項(xiàng)目訓(xùn)練二求二維金屬槽內(nèi)的點(diǎn)位分布

1、電磁場(chǎng)與電磁波項(xiàng)目訓(xùn)練報(bào)告計(jì)算金屬槽內(nèi)電位分布班 級(jí)：通信13-2 姓 名： 閆振宇 學(xué) 號(hào)：1306030222 指導(dǎo)教師：徐維老師 成 績： 電子與信息工程學(xué)院信息與通信工程系項(xiàng)目訓(xùn)練二 計(jì)算金屬槽內(nèi)電位分布1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮腿蝿?wù)1) 利用有限差分法計(jì)算金屬槽內(nèi)電位分布。2) 學(xué)會(huì)并掌握利用MATLAB軟件計(jì)算求解電位分布問題。3) 學(xué)會(huì)簡單利用MATLAB軟件解決數(shù)學(xué)物理問題。2. 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1) 利用MATLAB編寫一個(gè)計(jì)算機(jī)程序；2) 以步距為的正方形網(wǎng)格離散化場(chǎng)域，然后應(yīng)用有限差分法求電位的數(shù)值解；3) 求相鄰兩次迭代值得指定的最大允許誤差小于的迭代收解。4) 根據(jù)場(chǎng)分布的對(duì)稱性，試以

2、半場(chǎng)域?yàn)橛?jì)算對(duì)象，并以步距將給半場(chǎng)域以正方形網(wǎng)格予以分割，然后應(yīng)用有限差分法求電位的數(shù)值解；5) 分別取為n個(gè)不同的值和最佳解，求電位的數(shù)值解，以此分析加速收斂因子的作用，從迭代收斂時(shí)的迭代次數(shù)和最終數(shù)值解這兩方向總結(jié)自己的看法；6) 用計(jì)算機(jī)描繪等位線的分布；7) 取中心點(diǎn)處的電位的精確值與數(shù)值解進(jìn)行比較，說明誤差范圍。3. 實(shí)驗(yàn)原理有限差分法原理：有限差分法的基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替， 這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似；把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似。于是原微分方程和定解

3、條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。差分表達(dá)式：（有限差分方程）在x0y平面把所求解的區(qū)域劃分成若干的小正方形格子，每個(gè)格子的邊長都為h，假設(shè)某頂點(diǎn)的0上的電位是，周圍四個(gè)頂點(diǎn)的電位分別為，和。將這幾點(diǎn)的電位用泰勒級(jí)數(shù)展開，化簡，近似可得：上式表明，任一點(diǎn)的電位等于它周圍四個(gè)點(diǎn)電位的平均值。圖3-1 差分網(wǎng)格差分方程的數(shù)值解法:平面內(nèi)有多少個(gè)節(jié)點(diǎn)，就能得到多少個(gè)差分方程，當(dāng)這些節(jié)點(diǎn)數(shù)目較大時(shí)，使用迭代法求解差分方程組比較方便。a. 簡單迭代法：用迭代法解二維電位分布時(shí)，將包含邊界在內(nèi)的節(jié)點(diǎn)均以下標(biāo)（i，j）表示，i，j分別表示沿x，y方

4、向的標(biāo)點(diǎn)。次序是x方向從左到右，y方向從上到下，我們用上標(biāo)n表示某點(diǎn)電位的第n次的迭代值。下式得出點(diǎn)（i，j）的第n+1次電位的計(jì)算公式：上式叫做簡單迭代法，收斂速度較慢。計(jì)算時(shí)，先任意指定各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位值，作為零點(diǎn)近似，將零點(diǎn)近似值及其邊界上的電位值代入上式中求出一級(jí)近似值，再由一級(jí)近似值求出二級(jí)近似值。以此類推，直到連續(xù)兩次迭代所得電位的差值在允許的范圍內(nèi)時(shí)，結(jié)束迭代。b. 賽德爾迭代法：通常為了節(jié)約時(shí)間，對(duì)簡單迭代法進(jìn)行改進(jìn)。每當(dāng)算出一個(gè)節(jié)點(diǎn)的高一次的近似值，就立即用它參與其他節(jié)點(diǎn)的差分方程的迭代，這種迭代法叫做賽德爾迭代法，此迭代法的表達(dá)式：此式也稱為異步迭代法，異步迭代法比簡單迭代法

