第19講幾何模型應(yīng)用題

1、.1知識梳理高考速遞典例精析幾何模型應(yīng)用題第十九講.2知識梳理 1、解決幾何應(yīng)用問題時，要善于抓住問題的實質(zhì)，通過建立數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)應(yīng)用性問題向數(shù)學(xué)問題的順利轉(zhuǎn)化； 2、要注意認(rèn)真分析數(shù)量間的關(guān)系，緊扣常用的幾何概念，充分利用圖形的幾何性質(zhì)，確定正確的解決問題的徑，靈活運用解幾何問題的常用數(shù)學(xué)方法，最終得到完整的解答.3高考速遞 (2008上海卷上海卷)某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面(視為平面)上有一淺水區(qū)(含邊界)，其邊界是長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為 、 ，且兩個導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上，現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域(船只的大小忽略不

2、計)，在船上測得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為 、 ，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是 .1h2h1221122cotcotahh答案:.4高考速遞正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點P任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號是 (寫出所有真命題的代號).2. (2008江西卷江西卷)如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P.如果將容器倒置，水面也恰好過點P(如圖2).有下列四個命題：p圖1p圖2.5【分析】 首先抽象為數(shù)學(xué)問

3、題，半圓中的點可分為三類：(1)沿AP到P較近；(2)沿BP到P較近；(3)沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn).顯然，第三類點是第一、二類的分界點，設(shè)M是分界線上的任意一點.則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.從而發(fā)現(xiàn)第三類點M滿足性質(zhì)：點M到點A與點B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點M在以A、B為焦點的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程. 典例精析例例1 某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運到P處(如右圖所示).已知PA=100 m，PB=150 m，APB=60，試說明怎樣運土

4、最省工.ABP.6以AB所在直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標(biāo)系 xoy，設(shè)M (x，y)是沿AP、BP運土同樣遠(yuǎn)的點，則|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，所以|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.在PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|PB|cos60=17500，且50|AB|.【解析】【解析】0APBMyx.7于是運土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運到P處,右側(cè)的土沿BP運到P處最省工.由雙曲線定義知點M在以A、B為焦點的雙曲線右支上，2222417500250cacab226 2 53 7 5 0ab則 , 解得 22221xyab設(shè)此雙

5、曲線方程為 (a0，b0).221256253750 xyx所以點M的軌跡是在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧.0APBMyx.8回顧與反思回顧與反思 (1)本題是不等量與等量關(guān)系問題，涉及到分類思想，通過建立直角坐標(biāo)系，利用點的集合性質(zhì)，構(gòu)造圓錐曲線模型(即分界線)，從而確定出最優(yōu)化區(qū)域; (2)應(yīng)用分類思想解題的一般步驟：確定分類的對象；進(jìn)行合理的分類；逐類逐級討論；歸納各類結(jié)果.9典例精析例例2 中國跳水運動員進(jìn)行10 m跳臺跳水訓(xùn)練時，身體(看成一點)在空中的運動路線為如右圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點O的一條拋物線(圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件).在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面

6、10 m，入水處距池邊的距離為4 m，同時，運動員在距水面高度為5 m或5 m以上時，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤.(1)求這條拋物線的解析式；(2)在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是(1)中的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為3.8 m，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由；(3)要使此次跳水不至于失誤，該運動員按(1)中拋物線運行，且運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多少米？BAxy跳臺支柱1m10m3m池邊o.10【分析】(1)在給定坐標(biāo)系下準(zhǔn)確用好數(shù)據(jù)、恰當(dāng)建立方程是解題 的關(guān)鍵; (2)不等關(guān)系的正

7、確運用是判斷是否失誤的核心.BAxy跳臺支柱1m10m3m池邊o【解析】(1)在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點為A，入水點為 B，拋物線的解析式為2ya xb xc由題意知，O、B兩點的坐標(biāo)依次為(0，0)、(2，-10)，且頂點A的縱坐標(biāo)為,23所以0c24243ac ba4210ab c 32a256a103b0c或2b0c因為拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，所以02ba所以b0，后一組解舍去即又因為拋物線開口向下，所以a0,0c 256a 103b 所以拋物線的解析式為2251063yxx.11(2)當(dāng)運動員在空中距池邊的水平距離為 m時，即 時，所以，此時運動員距水面的高為 m.因此，此次跳水會

8、出現(xiàn)失誤.335353258x 225810 816( )653 53y 161410533(3)當(dāng)運動員在x軸上方，即y0的區(qū)域內(nèi)完成動作并做好入水姿勢時，當(dāng)然不會失誤，但很難做到.所以當(dāng)y0時，要使跳水不出現(xiàn)失誤，則應(yīng)有，即.所以有 , .所以運動員此時距遲邊的距離至多為m.| 105y 5y 2251023423456355xx12345.12典例精析 根據(jù)我國汽車制造的現(xiàn)實情況，一般卡車高3 m，寬1.6 m.現(xiàn)要設(shè)計橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持距中線0.4 m的距離行駛.已知拱口AB寬恰好是拱高OC的4倍，若拱寬為a

9、m，求能使卡車安全通過的a的最小整數(shù)值 （變式訓(xùn)練）【分析】根據(jù)問題的實際意義，卡車通過隧道時應(yīng)以卡車沿著距隧道中線0.4 m到2 m間的道路行駛為最佳路線，因此，卡車能否安全通過，取決于距隧道中線2 m(即在橫斷面上距拱口中點2 m)處隧道的高度是否夠3 m，據(jù)此可通過建立坐標(biāo)系，確定出拋物線的方程后求得.yAB,02a,02aCxO.13yAB,02a,02aCx【解析】如右圖，以拱口AB所在直線為x軸，以拱高OC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)拋物線的方程為因為點A( ，0)在拋物線上，所以 ，得p=.所以拋物線方程為取x=1.6+0.4=2，代入拋物線方程，得即22 ()4ax

10、p y 2()2 (0)24aap 2a22 ()4axa y 22()4aa y 2164aya2a.14由題意，令y3，得因為a0，所以解得.又因為aZ，所以a應(yīng)取14，15，16，.答：滿足本題條件使卡車安全通過的a的最小正整數(shù)為14.21634aa212160aa62 13a 【回顧與反思】本題的解題過程可歸納為兩步：第一步，根據(jù)實際問題的意義，確定解題途徑，得到距拱口中點2 m處y的值；第二步，由y3，通過解不等式，結(jié)合問題的實際意義和要求，得到a的值.值得注意的是這種思路在與最佳方案有關(guān)的應(yīng)用題中是常用的.15典例精析（備選例題）例例3 A、B、C是我方三個炮兵陣地,A在B的正東,相距6千米,C在B的北偏西30相距4千米,P為敵炮陣地,某時刻,A發(fā)現(xiàn)P處的某種信號,由于B、C兩地比A地距P地遠(yuǎn),因此4秒后,B、C才同時發(fā)現(xiàn)這一信號.(設(shè)該信號的傳播速度為1千米秒 ）(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,確定P的位置(即求出P的坐標(biāo));(2)A若炮擊P地,求炮擊的方向 xyAOBDCP.16(1)如右圖，以直線BA為x軸，線段BA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，則B(-3，0)、A(3，0)、C(-5，23).因為PB=PC，所以點P在線段BC的垂直平分線上. 因為kBC =-3，BC的中點D(-4，3)，1343yx所以直線P