對(duì)數(shù)學(xué)未來(lái)的思考

1、.對(duì)數(shù)學(xué)將來(lái)的考慮我們?nèi)匀徽驹诓粩鄶U(kuò)展的地平線的門口讓我們想象一下：Archimedes公元前287 -前212年 這位在所有時(shí)代都是最卓越數(shù)學(xué)家之一的他正在提問(wèn)：對(duì)于數(shù)學(xué)的將來(lái)你們看到了什么？這位古代數(shù)學(xué)家剛剛計(jì)算了球的外表積與體積，或者一段拋物弓形的面積，伸了伸懶腰，坐在位于西西里東海岸他家鄉(xiāng)敘古拉的沙灘上，凝視著天邊。他感到困惑：在數(shù)學(xué)上，他或者其他任何人還能再做點(diǎn)別的什么？他的最大雄心之一是要計(jì)算任意幾何體的體積和外表積；然而他還不知道該怎么下手。他使用的工具是純粹幾何的，基于希臘數(shù)學(xué)家們的數(shù)百年的研究并在他出身的數(shù)十年前由Euclid編寫(xiě)在他的名著?本來(lái)?中的那些知識(shí)。鑒于數(shù)學(xué)工具的

2、非常缺乏，局限了Archimedes 的視野。他得不出分?jǐn)?shù)相加、相乘的快捷方法。為此，人們得花上千年時(shí)間等待十進(jìn)制由印度和阿拉伯傳到歐洲并使其開(kāi)展。十進(jìn)制的引進(jìn)所帶來(lái)的符號(hào)簡(jiǎn)化在其力所能及的范圍是革命性的。 將Archimedes 留在敘拉古的沙灘上，讓他去考慮數(shù)學(xué)的將來(lái)還有些什么吧，如今我們?nèi)ピ煸LIssac Newton 爵士1642 -1727。23 歲時(shí)，當(dāng)時(shí)剛獲得劍橋大學(xué)學(xué)士學(xué)位，Newton 便被迫回家度過(guò)了18 個(gè)月光陰，因?yàn)槟菚r(shí)正值大瘟疫，使大學(xué)關(guān)了門。在這短短的時(shí)間里，Newton 有了許多根本的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理及微積分的初期形式，在物理上那么發(fā)現(xiàn)了白光的組成及萬(wàn)

3、有引力定律，如今我們?nèi)?huì)一會(huì)年事已高的Newton 并問(wèn)一問(wèn)他那個(gè)同樣對(duì)Archimedes 提出的問(wèn)題：什么是數(shù)學(xué)的將來(lái)？他可能會(huì)很快回應(yīng)道，簡(jiǎn)單的答復(fù)是，繼續(xù)建造微積分，借助于微積分，Newton 可以把任何幾何形狀的體積和外表積用積分來(lái)表示，并能計(jì)算到任意準(zhǔn)確度，這 Archimedes是所不能想象的, Newton 考慮著這樣的事實(shí)，即用萬(wàn)有引力定律和他自己的力學(xué)三根本定律他會(huì)說(shuō)我的定律，他可以以解微分方程的方法來(lái)算出運(yùn)動(dòng)物體的軌跡，而這些方程表現(xiàn)了力的平衡，那么，他自問(wèn)道我們能用微分方程去描繪其他的自然法那么，從而能以開(kāi)展解出這些方程的工具的方法來(lái)預(yù)言自然的進(jìn)程嗎？但即便是Newto

4、n的視野也不可防止地有所局限。從這時(shí)起到Gauss 1777 -1885在數(shù)論中的根本開(kāi)展花去了一百年，而到開(kāi)展微幾何的復(fù)雜性和Riemann 流形那么又多花了五十年。當(dāng)我們離現(xiàn)代越近那么將來(lái)便越容易預(yù)測(cè)了，David Hilbert1862 -1943是一位對(duì)數(shù)學(xué)的幾乎每一個(gè)領(lǐng)域都有本質(zhì)性的奉獻(xiàn)的人。他在巴黎召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)1900上列出一系列著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在這整個(gè)20 世紀(jì)對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著極大的影響，比如在數(shù)論、集合論、幾何、拓?fù)湔摷捌⒎址匠讨?。在最近的五十年中，我們親自體察了在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中的宏大進(jìn)展。在我所從事的偏微分方程PED這一領(lǐng)域中，我們?nèi)缃裼辛艘粋€(gè)宏大的知識(shí)主體，使

