必修五基本不等式講義

1、WORD格式3.4根本不等式abab2一、根本不等式：abab21、重要不等式：a2b22ab(a、bR)當(dāng)且僅當(dāng)“ a b時“成立。注意： 1不等式成立的條件是“a b，如果 a 、b不相等，那么“不成立； 2不等式的變形： a ba2b2 a b ( ab )2a 2b 2 ( a b ) 2ab22222222( a b ) ( a b)2、根本不等式：a bab當(dāng)且僅當(dāng)“ a b時“成立。( a、 b R )2注意： 1內(nèi)容：a 0， b 0，當(dāng)且僅當(dāng)“ a b時“成立； 2其中ab 叫做正2數(shù) a 、b的算術(shù)平均數(shù)，ab 叫做正數(shù) a 、b的幾何平均數(shù)，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它

2、們的幾何平均數(shù)。例 1：求證對于任意實(shí)數(shù)a ，b，c，有 a 2b2c2 a bbcc a ，當(dāng)且僅當(dāng) a bc時等號成立。a2 b22ab c2 b2 2bca2c2 2ac【證明】：222222 2(a b c ) 2ab 2bc 2ac ，a b c abbc ca當(dāng)且僅當(dāng) ab c 時等號成立。變式練習(xí) 1：假設(shè)0a1，0b1，且ab，那么ab，2ab ，2 a b， a 2b2中最大的一個是A ：a2b2B ： 2 abC： 2 a bD：a b變式練習(xí) 2：以下不等式：1x12；2x12；3假設(shè)0a1b，那么*log ablog ba 2；4假設(shè) 0a 1 b，logab log

3、ba 2。其中正確的選項(xiàng)是_。均值不等式推廣：2ab a ba2b 22211ab調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)平方平均數(shù)當(dāng)僅且當(dāng)“ a b時“成立。專業(yè)資料整理WORD格式1專業(yè)資料整理WORD格式二、最值定理 x、y 都是正數(shù)。1如果積 xy 是定值 P，那么當(dāng) x y 時，和 x y 有最小值 2P ，即xy2xy ；2如果和 x y 就定值 S，那么 xy 時，積 xy 有最大值S2，即 xy(x y)2。42利用根本不等式必須滿足三個條件： “一正、“二定、“三取等。應(yīng)用一：求最值例 2：函數(shù) f(x) 3x12 (x 0)x1當(dāng) x 0 時，求函數(shù)的最值； 2當(dāng) x 0 時，求函數(shù)

4、的最值；【解析】：1當(dāng) x 0 時， f(x) 3x12 23x 1212xx當(dāng)且僅當(dāng) 3x12，即 x 2 時，“成立。x2當(dāng) x 0 時， x 0， f(x) 3x12 ( 3x12) 23x12 12，xxx當(dāng)且僅當(dāng) 3x12時，即 x 2 時，“成立。x變式練習(xí) ：求以下函數(shù)的最值1 y 3x212 yx12x 2x應(yīng)用二：湊項(xiàng)例 3： x5，求函數(shù) f(x) 4x 21的最大值。44x5【解析】：解：因4x50 ，所以首先要“調(diào)整符號，又(4 x1不是常數(shù)，所以2)4x5對 4x2 要進(jìn)展拆、湊項(xiàng)，x515 4 x132 3 1, 5 4 x 0 ，y 4 x 244 x 55 4

5、x當(dāng)且僅當(dāng) 5 4x1，即 x 1 時，上式等號成立，故當(dāng)x1 時，ymax1。54x變式練習(xí) 1：f(x)x1 x (x 3)的最小值為 _ 。3專業(yè)資料整理WORD格式2專業(yè)資料整理WORD格式例 4：當(dāng) 0 x 4 時，求 f(x) x(8 2x )的最大值。【解析】：當(dāng)，即 x2 時取等號當(dāng) x2 時，yx(8 2x) 的最大值為8。變式練習(xí) 1：設(shè)03，求函數(shù) y4 x(32x) 的最大值。x2【解析】：0 x32x0 322 2x2 y 4x(32x)22x(32x)32x922當(dāng)且僅當(dāng) 2x32x, 即 x30, 3時等號成立。42變式練習(xí) 2： 0x2x(2 3x)的最大值。，