5、收斂速度加快一倍左右。c. 超松弛迭代法：為了加快收斂速度，常采用超松弛迭代法。計(jì)算時(shí)，將某點(diǎn)的新老電位值之差乘以一個(gè)因子以后，再加到改點(diǎn)的老電位值上，作為這一點(diǎn)的新電位值。超松弛迭代法的表達(dá)式：式中稱為松弛因子，因子的選取一般依據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行。但對(duì)于矩形區(qū)域，當(dāng)M,N都很大，計(jì)算最佳收斂因子：其中，M,N分別是沿x,y兩個(gè)方向的內(nèi)節(jié)點(diǎn)數(shù)。求解最佳收斂因子，計(jì)算求得有限差分方程的解。4. 實(shí)驗(yàn)步驟題目：金屬矩形槽，其側(cè)壁與底面電位均是0，頂蓋的電位為100V。圖4-1 矩形接地金屬槽4.1 步距為，應(yīng)用有限差分法求電位的數(shù)值解：利用MATLAB軟件編寫程序：4.1.1 初值設(shè)定：lx=41;ly=

6、21;以步距為的正方形網(wǎng)格離散化場(chǎng)域，在二維圖內(nèi)，建立x0y直角坐標(biāo)系，因?yàn)轭}目中，金屬槽的長為，寬為，所以，以長邊為x軸，在場(chǎng)域內(nèi)有41個(gè)節(jié)點(diǎn)，以寬邊為y軸，在場(chǎng)域內(nèi)有21個(gè)節(jié)點(diǎn)v1=zeros(ly,lx);運(yùn)用zeros函數(shù)，將v1置成全零矩陣，共有l(wèi)y行，lx列for j=1:lx v1(ly,j)=100;將ly一行置成100，其余節(jié)點(diǎn)為0，這就完成了初值的設(shè)定4.1.2 迭代操作：v2=v1;v1為一級(jí)近似值，將它代入二級(jí)近似值內(nèi)，進(jìn)行迭代t=0;k=0;while(max>10e-5)max為相鄰兩次迭代值指定的最大允許誤差，小于，運(yùn)用while語句，使兩次的迭代值最大誤差

7、小于k=k+1設(shè)k初值為0，記錄迭代的次數(shù)max=0;for i=2:ly-1for j=2:lx-1;v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1)/4;運(yùn)用簡單迭代法，迭代求解t=abs(v2(i,j)-v1(i,j);將兩次的迭代值的誤差的絕對(duì)值（abs函數(shù)取絕對(duì)值），代入t中if(t>max) max=t;If語句判斷每一次循環(huán)得到的誤差是否是最大誤差，用以得到最大誤差v1=v2;循環(huán)繼續(xù)，直到誤差大于為止得到k=1103至此，可以得到應(yīng)用簡單的有限差分法計(jì)算的電位的數(shù)值解。4.2 有限差分法的程序流程圖根據(jù)有限差分法的操作步驟，

8、整理出關(guān)于本題的差分程序流程。圖4-2 有限差分法程序流程圖4.3 以半場(chǎng)域?yàn)橛?jì)算對(duì)象，應(yīng)用有限差分法求電位的數(shù)值解：4.3.1 初值設(shè)定：lx=21;ly=21;以步距為的正方形網(wǎng)格離散化場(chǎng)域，在二維圖內(nèi)，建立x0y直角坐標(biāo)系，因?yàn)轭}目中，金屬槽的長為，寬為，所以，以長邊為x軸，在場(chǎng)域內(nèi)有21個(gè)節(jié)點(diǎn)，以寬邊為y軸，在場(chǎng)域內(nèi)有21個(gè)節(jié)點(diǎn)for j=1:lx v1(1,j)=100;i=1;m=100;while(i<22)v1(i,lx)=mm=100-5*ii=i+1根據(jù)場(chǎng)分布的對(duì)稱性，以半場(chǎng)域?yàn)橛?jì)算對(duì)象，邊值發(fā)生了改變。右半邊的初值呈遞減狀，根據(jù)所分得節(jié)點(diǎn)數(shù)，得出邊值每個(gè)節(jié)點(diǎn)遞減5V