5、我們可以去理解，預(yù)測(cè)并計(jì)算許多重要的物理和技術(shù)過(guò)程。例如，當(dāng)我們測(cè)量一個(gè)固體的外表溫度，我們就可通過(guò)解稱之為熱傳導(dǎo)方程的偏微方程去推導(dǎo)出物體內(nèi)部的溫度，假如從外部加熱一個(gè)冰塊，它開(kāi)場(chǎng)融化，我們?cè)谖⒎址匠谭矫娴闹R(shí)使我們可以斷定融化了的體積是怎樣變化的，以及在融化了的體積中的水溫。梁桿方程同樣能預(yù)言當(dāng)承受壓縮力時(shí)一個(gè)彈性梁是如何變化。當(dāng)加在梁上的壓力超過(guò)一個(gè)臨界值時(shí)，它就會(huì)突然翹曲，形變?yōu)樵S多狀態(tài)中的一種。這種情形解釋了微分方程解的多重性。不管我們?cè)谖⒎址匠谭矫娴闹R(shí)有多么豐富，仍然有許多東西我們不知道。舉例來(lái)說(shuō)，我們不知道氣體動(dòng)力方程是否有一個(gè)數(shù)學(xué)解，這個(gè)方程是用來(lái)確定飛機(jī)周圍和發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)的氣流

6、的。我們沒(méi)有適宜的知識(shí)來(lái)處理預(yù)測(cè)水的運(yùn)動(dòng)方程的解，從而我們對(duì)海洋的渦流缺乏理解，這些及其他許多的根本問(wèn)題仍然期待得到數(shù)學(xué)的解答，在將來(lái)十年中它們?nèi)允巧罨芯康闹黝}。數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域無(wú)疑也處在同樣的不確定狀態(tài)：雖然獲得宏大進(jìn)展，仍然有許多根本問(wèn)題沒(méi)有解決。相對(duì)于早先的世紀(jì)而言我們處在一個(gè)充滿冒險(xiǎn)和刺激的地位：我們已經(jīng)開(kāi)展了許多重要的研究領(lǐng)域，已經(jīng)有了許多強(qiáng)有力的計(jì)算和理論的工具。數(shù)學(xué)家們?cè)趯?lái)許多年里可以繼續(xù)忙于用如今的工具去尋找新方法，用來(lái)解決在數(shù)學(xué)和非數(shù)學(xué)即科學(xué)和工程領(lǐng)域中出現(xiàn)的問(wèn)題。然而數(shù)學(xué)史說(shuō)明，由如今去預(yù)言長(zhǎng)遠(yuǎn)將來(lái)的發(fā)現(xiàn)是多么徒勞。確實(shí)如此，在今天難以想象的數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，會(huì)完全料想不出地

7、冒出來(lái)。 因此我不去預(yù)測(cè)下個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)的將來(lái)而在這里舉出科技中三個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域的例子，在那里數(shù)學(xué)是以誠(chéng)相待非常重要的成份出現(xiàn)的。這三個(gè)領(lǐng)域是材料科學(xué)，生命科學(xué)和數(shù)碼技術(shù)。材料科學(xué)中的數(shù)學(xué)材料科學(xué)所關(guān)心的是性質(zhì)和使用。目的是合成及制造新材料，理解并預(yù)言材料的性質(zhì)以及在一定時(shí)間段內(nèi)控制和改進(jìn)這些性質(zhì)。不久以前，材料科學(xué)還主要是在冶金，制陶和塑料業(yè)中的經(jīng)歷性研討，今天卻是個(gè)大大增長(zhǎng)的知識(shí)主體，它基于物理科學(xué)，工程及數(shù)學(xué)。所有材料的性質(zhì)最終取決于它們的原子及其組合成的分子構(gòu)造。例如，聚合體是由簡(jiǎn)單分子組合成的物質(zhì)，而這些分子是些重復(fù)的構(gòu)造單元，稱之為單體。單個(gè)的聚合體分子可以由數(shù)百至百萬(wàn)個(gè)單體構(gòu)成并具有一個(gè)

