132函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 數(shù)學(xué)來源于生活，那么我們現(xiàn)在正數(shù)學(xué)來源于生活，那么我們現(xiàn)在正在學(xué)習(xí)的函數(shù)圖象，是否也會具有對稱在學(xué)習(xí)的函數(shù)圖象，是否也會具有對稱的特性呢？是否也體現(xiàn)了圖象對稱的美的特性呢？是否也體現(xiàn)了圖象對稱的美感呢？感呢？在生活中你還發(fā)現(xiàn)了哪些對稱的圖形？在生活中你還發(fā)現(xiàn)了哪些對稱的圖形？問題提出問題提出函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性知識探究（一）知識探究（一）考察下列兩個函數(shù)：考察下列兩個函數(shù)：(1) ; (2) .(1) ; (2) .2( )f xx ( ) |f xx思考思考1:1:這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何共同特征？何共同特征？ xy

2、o圖（圖（1）xyo圖（圖（2）觀察下圖，思考并討論以下問題：觀察下圖，思考并討論以下問題：(1) 這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？(2) 相應(yīng)的兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 實際上，對于實際上，對于R內(nèi)任意的一個內(nèi)任意的一個x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),這時我們稱函數(shù)這時我們稱函數(shù)y=x2為為偶函數(shù)偶函數(shù).1偶函數(shù)偶函數(shù) 一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個

3、的定義域內(nèi)的任意一個x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函數(shù)偶函數(shù) 例如，函數(shù) 都是偶函數(shù)，它們的圖象分別如下圖(1)、(2)所示.12)(, 1)(22xxfxxf思考思考3:3:一般地，若函數(shù)一般地，若函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y y軸對軸對稱，那么稱，那么f(xf(x) )與與f(-xf(-x) )有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 我們把具有上述特征的函數(shù)叫做偶函數(shù)我們把具有上述特征的函數(shù)叫做偶函數(shù) 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x任取定義域中的一對任取定義域中的一對相反數(shù)相反數(shù)時，時，對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值相等相等。 即即 f(x)=f(-xf(x)

4、=f(-x) )思考思考2:2:對于上述兩個函數(shù)，對于上述兩個函數(shù)，f(1)f(1)與與f(-1)f(-1)，f(2)f(2)與與f(-2)f(-2)，f(3)f(3)與與f(-3)f(-3)有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 思考思考5:5:函數(shù)函數(shù) 是偶函數(shù)是偶函數(shù)嗎？偶函數(shù)的定義域有什么特征？嗎？偶函數(shù)的定義域有什么特征？2( ), 1,2f xxx 偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱思考思考4:4:怎樣定義偶函數(shù)？怎樣定義偶函數(shù)？ 如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(xf(x) )定義域內(nèi)的定義域內(nèi)的任意一任意一個個x x，都有，都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )成立，則稱

5、函數(shù)成立，則稱函數(shù)f(xf(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù). . 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)=x和和f(x)=1/x的圖象的圖象(下圖下圖)，你能發(fā)，你能發(fā)現(xiàn)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 實際上，對于實際上，對于R內(nèi)任意的一個內(nèi)任意的一個x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),這時這時我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)y=x為為奇函數(shù)奇函數(shù).f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)知識探究（二）知識探究（二）考察下列兩個函數(shù)：考察下列兩個

6、函數(shù)：(1) ; (2) .(1) ; (2) .( )f xx1( )f xx思考思考1:1:這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有這兩個函數(shù)的圖象分別是什么？二者有何共同特征？何共同特征？ xyo圖（圖（1）xyo圖（圖（2）思考思考3:3:一般地，若函數(shù)一般地，若函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，那么坐標(biāo)原點對稱，那么f(xf(x) )與與f(-xf(-x) )有什么關(guān)有什么關(guān)系？系？ 思考思考2:2:對于上述兩個函數(shù)，對于上述兩個函數(shù)，f(1)f(1)與與f(-1)f(-1)，f(2)f(2)與與f(-2)f(-2)，f(3)f(3)與與f(-3)f(-3)有

7、什么關(guān)系？有什么關(guān)系？ 當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x任取定義域中的任取定義域中的一對相反數(shù)一對相反數(shù)時，時，對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值f(x)f(x)也是也是一對相反數(shù)一對相反數(shù)。 即即f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x) )思考思考5:5:函數(shù)函數(shù) 是奇函數(shù)嗎？是奇函數(shù)嗎？奇函數(shù)的定義域有什么特征？奇函數(shù)的定義域有什么特征？( ), 1,2f xx x 奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱思考思考4:4:我們把具有上述特征的函數(shù)叫做奇我們把具有上述特征的函數(shù)叫做奇函數(shù)，那么怎樣定義奇函數(shù)？函數(shù)，那么怎樣定義奇函數(shù)？ 如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(xf(x) )定義域內(nèi)的定義域內(nèi)的

