對數(shù)學(xué)未來的思考

1、.對數(shù)學(xué)將來的考慮我們?nèi)匀徽驹诓粩鄶U(kuò)展的地平線的門口讓我們想象一下：Archimedes公元前287 -前212年 這位在所有時代都是最卓越數(shù)學(xué)家之一的他正在提問：對于數(shù)學(xué)的將來你們看到了什么？這位古代數(shù)學(xué)家剛剛計算了球的外表積與體積，或者一段拋物弓形的面積，伸了伸懶腰，坐在位于西西里東海岸他家鄉(xiāng)敘古拉的沙灘上，凝視著天邊。他感到困惑：在數(shù)學(xué)上，他或者其他任何人還能再做點(diǎn)別的什么？他的最大雄心之一是要計算任意幾何體的體積和外表積；然而他還不知道該怎么下手。他使用的工具是純粹幾何的，基于希臘數(shù)學(xué)家們的數(shù)百年的研究并在他出身的數(shù)十年前由Euclid編寫在他的名著?本來?中的那些知識。鑒于數(shù)學(xué)工具的

2、非常缺乏，局限了Archimedes 的視野。他得不出分?jǐn)?shù)相加、相乘的快捷方法。為此，人們得花上千年時間等待十進(jìn)制由印度和阿拉伯傳到歐洲并使其開展。十進(jìn)制的引進(jìn)所帶來的符號簡化在其力所能及的范圍是革命性的。 將Archimedes 留在敘拉古的沙灘上，讓他去考慮數(shù)學(xué)的將來還有些什么吧，如今我們?nèi)ピ煸LIssac Newton 爵士1642 -1727。23 歲時，當(dāng)時剛獲得劍橋大學(xué)學(xué)士學(xué)位，Newton 便被迫回家度過了18 個月光陰，因?yàn)槟菚r正值大瘟疫，使大學(xué)關(guān)了門。在這短短的時間里，Newton 有了許多根本的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)上他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理及微積分的初期形式，在物理上那么發(fā)現(xiàn)了白光的組成及萬

3、有引力定律，如今我們?nèi)粫晔乱迅叩腘ewton 并問一問他那個同樣對Archimedes 提出的問題：什么是數(shù)學(xué)的將來？他可能會很快回應(yīng)道，簡單的答復(fù)是，繼續(xù)建造微積分，借助于微積分，Newton 可以把任何幾何形狀的體積和外表積用積分來表示，并能計算到任意準(zhǔn)確度，這 Archimedes是所不能想象的, Newton 考慮著這樣的事實(shí)，即用萬有引力定律和他自己的力學(xué)三根本定律他會說我的定律，他可以以解微分方程的方法來算出運(yùn)動物體的軌跡，而這些方程表現(xiàn)了力的平衡，那么，他自問道我們能用微分方程去描繪其他的自然法那么，從而能以開展解出這些方程的工具的方法來預(yù)言自然的進(jìn)程嗎？但即便是Newto

4、n的視野也不可防止地有所局限。從這時起到Gauss 1777 -1885在數(shù)論中的根本開展花去了一百年，而到開展微幾何的復(fù)雜性和Riemann 流形那么又多花了五十年。當(dāng)我們離現(xiàn)代越近那么將來便越容易預(yù)測了，David Hilbert1862 -1943是一位對數(shù)學(xué)的幾乎每一個領(lǐng)域都有本質(zhì)性的奉獻(xiàn)的人。他在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會1900上列出一系列著名的數(shù)學(xué)問題，在這整個20 世紀(jì)對各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著極大的影響，比如在數(shù)論、集合論、幾何、拓?fù)湔摷捌⒎址匠讨?。在最近的五十年中，我們親自體察了在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域中的宏大進(jìn)展。在我所從事的偏微分方程PED這一領(lǐng)域中，我們?nèi)缃裼辛艘粋€宏大的知識主體，使

