中國民航大學大學物理學第05章剛體力學基礎

1、2021/4/212021/4/225-1 5-1 剛體的運動剛體的運動5-2 5-2 定軸轉動定律定軸轉動定律 5-3 5-3 定軸轉動的功和能定軸轉動的功和能 5-5 5-5 進動進動5-4 5-4 定軸轉動的角動量定理定軸轉動的角動量定理 和角動量守恒定律和角動量守恒定律2021/4/232021/4/241.1.剛體剛體 內部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不內部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。變的物體，即運動過程中不發(fā)生形變的物體。 剛體是實際物體的一種理想的模型剛體是實際物體的一種理想的模型 剛體可視為由無限多個彼此間距離保持不變的質剛

2、體可視為由無限多個彼此間距離保持不變的質元組成的質點系。元組成的質點系。2021/4/252.1 2.1 平動：平動：運動過程中剛體內任意一條直線在運動運動過程中剛體內任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。過程中始終保持方向不變。 特點：特點：剛體內所有質元具有相同的位移、速度和加剛體內所有質元具有相同的位移、速度和加速度。速度。2.2.剛體的運動剛體的運動2021/4/262.2 2.2 轉動：轉動：剛體上所有質點都繞同一軸線作圓周運動。剛體上所有質點都繞同一軸線作圓周運動。若轉軸固定不變，則稱為若轉軸固定不變，則稱為定軸轉動。定軸轉動。特點：特點：剛體內所有點具有相同的角位移、角速度和

3、剛體內所有點具有相同的角位移、角速度和角加速度。角加速度。zO2021/4/273.3.剛體定軸轉動的描述剛體定軸轉動的描述 3.1 3.1 定軸轉動的角量描述定軸轉動的角量描述 角位置：角位置： ( ) t角位移：角位移： )()(0tt角速度：角速度：ddt角加速度：角加速度： 22dddtdtxOP rv 角速度和角加速度均為矢量，定軸轉動中其方向沿轉軸角速度和角加速度均為矢量，定軸轉動中其方向沿轉軸的方向并滿足右手螺旋定則。的方向并滿足右手螺旋定則。2021/4/28角量的單位為角量的單位為rad,rad/s,rad/s2。質點作勻變速曲線運動時，其角量的變化規(guī)律與勻變質點作勻變速曲線

4、運動時，其角量的變化規(guī)律與勻變速直線運動中線量的規(guī)律相似，表示如下：速直線運動中線量的規(guī)律相似，表示如下：22020t20012tt2021/4/293.2 3.2 角量和線量的關系角量和線量的關系rv 2tnararxOP rv質元轉過的圓弧長：質元轉過的圓弧長：rsrv2021/4/2102021/4/2111.1.力對轉軸的力矩力對轉軸的力矩 力對轉軸上參考點力對轉軸上參考點O O的力矩矢量的力矩矢量: : FrMFrMzzrOPdFzr大?。捍笮。簊inFrMz方向：方向：，即沿轉動軸方向方向沿Fr2021/4/212 力對轉軸的力矩矢量力對轉軸的力矩矢量zFO rrOPdF/Fzr一

5、般情況一般情況FFF/平行轉軸平行轉軸 垂直轉軸垂直轉軸 能改變剛體的轉動狀態(tài)只有FFrMz2021/4/213FrMz結論：結論：zdPOrFFzFO rzr 力對轉軸的力對轉軸的力矩力矩等于在等于在轉動平面轉動平面內的外力內的外力 F 的大的大小和小和 F 與軸之間的垂直距離與軸之間的垂直距離 d 的乘積。的乘積。2021/4/2142 2剛體對轉軸的角動量剛體對轉軸的角動量2.1 2.1 質點對轉軸的角動量：質點對轉軸的角動量： 質點對轉軸上參考點質點對轉軸上參考點O O的角動量矢量的角動量矢量: : zmOrpprLprLz大?。捍笮。簉prpLzsin方向：方向：，即沿轉動軸方向方向

6、沿pr2021/4/215zdmOrpP/pO rzr對轉軸的角動量對轉軸的角動量一般情況一般情況ppp/平行轉軸平行轉軸 垂直轉軸垂直轉軸 對軸向角動量有貢獻只有pprLz2021/4/216zLrp結論：結論：zdmOrpP/pO rzr對轉軸的對轉軸的角動量角動量等于在等于在轉動平面轉動平面內的動量內的動量p 的大小的大小和和 p與軸之間的垂直距離與軸之間的垂直距離 d 的乘積。的乘積。2021/4/2172.2 2.2 剛體對轉軸的角動量剛體對轉軸的角動量 zOriimiv 組成剛體的所有質元對轉軸的角動量的和組成剛體的所有質元對轉軸的角動量的和: :2izii ii iLmv rmr