8、線性的，分枝或者網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造。聚合體的材料可以是液態(tài)也可以是固態(tài)，其性質(zhì)取決于加工它的方式譬如，先加熱，逐漸冷卻，高壓。聚合體的交織纏繞的排列提出了一個(gè)困難的建模問(wèn)題。但是，在一些領(lǐng)域中數(shù)學(xué)模型已經(jīng)表現(xiàn)得相當(dāng)可靠，這些模型非常復(fù)雜，故而迄今只獲得很少幾個(gè)結(jié)果，它們對(duì)聚合體加工可能有用，聚合體的較簡(jiǎn)單但卻更表象的模型是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，但附加了要記憶的一些條件。對(duì)材料科學(xué)家來(lái)說(shuō)，解的穩(wěn)定性與奇點(diǎn)是重要的結(jié)果，但甚至對(duì)于這些較簡(jiǎn)單的模型仍缺少數(shù)學(xué)。 復(fù)合材料的研究是另一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域，假如我們?cè)谝环N材料顆粒中攙入另一種材料，得到一種復(fù)合材料而其顯示的性質(zhì)可能根本不同于組成它的那些材料，例如汽車

9、公司將鋁與硅碳粒子相混合以得到重量輕的鋼的替代物。帶有磁性粒子充電粒子的氣流能進(jìn)步汽車的制動(dòng)氣流和防撞裝置的效果。最近十年來(lái)，數(shù)學(xué)家們?cè)诜汉治?，PDE及數(shù)值分析中開(kāi)展了新的工具，使他們可以估計(jì)或計(jì)算混合物的有效性質(zhì)。但是新復(fù)合物的數(shù)目不斷增長(zhǎng)，同時(shí)新的材料也不斷被開(kāi)發(fā)出來(lái)，迄今所獲得的數(shù)學(xué)成就只能看作一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的開(kāi)場(chǎng)。甚至對(duì)已經(jīng)研究了好些年的標(biāo)準(zhǔn)材料仍面臨著大量的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。例如，當(dāng)一個(gè)均勻的彈性體在承受高壓時(shí)會(huì)破裂。破裂是從何處又是怎樣開(kāi)場(chǎng)的，它們是怎樣擴(kuò)展的，何時(shí)它們分裂成許多裂片，這些都是有待研究的問(wèn)題。生物學(xué)中的數(shù)學(xué)在生物學(xué)和醫(yī)藥科學(xué)中也出現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型, 炒得很熱的基因方案的一些重要

10、方面需要統(tǒng)計(jì), 模型識(shí)別以及大范圍優(yōu)化法 雖不太熱卻是長(zhǎng)期挑戰(zhàn)的是生物學(xué)其他領(lǐng)域中的進(jìn)展, 比方在生理學(xué)方面, 拿腎臟作個(gè)例子吧, 腎的功能是以保持危險(xiǎn)物質(zhì) 如鹽 濃度的理想程度來(lái)標(biāo)準(zhǔn)血液的組成。假如一個(gè)人攝入了過(guò)多的鹽，腎就必須排出鹽濃度高于血液中所含濃度的尿液。在腎的四周上有上百萬(wàn)個(gè)小管，稱作腎單位，負(fù)有從血液中吸收鹽份轉(zhuǎn)入腎中的職責(zé)，他們是通過(guò)與血管接觸的一種傳輸過(guò)程來(lái)完成的，在這個(gè)過(guò)程中浸透壓力過(guò)濾起了作用。生物學(xué)家已把這過(guò)程涉及到的物質(zhì)與人體組織視為一體了，但過(guò)程的準(zhǔn)確過(guò)程卻還只是勉強(qiáng)弄明白了。腎臟的運(yùn)作過(guò)程的一個(gè)初級(jí)數(shù)學(xué)模型，雖然簡(jiǎn)單，卻已經(jīng)幫助說(shuō)明了尿的形成以及腎臟做出的抉擇，比

11、方是排出一大泡稀釋的尿還是一小泡濃縮的尿，然而我們僅僅是在理解這種機(jī)理的非常初級(jí)的階段。一個(gè)更加完全的模型可能會(huì)包含 PDE 、 隨機(jī)方程、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、濾波論及控制論，或許還有一些我們尚不具備的工具。心臟力學(xué)、鈣骨力學(xué)、聽(tīng)覺(jué)過(guò)程、細(xì)胞的附著與游離對(duì)生物過(guò)程是非常重要的，如發(fā)炎與傷口愈合以及生物流體biofluids是生理學(xué)中其他一些學(xué)科，在那里現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究已經(jīng)獲得了一些成就；更多的成就會(huì)隨后而至。數(shù)學(xué)將要獲得重要進(jìn)展的其他領(lǐng)域，包括有一般性的生長(zhǎng)過(guò)程和特殊的胚胎學(xué)、細(xì)胞染色、免疫學(xué)、反復(fù)出現(xiàn)的傳染病，還有環(huán)保工程如植物中的大范圍現(xiàn)象及動(dòng)物群體性的建模。當(dāng)然我們決不能忘記還有人類的大腦，

