克服流動過程中流動阻力。伯努利方程式是以1kg為基準推導的，故We是1kg流體在流動過程中獲得的能量，稱為有效功，故有效功率為：Ne=We.qm=236.2(301200)/3600 =2632J/s=2632W由于泵體內(nèi)有各種損耗，泵軸消耗的功率為：N=2362/0.65=3634W3.7KW例3、 如本題附圖所示，每小時有12104kg的水在傾斜放置的變

7、徑管內(nèi)從下向作定態(tài)流動已知細管直徑d1=100mm，粗管直徑d2=240mm；圖中2-2面比1-1面高H2=300mm；1-1面與2-2面間有軟管與水銀壓差計相連，其上指示劑讀數(shù)R=20mm，試求： 11-1與2-2面間的摩擦阻力；2若流量不變，而將輸水管水平放置，計算壓差計上指示劑讀數(shù)；3分析傾斜放置時1-1與2-2面間能量變化情況；4由兩種放置情況下的指示劑讀數(shù)數(shù)值分析兩截面間的壓強差。解： 11-1與2-2面間的摩擦阻力 本題屬于無外功加入的不可壓縮流體定態(tài)流動情況，故應采用式（112a）進行計算。在1-1與2-2面間列柏努利式，以過1-1面中心的水平面0-0為基準面。（1） 或 其中

8、本題輸水管是傾斜放置的，故不能采用根據(jù)水平管導出的式（1-6）進行計算（p1-p2）,應另行推導計算式。 在附圖的壓差計上取等壓參考面m及n，則pm=pn，參考圖可以寫出： 整理得 )g-R(gHp-pOHHgOH2122（2） 上式為傾斜管路上液柱壓差計讀數(shù)與兩側(cè)壓面間壓強差的關系式，該式也適用于垂直管路。取H2O=1000kg/m3，Hg13600 kg/m3，故 將以上各式值代入式1： J/kg22.1127372. 0246. 41000541581. 93 . 0h222-f,12管子改為水平放置時壓差計上的讀數(shù) 將柏努利方程式中各物理量加注上“”表示水平放置的情況。仍在前述條件下列

9、柏努利方程式： 或 其中 因為管子水平放置，故可直接用式（1-6）求p1-p2： 流量及管徑?jīng)]有變化，故流速及摩擦阻力也無變化： 解得 :R=0.02m=20mm 由此看出水平放置后壓差計讀書沒有變化。 3傾斜放置時1-1與2-2面間能量變化情況 1-1與2-2面間能量變化情況列于本例附表中。 J/kg014. 9 2246. 42u221J/kg2717. 0 27372. 02u222前面算出：J/kg22.11h21f,摩擦阻力前面已算出：靜壓能減少5.415J/kg靜壓能動能減少9.014-0.27178.742J/kg動能位能升高2.943-02.943J/kgz2g=0.39.81

10、=2.943J/kgz1g=0位能由1-1面到2-2面能量變化情況22面11面項目由上表看出，水由11面流到22面位能升高，同時又有能量損失，而兩面間無外功加入，故這些能量只能由兩截面間的動能及靜壓能來供給，也就是說11面上一部分動能與一部分靜壓能當流體流到22面時轉(zhuǎn)變?yōu)槲荒芎陀糜诳朔Σ磷枇Α?4由兩種放置情況的壓差計讀數(shù)分析兩截面間的壓強差 由前面計算結(jié)果知兩種放置情況時壓差計讀數(shù)均為0.02m，而傾斜放置時壓強差為5415Pa，水平放置時為2471Pa。例4、 用離心泵將密度為1200kg/m3的水溶液由敞口貯槽A送至高位槽B。已知離心泵吸入管路上各種流動阻力之和hf,a=10J/kg、

11、壓出管路的hf,b=10J/kg。兩槽液面維持恒定，其間垂直距離為20m。每小時溶液的輸送量為30m3。若離心泵效率為0.65，試求泵的軸功率。 解：根據(jù)題意畫出本題附圖所示的流程示意圖。 本題屬于有外功加如的不可壓縮流體作定態(tài)流動，故用式（112c）進行計算。在有外功加入的系統(tǒng)中應用柏努利方程時，兩個界面必須選在泵的兩側(cè)，才能將泵向系統(tǒng)輸入的能量計入。這兩個截面的具體位置視具體情況而定，本題以選A槽液面11及B槽液面22為宜，因這兩個面上機械能以及其間的hf,1-2均為已知或可算出。若選圖中33及44兩個面，雖然算出的We與選11及22時算出的是一樣，但33及44面上各種機械能與其間的摩擦阻

12、力hf,3-4均為已知，且在本題條件下又缺乏計算數(shù)據(jù)，故不能選用33及44兩個面。選貯槽液面11及高位槽液面22為衡算范圍，以11面為基準面： 其中，z1=0 z2=20m p1=0(表壓) p2=0(表壓) u10 u10 We=209.81+40=236.2J/kg 由以上計算過程可知:泵提供的能量用于將溶液提升至高位槽以及克服流動過程中的流動阻力。柏努利方程式是以1kg流體為基準推導的，故We是1kg流體在流動過程中獲得的能量，稱為有效功，故有效功率為： 由于泵體內(nèi)有各種損耗，泵軸消耗的功率為：例5、用泵將水從貯槽送至敞口高位槽，兩槽液面均衡定不變。輸送管路尺寸為573.5mm，泵出口垂