7、 ziiiiiizJrmrmL)(22iiizrmJ2剛體對轉軸的轉動慣量：剛體對轉軸的轉動慣量： 剛體對轉軸的角動量：剛體對轉軸的角動量： zzLJ2021/4/2183 3剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律dtLdM)(zzzJdtddtdLM若若常量zJ，則，則zzJM簡寫為：簡寫為：JM 剛體定軸轉動的轉動定律剛體定軸轉動的轉動定律 2021/4/219連續(xù)體：連續(xù)體：dmrJ24.2 4.2 轉動慣量的計算轉動慣量的計算4 4轉動慣量轉動慣量4.1 4.1 轉動慣量的物理意義：轉動慣量的物理意義：剛體定軸轉動慣性大小剛體定軸轉動慣性大小 的量度。的量度。 2iirmJ分立體：分立體：

8、計算轉動慣量的三個要素計算轉動慣量的三個要素:(1):(1)總質量總質量 (2)(2)質量分質量分布布 (3)(3)轉軸的位置轉軸的位置2021/4/220(1) I (1) I 與剛體的總質量有關與剛體的總質量有關例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量LzOxdxM2020231MLdxLMxdxxILL 木木鐵鐵II4 4轉動慣量轉動慣量2021/4/221(2) (2) I I 與質量分布有關與質量分布有關例如圓環(huán)繞中心軸旋轉的轉動慣量例如圓環(huán)繞中心軸旋轉的轉動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量dlOmRRO

9、mrdrdlRdmRIRL 202022203222mRRmRdlRR rdrds 2dsdm rRmrrRmd2d222 2302022d2dRmrrRmmrIRm2021/4/222OLxdxMzLOxdxMz(3) (3) I I 與轉軸的位置有關與轉軸的位置有關20231dMLxxIL 2222121dMLxxILL 2021/4/2234.3 4.3 平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：平行軸定理：2zCJJmdiririmCOzzd2222222()(2)()0zi iiiiiiiiiii iiiiCJmrm rdm rdr dmrm dJmd2021/4/22

10、4垂直軸定理垂直軸定理:yxzJJJimOzxyxiyiri22222()zi iiiiiiiiiiiixyJmrm xym xm yJJ2021/4/225解：（解：（1 1）對對稱軸）對對稱軸dRdmldJ4421cos321212420 441418cos32mRRdRJ 例例 求質量均勻分布的半圓形薄板對（求質量均勻分布的半圓形薄板對（1 1）它的對稱）它的對稱軸；（軸；（2 2）它的直邊；（）它的直邊；（3 3）通過質心平行于直邊的軸的轉）通過質心平行于直邊的軸的轉動慣量。設圓弧直徑為動慣量。設圓弧直徑為 ，質量為，質量為 。 mRmCR)3()2() 1 (Oxy取半圓上取半圓上

11、窄條窄條為為 。dyyydmdRRlddm22cos2 )sin(cos2sinRlRydy2021/4/226（2 2）對直邊）對直邊mCR)3()2() 1 (OxyDJ設設 為整圓對直徑的轉動慣量。為整圓對直徑的轉動慣量。DJJ211因因 和和 DJJ212故有故有 21241mRJJ（3 3）對通過）對通過C且平行于直邊（且平行于直邊（2 2）232mdJJ應用平行軸定理：應用平行軸定理： ，先求質心位置：，先求質心位置：222223070. 091641mRmRmdJJ34322130RmRxdyymydRC22yRx2021/4/227 5. 5.轉動定律的應用轉動定律的應用 解題

12、要點解題要點:2021/4/228 m2 m1RR1T2T m1gFm2gT1MgT2a2021/4/229O2021/4/230COmg2021/4/231FOr(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度(2) 如以重量如以重量P =98 N的物體掛在繩的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速端，試計算飛輪的角加速解解 (1)JFr 2rad/s 239502098.JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別mgT例例求求一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉動慣量的拉力，飛輪的轉動慣量 J=0.5 kgm2，