5、我們可以去理解，預(yù)測并計算許多重要的物理和技術(shù)過程。例如，當(dāng)我們測量一個固體的外表溫度，我們就可通過解稱之為熱傳導(dǎo)方程的偏微方程去推導(dǎo)出物體內(nèi)部的溫度，假如從外部加熱一個冰塊，它開場融化，我們在微分方程方面的知識使我們可以斷定融化了的體積是怎樣變化的，以及在融化了的體積中的水溫。梁桿方程同樣能預(yù)言當(dāng)承受壓縮力時一個彈性梁是如何變化。當(dāng)加在梁上的壓力超過一個臨界值時，它就會突然翹曲，形變?yōu)樵S多狀態(tài)中的一種。這種情形解釋了微分方程解的多重性。不管我們在微分方程方面的知識有多么豐富，仍然有許多東西我們不知道。舉例來說，我們不知道氣體動力方程是否有一個數(shù)學(xué)解，這個方程是用來確定飛機(jī)周圍和發(fā)動機(jī)內(nèi)的氣流

6、的。我們沒有適宜的知識來處理預(yù)測水的運(yùn)動方程的解，從而我們對海洋的渦流缺乏理解，這些及其他許多的根本問題仍然期待得到數(shù)學(xué)的解答，在將來十年中它們?nèi)允巧罨芯康闹黝}。數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域無疑也處在同樣的不確定狀態(tài)：雖然獲得宏大進(jìn)展，仍然有許多根本問題沒有解決。相對于早先的世紀(jì)而言我們處在一個充滿冒險和刺激的地位：我們已經(jīng)開展了許多重要的研究領(lǐng)域，已經(jīng)有了許多強(qiáng)有力的計算和理論的工具。數(shù)學(xué)家們在將來許多年里可以繼續(xù)忙于用如今的工具去尋找新方法，用來解決在數(shù)學(xué)和非數(shù)學(xué)即科學(xué)和工程領(lǐng)域中出現(xiàn)的問題。然而數(shù)學(xué)史說明，由如今去預(yù)言長遠(yuǎn)將來的發(fā)現(xiàn)是多么徒勞。確實(shí)如此，在今天難以想象的數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，會完全料想不出地

7、冒出來。 因此我不去預(yù)測下個世紀(jì)數(shù)學(xué)的將來而在這里舉出科技中三個關(guān)鍵領(lǐng)域的例子，在那里數(shù)學(xué)是以誠相待非常重要的成份出現(xiàn)的。這三個領(lǐng)域是材料科學(xué)，生命科學(xué)和數(shù)碼技術(shù)。材料科學(xué)中的數(shù)學(xué)材料科學(xué)所關(guān)心的是性質(zhì)和使用。目的是合成及制造新材料，理解并預(yù)言材料的性質(zhì)以及在一定時間段內(nèi)控制和改進(jìn)這些性質(zhì)。不久以前，材料科學(xué)還主要是在冶金，制陶和塑料業(yè)中的經(jīng)歷性研討，今天卻是個大大增長的知識主體，它基于物理科學(xué)，工程及數(shù)學(xué)。所有材料的性質(zhì)最終取決于它們的原子及其組合成的分子構(gòu)造。例如，聚合體是由簡單分子組合成的物質(zhì)，而這些分子是些重復(fù)的構(gòu)造單元，稱之為單體。單個的聚合體分子可以由數(shù)百至百萬個單體構(gòu)成并具有一個

8、線性的，分枝或者網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造。聚合體的材料可以是液態(tài)也可以是固態(tài)，其性質(zhì)取決于加工它的方式譬如，先加熱，逐漸冷卻，高壓。聚合體的交織纏繞的排列提出了一個困難的建模問題。但是，在一些領(lǐng)域中數(shù)學(xué)模型已經(jīng)表現(xiàn)得相當(dāng)可靠，這些模型非常復(fù)雜，故而迄今只獲得很少幾個結(jié)果，它們對聚合體加工可能有用，聚合體的較簡單但卻更表象的模型是基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，但附加了要記憶的一些條件。對材料科學(xué)家來說，解的穩(wěn)定性與奇點(diǎn)是重要的結(jié)果，但甚至對于這些較簡單的模型仍缺少數(shù)學(xué)。 復(fù)合材料的研究是另一個運(yùn)用數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域，假如我們在一種材料顆粒中攙入另一種材料，得到一種復(fù)合材料而其顯示的性質(zhì)可能根本不同于組成它的那些材料，例如汽車