13、直管段A、B截面上的測壓口有軟管與兩支液柱壓差計相連，其上指示劑水銀柱的讀數(shù)分別為R=40mm及R=1200mm。右邊壓差計的左側(cè)指示劑液面與截面A的垂直距離H1000mm，右側(cè)開口水銀面上灌有一段R=20mm的清水。A、B兩截面間的管長（即垂直距離）為6m。管路中摩擦系數(shù)為0.02。當?shù)卮髿鈮簭姙?.0133105Pa。試求：水在管路中的流速；截面A上的壓強。解：令Pa大氣壓強。取水的密度為H2O=1000kg/m3、水銀的密度Hg13600kg/m3。水在管路中的流速 水在管路中的流速或流量直接影響流動的阻力，故可用式（1-19）計算流速：（1） 上式中的hf可由柏努利式算出。分析題給數(shù)據(jù)

14、應取截面A及B作衡算范圍，因二者間的垂直距離為已知、壓強差可由壓差計算出、速度相等、且無外功加入，故可算出hf,AB,然后由式（1）計算出管路中的流速。以截面A為基準面：（2） 或 （3） 其中 由于左邊壓差計裝在垂直管道上，故不能用式（1-6）計算，而應采用例（1-8）中為傾斜管推導的但也適用于垂直管的式(2)來計算： 將以上諸值代入式（3）：上式中hf,AB即式（1）中的hf，故：解得管路中流速 u2.029m/s2、截面A上的壓強 前項已算出pA-pB的值，此處再利用右邊壓差計的數(shù)據(jù)算出截面B上的壓強pB后，即可算出pA。在右邊壓差計上作等壓參口面T及S，pT=pS,參考圖知：整理之 例

15、6、實驗室測定離心泵性能時，采用本題附圖所示的定態(tài)流動流程。每小時以45m3、20的清水為工作介質(zhì)。泵的出口管直徑為854mm，出口管直徑為754mm。在泵的進口和出口附近分別裝有真空表及壓強表，已測得真空表上讀數(shù)為2.6104Pa、壓強表讀數(shù)為2.6105Pa，兩測壓口中心線間的垂直距離為0.5m，因其間管路較短，故流體在兩表間的摩擦阻力可以忽略。泵由電動機直接帶動，傳動效率可視為1，已測得電動機輸出功率為5.5kW，試求泵的效率。解：本題屬于有外功加入的不可壓縮流體作定態(tài)的流動。已知泵的軸功率，要求計算泵的效率，因NeN，故應先采用式（1-12b）求出泵的有效功We，進一步算出有效功率Ne

16、。前已述及，計算泵的有效功率時，作為衡算范圍的兩個截面應在泵的兩側(cè)，在本題條件下，只能選過兩測壓口中心的截面11及22，因這兩個面上的機械能為已知或可算出，且其間的摩擦阻力可以忽略。若選兩槽液面，雖然其上的機械能為可知值，但其間的總摩擦力為未知，且缺乏必要的計算數(shù)據(jù)。 在兩測壓口中心截面11及22間列柏努利式，以22面的中心線為基準面，取H2O1000kg/m3。其中 z1=0We=待求值z2=0.5m解得 例7、每小時將400kg、平均分子量為28kg/kmol的氣體由氣柜定態(tài)輸送到密閉設備內(nèi)。輸送過程中氣體溫度基本恒定在20下。已測得壓強表A和B上的讀數(shù)分別為1060Pa和100Pa，兩側(cè)

17、壓面間的全部摩擦阻力可用hf,a-b=5G2的經(jīng)驗公式求算。式中hf,a-b為壓強表A、B間的總摩擦力，J/kg；G為氣體在管路中的質(zhì)量流率，kg/(m2s)。 兩測壓口中心線間的垂直距離為5m。全系統(tǒng)輸送管路的直徑相同，試求輸送管路直徑。當?shù)卮髿鈮簭姙?.0133105。 解：本題屬于無外功加入的恒溫定態(tài)輸送可壓縮流體系統(tǒng)。分析題給數(shù)據(jù)可知以選過兩測壓口中心的截面a-a及b-b為衡算截面最合適，但這兩截面上的絕對壓強之比若小于20，才能在其間應用柏努利式。 故可以在a-a及b-b面間應用柏努利式，但式中的密度應取兩截面間的平均密度m。在a-a及b-b面間列柏努利式，以過a-a中心的水平線為基

18、準面：或 其中，a-a及b-b面間的管路直徑相等，質(zhì)量流量也相等，但壓強不同，故體積流量不同，從而uaub,不過因為pa與pb相差不大，故取uaub,因此：已知 hf,a-b=5G2將以上諸值代入式（1）：5G2=-59.81+819.1 解得 G=12.41kg/(m3s) 由質(zhì)量流率定義知： 或 由計算過程看到：可壓縮流體在等徑管中作等溫定態(tài)流動時，因沿程壓強有變化，故管路各截面上速度不等，但質(zhì)量流率相同，題中給出hf,a-b=5G2，而不給出hf,a-b=f(u)的關系，其理由即在此。但要指出，在計算中如采用G=u常數(shù)的關系計算G，其中及u必定要采用同一截面上的數(shù)值。 前面計算中曾假設在此可進行核算：ua與ub相差不大，故假設uaub是可以的。假如遇到不能取uaub的情況，這時可用下面的情況處理：再從1截面到任一截面（在12之間）列柏努利方程，則：Pa/+gz1+u12/2= Px/+gzx+ux2/2 u1=0 Px= (Pa/+gz1)- (gzx+ux2/2)Pa/+gz1為定值，當gzx+ux2/2為最大值時，PxPmm顯然細管中u 最大，在細管最上端，gzx+ux2/2可望達到最大