9、，從100V到0V4.3.2 迭代操作：同上，迭代過程，運(yùn)用簡單迭代法進(jìn)行迭代求解。k=722至此，可以得到應(yīng)用簡單的有限差分法計(jì)算的電位的數(shù)值解。4.4 分析加速因子的作用為了加快收斂速度，需采用超松弛迭代法。其中稱為松弛因子。最佳收斂因子：代入M=41，N=21，求出最佳收斂因子=1.761.8為分析加速因子（收斂因子）的加速作用，代入不同數(shù)值的，觀察迭代次數(shù)k的變化，在迭代過程中運(yùn)用超松弛迭代法：為了使迭代次數(shù)減少，考慮讓每次迭代或等更多的增量將：v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1)/4;改寫成：v2(i,j)=v1(i,j)+

10、m*(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j)/4;其中m為加速因子a. 迭代次數(shù)分析：表4-1 迭代次數(shù)k值表m1.21.31.41.51.61.71.81.92.0k42034628222417112082149不收斂分析可得，隨著收斂因子的增大，迭代次數(shù)不斷減少。當(dāng)?shù)竭_(dá)最佳收斂因子時(shí)，收斂次數(shù)最少。再增大m值，收斂次數(shù)又會(huì)增大。b. 最終數(shù)值解分析：分別取m=1.2，m=1.8時(shí)第21列20至12行的數(shù)值解，進(jìn)行比較。表4-2 m取值對(duì)應(yīng)下第21列20至12行的數(shù)值解m=1.294.096288.218082.389676.633

11、770.970065.415259.982154.679849.5133m=1.894.096888.219182.391376.635970.972765.418459.985754.683649.5173分析可得，m=1.2和m=1.8取值下，數(shù)值有變化。電位從上到下是呈逐漸遞減狀。觀察表格，每組對(duì)應(yīng)的差值不斷地再增大。說明隨著m取值更趨向最佳值，電位數(shù)值解的下降速度加快。4.5 描繪等位線分布運(yùn)用MATLAB軟件編寫：subplot(1,2,1),mesh(v2)Subplot函數(shù)使得在一個(gè)屏幕上可以分別顯示n個(gè)不同坐標(biāo)系，可以分別在每一個(gè)坐標(biāo)系中繪制曲線。Subplot（r，c，p）將

12、命令屏幕分成r×c個(gè)子窗口，而p表示激活第p個(gè)子窗口。調(diào)用子窗口1，繪制三維矩陣曲線圖。Mesh函數(shù)，畫網(wǎng)格曲面。Mesh（x，y，z）這里，x，y，z是三個(gè)同維數(shù)的數(shù)據(jù)矩陣，分別表示橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)。axis(0,41,0,21,0,100)Axis函數(shù)，標(biāo)注橫縱豎坐標(biāo)的比例尺，和范圍。subplot(1,2,2),contour(v2,21)Subplot調(diào)用第二個(gè)子窗口，繪制等位線圖。Contour函數(shù)，繪制等位線函數(shù)。Contour（x，y）x為調(diào)用的矩陣，y為你總需要的等位線條數(shù)。本題中，共有21行，所以就設(shè)置21條等位線。圖4-3 三維電位分布圖 等位線分布圖4.6 中心點(diǎn)電位的數(shù)值解和精確解的比較4.6.1 中心點(diǎn)的數(shù)值解：因?yàn)殡娢皇菑纳现料轮饾u呈遞減狀，中間點(diǎn)的所在等位線的為50V。4.6.2 中心點(diǎn)的精確解：在不同的m取值下，的取值會(huì)不同。m=1.2，=49.5133Vm=1.4，=49.5149VM=1.6，=49.5161Vm=1.8，=49.5173V說明隨著m值的增加，更加接近于數(shù)值解。4.6.3 誤差范圍：M=1.2，誤差為50-49.5133=0.4867V，誤差最大值M=1.8，誤差為50-49.5173=0.4827V，誤差最小值所以誤差范圍為