9、公司將鋁與硅碳粒子相混合以得到重量輕的鋼的替代物。帶有磁性粒子充電粒子的氣流能進(jìn)步汽車的制動氣流和防撞裝置的效果。最近十年來，數(shù)學(xué)家們在泛函分析，PDE及數(shù)值分析中開展了新的工具，使他們可以估計或計算混合物的有效性質(zhì)。但是新復(fù)合物的數(shù)目不斷增長，同時新的材料也不斷被開發(fā)出來，迄今所獲得的數(shù)學(xué)成就只能看作一個相當(dāng)不錯的開場。甚至對已經(jīng)研究了好些年的標(biāo)準(zhǔn)材料仍面臨著大量的數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)。例如，當(dāng)一個均勻的彈性體在承受高壓時會破裂。破裂是從何處又是怎樣開場的，它們是怎樣擴(kuò)展的，何時它們分裂成許多裂片，這些都是有待研究的問題。生物學(xué)中的數(shù)學(xué)在生物學(xué)和醫(yī)藥科學(xué)中也出現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型, 炒得很熱的基因方案的一些重要

10、方面需要統(tǒng)計, 模型識別以及大范圍優(yōu)化法 雖不太熱卻是長期挑戰(zhàn)的是生物學(xué)其他領(lǐng)域中的進(jìn)展, 比方在生理學(xué)方面, 拿腎臟作個例子吧, 腎的功能是以保持危險物質(zhì) 如鹽 濃度的理想程度來標(biāo)準(zhǔn)血液的組成。假如一個人攝入了過多的鹽，腎就必須排出鹽濃度高于血液中所含濃度的尿液。在腎的四周上有上百萬個小管，稱作腎單位，負(fù)有從血液中吸收鹽份轉(zhuǎn)入腎中的職責(zé)，他們是通過與血管接觸的一種傳輸過程來完成的，在這個過程中浸透壓力過濾起了作用。生物學(xué)家已把這過程涉及到的物質(zhì)與人體組織視為一體了，但過程的準(zhǔn)確過程卻還只是勉強(qiáng)弄明白了。腎臟的運(yùn)作過程的一個初級數(shù)學(xué)模型，雖然簡單，卻已經(jīng)幫助說明了尿的形成以及腎臟做出的抉擇，比

11、方是排出一大泡稀釋的尿還是一小泡濃縮的尿，然而我們僅僅是在理解這種機(jī)理的非常初級的階段。一個更加完全的模型可能會包含 PDE 、 隨機(jī)方程、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、濾波論及控制論，或許還有一些我們尚不具備的工具。心臟力學(xué)、鈣骨力學(xué)、聽覺過程、細(xì)胞的附著與游離對生物過程是非常重要的，如發(fā)炎與傷口愈合以及生物流體biofluids是生理學(xué)中其他一些學(xué)科，在那里現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究已經(jīng)獲得了一些成就；更多的成就會隨后而至。數(shù)學(xué)將要獲得重要進(jìn)展的其他領(lǐng)域，包括有一般性的生長過程和特殊的胚胎學(xué)、細(xì)胞染色、免疫學(xué)、反復(fù)出現(xiàn)的傳染病，還有環(huán)保工程如植物中的大范圍現(xiàn)象及動物群體性的建模。當(dāng)然我們決不能忘記還有人類的大腦，