8、任意一個任意一個x x，都有，都有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )成立，則稱函數(shù)成立，則稱函數(shù)f(xf(x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù). .注意：注意： 函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個對于定義域內(nèi)的任意一個x，則，則x也一定也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于定義域關(guān)于原點對稱原點對稱）練：奇函數(shù)定義域是練：奇函數(shù)定義域是a,2a+3 a,2a+3 ，則，則a=a= . .例5、判斷下列函數(shù)的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf 課堂練習(xí) 3 , 1,

9、)() 6(1)() 5 (0)() 4(5)() 3 (1)() 2(1)() 1 (22xxxfxxfxfxfxxfxxxf 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷函數(shù)奇偶性的步驟：判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 第一步：求出函數(shù)定義域，看它是否關(guān)第一步：求出函數(shù)定義域，看它是否關(guān)于原點對稱；于原點對稱；第二步：求出第二步：求出f(-x)f(-x)的解析式，觀察它與的解析式，觀察它與f(x)f(x)的關(guān)系是否滿足的關(guān)系是否滿足f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)或或f(-f(-x)=-f(x)x)=-f(x)；第三步：作出結(jié)論。第三步：作出結(jié)論。練習(xí)：判斷下列函數(shù)的奇偶性。練習(xí)：判斷

10、下列函數(shù)的奇偶性。（1 1） f(xf(x)=2x)=2x4 4+3x+3x（2 2） f(xf(x)=0)=0 偶函數(shù)偶函數(shù) 根據(jù)奇偶性根據(jù)奇偶性 奇函數(shù)奇函數(shù)函數(shù)可劃分為四類函數(shù)可劃分為四類 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) 既奇又偶函數(shù)既奇又偶函數(shù) 歸納小結(jié)：歸納小結(jié)：（1 1）函數(shù)的奇偶性分為四類：）函數(shù)的奇偶性分為四類：奇函數(shù)奇函數(shù)，偶函偶函 數(shù)數(shù)，既奇且偶既奇且偶，非奇非偶非奇非偶。（2 2）判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先判斷定義）判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先判斷定義域是否關(guān)于域是否關(guān)于原點原點對稱，再用定義進(jìn)行判別。對稱，再用定義進(jìn)行判別。（3 3）奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)，奇偶函數(shù)圖象的性質(zhì)，判斷

11、函數(shù)的奇偶判斷函數(shù)的奇偶性也可利用函數(shù)的圖象來判定。性也可利用函數(shù)的圖象來判定。(1)(1)定義在定義在R R上的奇函數(shù)的圖象上的奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過一定經(jīng)過原點。原點。(2)(2)由圖象對稱性可以得到：由圖象對稱性可以得到：奇函數(shù)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱區(qū)間上在關(guān)于原點對稱區(qū)間上單調(diào)性一致單調(diào)性一致，偶函數(shù)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反單調(diào)性相反。知識拓展：知識拓展：知識遷移知識遷移1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(2a-3x1)是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，則則a=_，b=_，c_10R 2.函數(shù)函數(shù) 的奇偶性是的奇偶性是 ( ) (A)奇函數(shù)奇函數(shù) (B)偶

12、函數(shù)偶函數(shù) (C)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (D)非奇非偶非奇非偶 242xxxfD3.3.已知已知f(xf(x) )是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，g(xg(x) )是偶函數(shù)，且是偶函數(shù)，且f(x)+g(xf(x)+g(x)= ,)= ,則則f(xf(x)=)= _ _ 11x21xx 2 2 已知定義在已知定義在R R上的函數(shù)上的函數(shù)f(x(x) )滿足：對任意滿足：對任意實數(shù)，都有實數(shù)，都有 成立成立. .（1 1）求）求f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)的值；的值； （2 2）確定）確定f(xf(x) )的奇偶性的奇偶性. .()( )( )f a baf bbf a知識遷移（二）知識遷移（二）f(1)=0,f(-1)=0f(1)=0,f(-1)=0奇函數(shù)奇函數(shù) 1 1 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性: : (1)(1) ; (2) ; (2) (3)(3)1( )f xxx2( )1f xx)0() 1()0()1 ()(xxxxxxxf作業(yè)作業(yè)課本課本P36練習(xí)第練習(xí)第1題題補充練習(xí)1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若）是奇函數(shù)，若f(-2)+f(-