污染問題模型

1、摘要隨著市場經(jīng)濟和現(xiàn)在工業(yè)的飛速進展，人類面臨了直接危害人類生存的新的問題環(huán)境污染，為了治理污染，提出治理污染的新的方案，我們必需建立客觀合理的數(shù)學模型來解決現(xiàn)實問題。 通過對問題的分析，我們利用微積分方程的求解方法，得出湖水污染變化的結果，問題（一）湖水污染濃度為5.1178%;問題（二）下降到原來的5%所需時間為398.3120天。在模型建設中我們接受了比較抱負的求解方法，在實際中還是比較有指導意義的。關鍵詞：微積分方程、MATLAB軟件、質(zhì)量守恒定律、水質(zhì)自凈方程一、問題重述 設一容積為V（m3）的大湖受到某種物質(zhì)的污染，污染物均勻地分布在湖中，沒湖水更新的速率為r(m3/天)，并假設湖

2、水的體積沒有變化，試建立湖水污染濃度的數(shù)學模型。（1） 美國安大略湖容積5941*109(m2)，湖水的流量為4.45365*1010(m3/天)。湖水現(xiàn)階段的污染濃度為104，外面進入湖中的水的污染濃度為5%，并假設該值沒有變化，求經(jīng)過500天湖水污染濃度。（2） 美國密西根湖的容積為4871*109（m2）。湖水的流量為3.6635132*1010(m3/天)由于治理污染措施得力及某時刻起污染源被切斷，求污染被中止后，污染物濃度下降到原來的5%所需時間。二、模型假設1、，湖水流量為常量，湖水體積為常量；2、流入流出湖水水污染濃度為常量，三、符號說明W（t）: t 時刻水污染濃度t: 時間，

3、以天作單位m: 外進湖中水污染濃度r: 湖水的更新速率V: 湖水的體積四、問題分析問題（一）要求經(jīng)過500天湖水的濃度，由于流入和流出的湖水濃度不同，我們在考慮此問題時，運用微積分方程和質(zhì)量守恒定律得出水污染濃度與已知量之間的關系；問題（二）污染源被切斷的狀況，即湖水的污染濃度不再轉變，即m=0，由于問題（二）給出污染物濃度下降到原來的5%，從而可以求得所需的時間。五、模型的建立與求解設t時刻湖區(qū)的污染物濃度為W（t），考慮時間區(qū)間t，t +t并利用質(zhì)量守恒定律：t，t +t內(nèi)湖中污染濃度的變化量=流入湖水的污染量流出湖水的污染量。用數(shù)學表達式表示為：Vw(t+t )w（t）=rm*t 于是得

4、，令t0dw/dt=a-bx t>0,w(0)=wo其中a=rm/v,b=r/v 求得w(t)=m+(wo-m)e(-r*t/v)（1）問題（一）中v=5.941e12(m3)r=4.45365e10, wo=10%, m=5%,t=500代入式中，得：w(500)=5.1178%在問題（二）中，m=0,從而rm*t=0,其中v=4.871e12,r=3.6635132e10,w(t)=5%*wo代入表示式（1）中，得：t=398.3(天)。附錄：用MATLAB解問題（一）過程如下：r=4.45365e10;v=5.941e12;wo=10;m=5;t=500; w=m+(wo-m).*exp(-r.*t/v)結果：w =5.1178問題（二） r=3.6635132e10;v=4.871e12;m=0;w=0.05wo