河北省衡水市重點中學2019屆高三第七次抽考數學理試題

1、河北省衡水市重點中學2019屆高三第七次抽考數學理試題Word版含解析數學理試題考試時間：120分鐘滿分：150分一.選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出口勺四個選項中，只有一項是符合要求日勺.1、若集合A=1,2,3,4,B=2,4,7,8,C=1,3,4,5,9,則集合（AUB）rC等于（D）A.2,4B.1,2,3,4C.2,4,7,8D.1,3,42、復數z1=3+i,z2=1-i,則復數亙在復平面內對應日勺點位于（A）Z2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、若向量a=（1,2）,b=（3,4）,則（ab）（a+b）等于（B）A. 20B.(-1

2、0,30)C. 54D.(-8,24)B.D.5、已知命題555 pp pxXXRRRSsSxxx;222海姻朝:=xx RWBXX2xxx111000合出下列結論:命題“ p八q ”是真命題命題“p m q ”是真命題其中正確日勺是（B ）A.B.命題“ pAq”是假命題命題“p Mq”是假命題C.D.h34、右tana=z,且sinacota<0,則sina等于(A)A.C.要求4名水暖工都分配出去， 并每名水暖6.分配4名水暖工去3個不同日勺居民家里檢查暖氣管道工只去一個居民家，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配日勺方案共有（A.A3種B.A3A3種C.C2A3種D.C：C；A3

3、種422PFi : PF? =4:3,貝U APFE7、設F1,F2是橢圓4x_+L=1日勺兩個焦點，P是橢圓上日勺點，且496日勺面積為.4.28、1 n若（x +）展開式日勺二項式系數之和為64,則展開式日勺常數項為B. 20C. 30D. 1209、數列an 滿足a132=, an 1 = an2 1十 1(n w N +)，則 m =a11，+日勺整數部分是 a2014)BA. 0B. 1C. 2D. 310、在平面直角坐標系中，A=(x,y)x2+y2M“，B=(x,y)xM4,y之0,3x4y之0)則P=（x,y）|x=x1十x2,y=y1十丫2,（不，%盧A,（x2,'2

4、戶B）所表示日勺區(qū)域日勺面積為（B. 6 二C. 12 二D. 18 二二.填空題：共25分.把答案填在答題卡中對應題號后日勺橫線上11、如圖，|_|O日勺兩條弦AB,CD相交于圓內一點P,若PA=PB,PC=2,PD=8,OP=4,則該圓日勺半徑長為*答案：4.212、曲線 C1 ： ,xF+cosBy =sin 二x=22-t（日為參數）上日勺點到曲線C2：«2（t為參數）上日勺點y=1t,2日勺最短離為答案：1、一一一一一22/19日勺最小值為13、設x,ywR,且xy#0,則(x+y)+、xy答案：16214、計算12d4x2dx日勺結果是0答案:JIk15、已知P(-2,3

5、)是函數y=圖像上日勺點，Q是雙曲線在第四象限這一分支上日勺動點，過點Q作k直線，使其與雙曲線y=只有一個公共點，且與x軸、y軸分別交于點C、D,另一條直線3_y=x+6與x軸、y軸分別交于點A、B.2則(1)O為坐標原點，三角形OCD日勺面積為(2)四邊形ABCD面積日勺最小值為答案：(1)12(2)4816、已知數列4共有9項，其中，a1=a9=1,且對每個iw1,2,.,8,均有亙土w12,1,11.ai2(1)iES=+.+,則S日勺最小值為aa2%(2)數列an日勺個數為答案：(1)6;(2)491解析：令。=a5(1Wi<8),則對每個符合條件日勺數列4,滿足條件:aiilb

6、i-Jiai1aia19=1,且bi亡2,1,(1<i<8)a.2反之，由符合上述條件日勺八項數列£n可唯一確定一個符合題設條件日勺九項數列an記符合條件日勺數列Q日勺個數為一1CC，N,顯然，bi1WiW8中有2k個一，2k個2,84k個1,2且k日勺所有可能取值為0,1,2.(1)對于三種情況，易知當k=2時，S取到最小值6；(2)N=1C0C；C84C4=491三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17、(本題滿分12分)某校從參加高一年級期末考試日勺學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數)分成六段140,50),50,60)

7、,，90,100后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形日勺信息，回答下列問題：(I)求第四小組日勺頻率；(n)從成績是70分以上(包括70分)日勺學生中選兩人，求這兩人日勺成績在80,90)內日勺人數日勺分布列及期望.【解】(I)因為各組日勺頻率和等于1,故第四組日勺頻率：f4=1(0.025+0.015父2+0.01+0.005產10=0.3.4分(n)設人數為x,x012P111326-1,1-15Ex=0M+1父一+2M=.12分326618.(本小題滿分12分)時，函已知函數f(x)=13sin(x)-2sin2m+mQ>0)日勺最小正周期為3元，當xW0,n2數f(x)日勺最小

8、值為0.(I)求函數f(x)日勺表達式；(n)在ABC中，若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(AC),求sinA日勺值.【解】(I)f(x)=V3sin(0x)-2-1_cos(ox)+m=2sin(cox+)-1+m.26依題意函數f(x)的最小正周期為3n，即2"=3n,解得切=2.3 .2x所以 f (x) = 2sin(-1m.»一二2x二5二12x二當x匚0,叫時,一三十一W,-Msin(十)-1,6366236所以f(x)的最小值為m.依題意，m=0.2,：.所以f(x)=2sin(2-)-1.6分36_2c二2c二、，(n)f(C):2sin(一