12、自然界最棒的計算機(jī)，還有它所具有的感覺神經(jīng)元、動作神經(jīng)元以及感情和夢想！多媒體中的數(shù)學(xué)大約五十年前建成了第一臺計算機(jī)，從而開場了一場可從外表上看1760 年到1840年發(fā)生在英國的產(chǎn)業(yè)革命相匹比的計算機(jī)革命。我們?nèi)缃裼H自證實(shí)了這場計算機(jī)革命的完全沖擊：在商業(yè)、制造業(yè)、保健機(jī)構(gòu)及工程業(yè)，與計算和通訊技術(shù)的進(jìn)步相配的是數(shù)字信息的萌芽狀態(tài)，它已為多媒體鋪出了一條路，其產(chǎn)品包括了文字圖像、電影、錄像、音樂、照像、繪畫、卡通、數(shù)據(jù)、游戲及多媒體軟件，所有這些都由一個單獨(dú)站址發(fā)送。多媒體的數(shù)學(xué)包括了一個大范圍的研究領(lǐng)域，它包含有計算機(jī)可視化，圖像處理，語音識別及語言理解、計算機(jī)輔助設(shè)計和新型網(wǎng)絡(luò)。這些會有

13、廣泛的應(yīng)用，應(yīng)用于制造業(yè)、商業(yè)、銀行業(yè)、醫(yī)療診斷、信息及可視化，還有娛樂業(yè)，這只點(diǎn)出了幾個而已。多媒體中的數(shù)學(xué)工具可能包括隨機(jī)過程、Marko 場、統(tǒng)計模型、決策論、PDE 、數(shù)值分析、圖論、圖表算法、圖象分析及小波等。還有其他一些領(lǐng)域中的一些，目前似乎還處在某種程度的監(jiān)護(hù)下，如人造生命和虛擬世界。 計算機(jī)輔助設(shè)計正在成為許多工業(yè)部門的強(qiáng)大工具：完全在計算機(jī)上設(shè)計，在鍵盤上一敲后產(chǎn)品便在遠(yuǎn)處的工廠里實(shí)現(xiàn)了。這種技術(shù)能成為數(shù)學(xué)家進(jìn)展研究的工具嗎？萬維網(wǎng)WWW已經(jīng)成為多媒體最強(qiáng)勁的動力。它將來的輝煌取決于許多新的數(shù)學(xué)思想和算法的開展，目前仍處在孩提時期。隨著多媒體技術(shù)的擴(kuò)展，對于保護(hù)私人數(shù)據(jù)的通訊

14、文本的需要也與日俱增。開展一個更加平安的密碼系統(tǒng)就是數(shù)學(xué)家們的任務(wù)了。為此，他們必定要借助于在數(shù)論、離散數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何及動力系統(tǒng)方面的新進(jìn)展，當(dāng)然還有其他一些領(lǐng)域。在物質(zhì)的與生命的科學(xué)和在技術(shù)的開展中，數(shù)學(xué)繼續(xù)起著與日俱增的重要作用。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點(diǎn)時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積

15、月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采用范讀，讓幼兒學(xué)習(xí)、模擬。如領(lǐng)讀，我讀一句，讓幼兒讀一句，邊讀邊記；第二通讀，我大聲讀，我大聲讀，幼兒小聲讀，邊學(xué)邊仿；第三賞讀，我借用錄好配朗讀磁帶，一邊放錄音，一邊幼兒反復(fù)傾聽，在反復(fù)傾聽中體驗(yàn)、品味。正如Archimedes 站在敘拉古的海灘上一樣，這里我們正站在一個新世紀(jì)和一個新千年的門檻上。我們只能推測，新的理論最終會解決一切向數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的問題，無論它是來自我們生活的世界還是來自數(shù)學(xué)本身。在過去的幾個民紀(jì)里我們獲得了驚人的大量知識，但正如Archimedes 和Newton 一樣，我們?nèi)匀辉诓粩鄶U(kuò)展的數(shù)學(xué)地平線的門口。“教書先生恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書先生那一行當(dāng)怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識