一元二次方程根的分布

1、方程根的分布專題講義一學(xué)問要點二次方程的根從幾何意義上來說就是拋物線與軸交點的橫坐標，所以爭辯方程的實根的狀況，可從的圖象上進行爭辯若在內(nèi)爭辯方程的實根狀況，只需考察函數(shù)與軸交點個數(shù)及交點橫坐標的符號，依據(jù)判別式以及韋達定理，由的系數(shù)可推斷出的符號，從而推斷出實根的狀況若在區(qū)間內(nèi)爭辯二次方程，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確定1二次方程有且只有一個實根屬于的充要條件若其中一個是方程的根，則由韋達定理可求出另一根若不是二次方程的根，二次函數(shù)的圖象有以下幾種可能： （1） （2） （3） （4） 由圖象可以看出，在處的值與在處的值符號總是相反，即；反之，若，的圖象的相對位置只能是圖中四種狀況之一所

2、以得出結(jié)論：若都不是方程的根，記，則有且只有一個實根屬于的充要條件是 2二次方程兩個根都屬于的充要條件方程的兩個實根都屬于，則二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點或相切于點，且兩個交點或切點的橫坐標都大于小于，它的圖象有以下幾種情形： （1） （2）（3） （4）由此可得出結(jié)論：方程的兩個實根都屬于區(qū)間的充要條件是： 這里 3二次方程的兩個實根分別在區(qū)間的兩側(cè)（一根小于，另一根大于）的充要條件是： 這里4二次方程的兩個實根都在的右側(cè)的充要條件是： 二次方程的兩個實根都在的左側(cè)（兩根都小于）的充要條件是： 這里二例題選講例設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍；（2）當方程有實數(shù)解時

3、，爭辯方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。例已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0).若方程f(x)=x無實根，求證：方程ff(x)=x也無實根例設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍變式：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個根都屬于( -3, 3)，且其中至少有一個根小于1，求m的取值范圍例已知方程有兩個負根，求的取值范圍例求實數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程（）有兩個實根，且一個比大，一個比小（）有兩個實根，且滿足（）至少有一個正根例 已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2) 若方程兩根

4、均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.變式：已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的兩個根在-3與3之間，求a的取值范圍例已知二次方程的兩個根都小于1，求的取值范圍變式：假如二次函數(shù)y=mx2+(m3)x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍.例已知是實數(shù)，函數(shù)，假如函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍二次方程實根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的狀況，在其它的一些場合下也可以適當運用下面再舉兩個例子：例求函數(shù)y = (1x0,求證(1) pf()0;(2) 方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解。參考答案例分析：可用換元法，設(shè)，原方程化為二次方程，但要留意，故

5、原方程有解并不等價于方程有解，而等價于方程在內(nèi)有解另外，方程有解的問題也可以通過參變分別轉(zhuǎn)化為求值域的問題，它的原理是：若關(guān)于的方程有解，則的值域解：（1）原方程為，時方程有實數(shù)解；（2）當時，方程有唯一解；當時，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當時原方程有兩解：；2）當時，原方程有唯一解；3）當時，原方程無解。例證明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實根，f(x)-x仍是二次函數(shù)，f(x)-x=0仍是二次方程，它無實根即=(b-1)2-4ac0 若a0，則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方， y0，即f(x)-x0恒成立，即：f(x)x對任意實數(shù)x恒成立。

6、對f(x)，有f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實根 若a0，函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸下方 y0，即f(x)-x0恒成立 對任意實數(shù)x，f(x) 0恒成立 對實數(shù)f(x)，有：f(f(x)f(x)x恒成立 f(f(x)=x無實根 綜上可知，當f(x)=x無實根時，方程f(f(x)=x也無實根例分析：觀看到方程有兩個實根，故此題不妨用求根公式來解決解：因有兩個實根 ，故等價于且，即且，解之得變式：解：原方程即為 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程兩根分別為-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，則由題意，另一根滿足 -32-3m3 - m .例解：依題意有例

7、解：設(shè)（） 依題意有，即，得（） 依題意有解得：（）方程至少有一個正根，則有三種可能：有兩個正根，此時可得，即有一個正根，一個負根，此時可得，得有一個正根，另一根為，此時可得綜上所述，得例解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，則 ，實數(shù)m的范圍是.(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間 (0，1) 內(nèi)，列不等式組 - m1-, 實數(shù)m的范圍是.變式：解：設(shè)f(x) = 2x2 2(2a-1)x + a+2，則原方程兩根都屬于 (-3, 3)的充要條件為 - m或m0(1)當m0時，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意

8、.(2）當m0時，則解得0m1綜上所述，m的取值范圍是m|m1且m0.例解析1：函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點，即方程=0在-1，1上有解， a=0時，不符合題意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或或或或a1.所以實數(shù)a的取值范圍是或a1.解析2：a=0時，不符合題意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)-1，1上的值域；設(shè)t=3-2x，x-1，1，則，t1,5,，設(shè)，時，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，時，0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，y的取值范圍是，=0在-1，1上有解或。例解：原函數(shù)即為 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x

9、+2y-1=0, 由題意，關(guān)于的方程在(1,2)上有實根易知y0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，則f(1)= -20, f(2)= -30，所以方程在(1,2)上有實根當且僅當 ，解得y-5-2. 原函數(shù)的值域為 (-, -5-2.例10解：以(0,0), (1,1)為端點的線段所在直線為y=x，代入拋物線方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m=0, 由題意，方程在區(qū)間(0, 1)上有實根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，則當且僅當f(0)f(1)0或 m0或 m3-2且m0故m的取值范圍為 (-, 0)(0, 3-2.鞏固練習(xí)1解：易知

10、x1 = -1是方程的一個根，則另一根為x2 = ，所以原方程有且僅有一個實根屬于( -1, 1)當且僅當 -1 1，即 m ， m的取值范圍為 (-,- )( , +).2解：令，當時，由于是一一映射的函數(shù)，所以在上有兩個值，則在上有兩個對應(yīng)的值因而方程在（0，2）上有兩個不等實根，其充要條件為 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范圍為3解：設(shè)f(x) = ，由于f(x)是二次函數(shù)，所以2m+1 0，即m - .f(x) =0在（1，2）上有且僅有一個實根當且僅當f(1)f(2)0 (5m+3)(m-2)0 - m2.綜上得：m的取值范圍是(- , - )(- , 2)4令二次函數(shù)f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，則m-1 0，即m 1f(x)=0的兩個實根均在(-1,1)上，當且僅當 m的取值范圍為5解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，則滿足題意當且僅當 解得 - a0, 所以，pf