6、求函數(shù) f(x) 3應(yīng)用三： 別離例 5：假設(shè) x 0，求函數(shù) f(x)x的最值。3xx 21變式練習(xí) 1：當(dāng)x0時，那么f(x)2x的最大值為 _。2x1變式練習(xí) 2：x1，求函數(shù)f(x)x27 x 10 的最小值。x 1【解析】：當(dāng), 即時 , y2 x1)4當(dāng)且僅當(dāng) x 1時取“號。5 9x 1變式練習(xí) 3：假設(shè)對任意x0，x a 恒成立，那么 a 的取值X圍為 _。23xx1應(yīng)用四：整體代換例 6：x0, y0 ，且211 ，那么xy 的最小值是_。xy專業(yè)資料整理WORD格式3專業(yè)資料整理WORD格式變式練習(xí) 1：x0，y0，且2xy1，那么11 的最小值為_。xy變式練習(xí) 2：x0

7、, y0 ，且212 ，那么xy 的最小值是_。xy變式練習(xí) 3：假設(shè)函數(shù)f(x)ax 22 (a0，a1)的圖象恒過點(diǎn)A ，假設(shè)點(diǎn) A 在直線 mx ny1 0，其中 m、 n 均大于 0，那么12的最小值為 _ 。mn變式練習(xí) 4：設(shè)x0，y0且x2y2xy0，假設(shè)x2ym0恒成立，那么實(shí)數(shù)m 的取值X圍是 _。【解析】： x 2y 2xy 0，11 1， 那么 (x 2y)(1 1) 4，故 m 42 yx2 yx變式練習(xí) 5：an 滿足a20212a2021 3 a2021 ，假設(shè)存在不同的兩項(xiàng)ap、正項(xiàng)等比數(shù)列a m使得a p am33×a114，那么m的最小值是 _。p【

8、解析】： 116應(yīng)用四：條件最值例 7：假設(shè)實(shí)數(shù)滿足a b2 ，那么3a3b的最小值是_?！窘馕觥浚?3a和3b 都是 ab2正數(shù)，3a3b23a3b23ab6當(dāng) 3a3b時等號成立，由a b2 及3a3b得ab1 即當(dāng) ab1時，3a3b的最小值是 6。變式練習(xí) 1：假設(shè)log4xlog 4y11x， y 的值。2 ，求的最小值，并求xy【解析】： log4x log 4y log4(x× y) 2， x× y1611 xy x yxyxy162xy 1，當(dāng)且僅當(dāng)xy4時“成立。162專業(yè)資料整理WORD格式4專業(yè)資料整理WORD格式變式練習(xí)2：函數(shù)f(x) 4xa(x

9、0，a 0) 在 x 3 時取得最小值，那么a x_。【解析】： 6變式練習(xí)3：設(shè)x0，y0，z0，且xyz1，假設(shè)1 xy m 0 恒成立，xyz那么實(shí)數(shù) m 的取值X圍是 _。【解析】：1 xy m 0 恒成立， 那么x1 xym 恒成立， 那么令 f(x) 1x yzyzx y x y xy z xy 1z xy 3，故 m 3。zxyzxyz應(yīng)用五：換元例 8：求函數(shù) f(x) x 25x 2的最值。4【解析】： f (x) x241 x241x24x 24 不能用均值不等式：x24 14 2， 當(dāng)且僅當(dāng)x 24 14，即：x2x 2x24 1， x2 1，此時 x 沒有實(shí)數(shù)解。 f