12、自然界最棒的計(jì)算機(jī)，還有它所具有的感覺(jué)神經(jīng)元、動(dòng)作神經(jīng)元以及感情和夢(mèng)想！多媒體中的數(shù)學(xué)大約五十年前建成了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)，從而開(kāi)場(chǎng)了一場(chǎng)可從外表上看1760 年到1840年發(fā)生在英國(guó)的產(chǎn)業(yè)革命相匹比的計(jì)算機(jī)革命。我們?nèi)缃裼H自證實(shí)了這場(chǎng)計(jì)算機(jī)革命的完全沖擊：在商業(yè)、制造業(yè)、保健機(jī)構(gòu)及工程業(yè)，與計(jì)算和通訊技術(shù)的進(jìn)步相配的是數(shù)字信息的萌芽狀態(tài)，它已為多媒體鋪出了一條路，其產(chǎn)品包括了文字圖像、電影、錄像、音樂(lè)、照像、繪畫(huà)、卡通、數(shù)據(jù)、游戲及多媒體軟件，所有這些都由一個(gè)單獨(dú)站址發(fā)送。多媒體的數(shù)學(xué)包括了一個(gè)大范圍的研究領(lǐng)域，它包含有計(jì)算機(jī)可視化，圖像處理，語(yǔ)音識(shí)別及語(yǔ)言理解、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和新型網(wǎng)絡(luò)。這些會(huì)有

13、廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用于制造業(yè)、商業(yè)、銀行業(yè)、醫(yī)療診斷、信息及可視化，還有娛樂(lè)業(yè)，這只點(diǎn)出了幾個(gè)而已。多媒體中的數(shù)學(xué)工具可能包括隨機(jī)過(guò)程、Marko 場(chǎng)、統(tǒng)計(jì)模型、決策論、PDE 、數(shù)值分析、圖論、圖表算法、圖象分析及小波等。還有其他一些領(lǐng)域中的一些，目前似乎還處在某種程度的監(jiān)護(hù)下，如人造生命和虛擬世界。 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)正在成為許多工業(yè)部門的強(qiáng)大工具：完全在計(jì)算機(jī)上設(shè)計(jì)，在鍵盤上一敲后產(chǎn)品便在遠(yuǎn)處的工廠里實(shí)現(xiàn)了。這種技術(shù)能成為數(shù)學(xué)家進(jìn)展研究的工具嗎？萬(wàn)維網(wǎng)WWW已經(jīng)成為多媒體最強(qiáng)勁的動(dòng)力。它將來(lái)的輝煌取決于許多新的數(shù)學(xué)思想和算法的開(kāi)展，目前仍處在孩提時(shí)期。隨著多媒體技術(shù)的擴(kuò)展，對(duì)于保護(hù)私人數(shù)據(jù)的通訊

14、文本的需要也與日俱增。開(kāi)展一個(gè)更加平安的密碼系統(tǒng)就是數(shù)學(xué)家們的任務(wù)了。為此，他們必定要借助于在數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何及動(dòng)力系統(tǒng)方面的新進(jìn)展，當(dāng)然還有其他一些領(lǐng)域。在物質(zhì)的與生命的科學(xué)和在技術(shù)的開(kāi)展中，數(shù)學(xué)繼續(xù)起著與日俱增的重要作用。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開(kāi)死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫(xiě)作程度,單靠分析文章的寫(xiě)作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積

15、月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模擬。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽(tīng)，在反復(fù)傾聽(tīng)中體驗(yàn)、品味。正如Archimedes 站在敘拉古的海灘上一樣，這里我們正站在一個(gè)新世紀(jì)和一個(gè)新千年的門檻上。我們只能推測(cè)，新的理論最終會(huì)解決一切向數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的問(wèn)題，無(wú)論它是來(lái)自我們生活的世界還是來(lái)自數(shù)學(xué)本身。在過(guò)去的幾個(gè)民紀(jì)里我們獲得了驚人的大量知識(shí)，但正如Archimedes 和Newton 一樣，我們?nèi)匀辉诓粩鄶U(kuò)展的數(shù)學(xué)地平線的門口。“教書(shū)先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書(shū)先生那一行當(dāng)怎么說(shuō)也算是讓國(guó)人景仰甚或敬畏的一種社會(huì)職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書(shū)，最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識(shí)