9、)-1=1,sin()=1.3636十二2C二5二而：二：二63662c，所以 十 36.解得C=2.U川川皿吩在RtAABC中,A+B=±,2sin2B=cosB+cos(AC),221_.5八二2cosA-sinA-sinA=0,斛得sinA=.H10分212分5-1,0:二sinA：1,.sinA=219、(本題滿分12分)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2日勺正方形，PB_LBC,PD_LCD,且PA=2.(I)求證：PA_L平面ABCD；(n)若F為線段BC日勺中點，E為PD中點.求點D到平面EAF日勺距離.x19. (I)證明：底面ABCD為正方形，:.BC

10、_LAB,又BC_LPB, .BC_L平面PAB, .BC_LPA.3分同理CD_LPA,5分PA_L平面ABCD.6分(n)解：建立如圖日勺空間直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2).F為BC中點， F(2,1,0).同理，E(0,1,1).設n=(a,b,c)為平面EAF日勺一個法向量,則n±AE,n1AF.又AP=(0,i,i),AF=(2,1,0),Xbc=0,2ab=0.令a=1,則b=2,c=2.10分得n=(1,2,2).又AD=(0,2,0),TADn4點D到平面EAF日勺距離=.12分20、(本題滿分13分)容器A內裝有6升質量

11、分數為20%勺鹽水溶液，容器B內裝有4升質量分數為5%勺鹽水溶液，先將A內日勺鹽水倒1升進入B內，再將B內日勺鹽水倒1升進入A內，稱為一次操作；這樣反復操作n次,A,B容器內日勺鹽水日勺質量分數分別為an,bn,(I)問至少操作多少次，A,B兩容器內日勺鹽水濃度之差小于1%(取lg2=0.3010,lg3=0.4771)(n)求an、bn日勺表達式.11121219斛：(1)b1二一(一+4父)=,a1=一(+5父一)二；2分552025625550an4bn126an4bnbn+=,an*=J5an+*)；2口2二an書-bn4-=1(anbn),，anbnTq=二日勺等比數列,33u1/2

12、、n,111an-bn=(-),n-1log2=,oo1031003101g3lg2二n*7,故至少操作7次；11232nn.nn(2)*bn4t=-bn+*()+4bn,06+=乂(一)9分51031003bn=b(b2f)(b3也廠(bn-bni)11 分2.3r2,2o2、n%9/2、n.7=一十父一十(一)十III十(一)=-父(一)十一,2510033310035013分1,2、n12nJ7而an=bn.(一)(一)1032535021、(本題滿分13分)設直線l:y=k(x+1)(k00)與橢圓3x2+y2=a2(a>0)相交于A,B兩個不同日勺點，與x軸相交于點C,記O為坐

13、標原點.2 3k2(I)證明：a2>0方.；3 k(n)若AC=2CB,求AOAB日勺面積取得最大值時日勺橢圓方程.1【解】(1)證明：由y=k(x+1)得x=y1.k1222將*=y1代入3x+y=a消去x得k,3,、26c2八,(-2"+1)yy+3a=0.3分kk3k22 .3 k10由直線l與橢圓相交于兩個不同日勺點得363232=f4(F十1)(3a)>0,整理得(f+1)a>3,即kkk6k解：設A(x1,y1)，B(x2,y2).由，得y1+y2=23kAC=2CB,而點C(1,0),(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2)6k得乂=加代入上式得y

14、"丁日于是，OAB勺面積a139|k|.9|k|3、3s=二|OC|v-丫2|=二|y212223k22v3|k|2其中，上式取等號日勺條件是k2=3k=±J3.11分由y2=+可彳"£33k22將k=：/3,y2一一.3及k-.3,y2二川3這兩組值分別代入，均可解出a2=15.13 分.OAB勺面積取得最大值日勺橢圓方程是3x2y2=15.22、(本題滿分13分)12已知函數fx=lnx,gxaxbxa=02(I)若a=1時，函數h(x)=f(x)-g(x)在其定義域上是增函數，求b日勺取值范圍；(II)在(I)日勺結論下，設函數中(x)=e2x+b

15、ex,xeI0,ln2，求函數5(x)日勺最小值；(III)設函數f(x)日勺圖象C1與函數g(x)日勺圖象C2交于點P,Q,過線段PQ日勺中點R作x軸日勺垂線分另iJ交CC2于點M,N,問是否存在點R,使Ci在M處日勺切線與C2在N處日勺切線平行？若存在，求出R日勺橫坐標；若不存在，請說明理由.解：(I)依題意：h(x)=lnx+x2bx.'/h(x)在(0,+妙)上是增函數，,，、1二h(x)=十2x-b>0對xe(0,+如)恒成立，2分x1cb2x.x1:xA0,則_+2x之2J2.x.b的取值范圍為-二2,2.(II)設t=ex,則函數化為y=t2+bt,tw1,2.y&

16、quot;2)2二當-bE1,即-2MbE2j5時，函數y在1,2上為增函數2當t=1時，ymIn=b+1；6分當1<b<2,即4<b<2時，當t=b時，ymin=a224當-b2,即bWY時，函數y在1,2上是減函數，2當t=2時，ymIn=4+2b8分綜上所述，當-2<b<2，.2時，；(x)的最小值為b1.b2當-4：二b-20寸，：:(x)的最小值為一一.4當bM4時，邛(x)日勺最小值為4+2b.(III)設點P、Q日勺坐標是(x1，y1),(x2,y2),且0<x1<x2.則點MN日勺橫坐標為x=X1+X22G在點M處日勺切線斜率為k1=|x心=1X1-x2Xx一一X1x2C2在點N處日勺切線斜率為k2=axb|xix2x,2a(xix2)b.2假設Ci在點M處日勺切線與G在點N處日勺切線平行，則k1=k2.即=a(xi+x2)+b.x1x222(x2-xi)a(x2-Xi)地=+b(x