10、(x) x241 x24 1令x24 t ( t2)x24x24 f (t ) t1( t 2 )函數(shù) f(t ) 在t2,上單調(diào)遞增。當(dāng) t 2時， f(t) 有最小值5即2x 24 2，x0，f(x)min52專業(yè)資料整理WORD格式變式練習(xí) 1：求函數(shù)f(x)的值域。x29x21專業(yè)資料整理WORD格式變 式 練 習(xí)2 ：求 函 數(shù)f(x) sin x2, x(0,) 的最小值。sin x專業(yè)資料整理WORD格式5專業(yè)資料整理WORD格式課后綜合練習(xí)1ab1ab2ab； 2aab b；3a2、設(shè)是正實(shí)數(shù)，以下不等式： a bb2 4 a b 3b2； 4a b2 2。恒成立的序號為abA

11、 ： 1 3；B： 14；C： 2 3；D：2 4【解析】：D 1 2aba b 3a2 3b2 b2 4 a ba2 4b2 4a b 4 a b 4 a b 0；2、假設(shè)a、 b 均大于 1 的正整數(shù)，且a b100，那么lg a ×lgb的最大值是A ： 0B： 1C： 2D：52【解析】：B3、假設(shè) x 0，那么 x4 的最小值是xA ： 2B： 3C：2 2D： 4【解析】：D4、 0 x 1，那么 x(3 3x)取得最大值時x 的值為1B ：132A ：2C：D：343【解析】：C5、設(shè)a 0，b 0 假設(shè)3 是 3a與3b的等比中項(xiàng)，那么1 1的最小值ab1A：8B：4

12、C：1D：4【解析】：B6、函數(shù) f(x) x 22x 2_ 。x(x 1)圖象的最低點(diǎn)坐標(biāo)是1【解析】： (0， 2)2 2 a x 2b 的零點(diǎn)，那么a b 的最大值為 _。7、假設(shè)a 0，b 0，且 x 1 是函數(shù) f(x) 12x【解析】： 98、假設(shè)正數(shù)a、 b 滿足a ba b 3，求a b 的取值X圍?！窘馕觥浚?a b92y 21 y29、 x 0， y0，且 x 1，求 x的最大值。2【解析】： 32410、不等式2 a x a 20的解集為(，x1)(x2， )，其中 x 0 x ，那么x12x1x222 的最大值為x1x2專業(yè)資料整理WORD格式6專業(yè)資料整理WORD格式

13、A ：3B ：0C： 2D：322【解析】： x1 0x2， x1× x2a 2 0 x1 x222 x1 x22( x1x2 )x1x2x2 x1 a 2a a 2a440a2211、如圖， 在 ABC 中， D 為 BC 的中點(diǎn)， E 為 AD 上任一點(diǎn)， 且BEABA BC ，那么1 1的最小值為 _。E【解析】： 32 2BDC12、假設(shè)兩個正實(shí)數(shù)x， y 滿足14 1，且不等式 xy m2 3m 有解，那么實(shí)數(shù)m 的取xy4值X圍是 ()A ： ( 1，4)B ：( ， 1) (4，) C： ( 4， 1)D： ( ， 0) (3，)y2y214【解析】：選 B 不等式x4

14、<m 3m有解，x4minm3m，x 0，y 0，且xy1xyxy144x y24x·y244 y ，即x2，y，4xy 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) x4y4xy4xy4x8時取等號，xymin4，234，即 (1)( 4) 0，解得1或 4，4mmmmmm故實(shí)數(shù) m的取值X圍是(，1)(4，)13、某工廠擬建一座平面圖為矩形，且面積為400 平方米的三級污水處理池，如下列圖，池外圈造價為每米 200 元，中間兩條隔墻造價為每米250 元，池底造價為每平方米80 元 (池壁的厚度忽略不計，且池?zé)o蓋).假設(shè)使水池的總造價最低，那么污水池的長和寬分別為()專業(yè)資料整理WORD格式40A：40 米， 10 米B：20 米， 20 米C：30 米，3米 D：50米，