13、飛輪與轉軸間的摩擦，飛輪與轉軸間的摩擦不計，不計， (見圖見圖)2mrJmgr22rad/s 8212010502098.2021/4/232圓盤以圓盤以 0 0 在桌面上轉動在桌面上轉動, ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止解解rrsmd2ddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d43d000gRttgRt430例例求求 到圓盤靜止所需到圓盤靜止所需時間時間取一質元取一質元由轉動定律由轉動定律摩擦力矩摩擦力矩R2021/4/233例例 一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知，轉動慣量已知，轉動慣量231mlJ ，現(xiàn)有一水平力作用于距軸為，現(xiàn)有一

14、水平力作用于距軸為 l 處處求求 軸對棒的作用力（也稱軸反力）。軸對棒的作用力（也稱軸反力）。解解 設軸對棒的作用力為設軸對棒的作用力為 NyxNN ,JFl 由質心運由質心運動定理動定理2lmmaNFcxx022lmmamgNcyy) 123(2llFFJFlmlNxmgNyl l320 xN打擊中心打擊中心質心運動定理與轉動定律聯(lián)用質心運動定理與轉動定律聯(lián)用xNyNOCmg lF質點系質點系由轉動定律由轉動定律2021/4/2342021/4/2351.1.力矩的功和功率力矩的功和功率 1.1 1.1 力矩的功力矩的功dOzP0PFrdl0AMdMddFrrdFdlFl dFdAsinsi

15、ncos2021/4/2362.2 2.2 力矩的功率力矩的功率MdtdMdtdAPMP 2021/4/2372 2剛體的轉動動能與重力勢能剛體的轉動動能與重力勢能 222221)(21)21(JrmvmEiiiiiik221JEk2.1 2.1 剛體的轉動動能剛體的轉動動能 O zrimivi2021/4/2382.2 2.2 剛體的重力勢能剛體的重力勢能 piiiiiiiiCEm ghmhmgmmghpCEmghhimi2021/4/2393.3.剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理 002201122ddddMJJJJdtddtdMdJ dJJ 0kkEEA剛體定軸轉動時合外力矩

16、對剛體所作的功等于剛體剛體定軸轉動時合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量轉動動能的增量 2021/4/240O2021/4/241解：解：2021/4/242MmkR2021/4/2432021/4/2442021/4/2451.1.剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律 zzdLMdt00zzttzLLdtM00ttMdtLL簡寫為簡寫為剛體定軸轉動的角動量定理剛體定軸轉動的角動量定理0M 000LLJJ剛體定軸轉動的角動量守恒定律剛體定軸轉動的角動量守恒定律2021/4/246 角動量守恒現(xiàn)象舉例角動量守恒現(xiàn)象舉例2021/4/247例例

17、如圖，長為如圖，長為l，質量為，質量為M的均勻細棒可饒過的均勻細棒可饒過O點的點的轉軸在豎直面內自由轉動。一質量為轉軸在豎直面內自由轉動。一質量為m的質點以的質點以初速初速v0沿水平方向運動，與靜止在豎直位置的細沿水平方向運動，與靜止在豎直位置的細棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求上擺。求（1）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度 ；（2）兩者一起上擺的最大角度）兩者一起上擺的最大角度 。Olmv02021/4/2482021/4/249例例: 半徑半徑R、質量、質量M 的水平均勻圓盤可繞通過圓心的光滑豎直的水

18、平均勻圓盤可繞通過圓心的光滑豎直軸自由轉動，其邊緣有一質量軸自由轉動，其邊緣有一質量m 的人，二者最初相對地面靜的人，二者最初相對地面靜止止求求: 當人繞盤一周時，盤對地面轉過的角度？當人繞盤一周時，盤對地面轉過的角度？解：解：（人（人+盤）關于轉軸盤）關于轉軸O 的外力矩為零，的外力矩為零， （人（人+盤）角動量守恒盤）角動量守恒xO 以逆時針為正方向，在地面參照系以逆時針為正方向，在地面參照系02122 MRmR021 Mm021 Mm且且 2 222Mmm 2021/4/2502021/4/251進動進動: 高速自旋的物體的自轉軸在空間旋進的運動高速自旋的物體的自轉軸在空間旋進的運動高速自轉的陀螺在高速自轉的陀螺在陀螺重力對支點陀螺重力對支點O 的力矩作用下發(fā)生進動的力矩作用下發(fā)生進動陀螺的角動量近似為陀螺的角動量近似為JL 角動量定理角動量定理tLMddtMLddM/Ld當當LM時時則則只改變方向，只改變方向，不改變大小不改變大小(進動進動)LOLgmMLd2021/4/252 進動角速度進動角速度所以所以1sins