求值域的10種方法

1、求函數(shù)值域的十種方法一直接法(觀察法)：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到。例1.求函數(shù)yJX1的值域?！窘馕觥?0,，JX11,，函數(shù)yJX1的值域?yàn)?,)?！揪毩?xí)】1 .求下列函數(shù)的值域：y3x2(1x1)；f(x)24A；X2y；yx11,x1,0,1,2。x1【參考答案】1,5；2,)；(，1)U(1,)；01,0,3。二.配方法：適用于二次函數(shù)及能通過(guò)換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型。形如2.F(x)af(x)bf(x)c的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法。2例2.求函數(shù)yx4x2(x1,1)的值域?！窘馕觥縴x24x2(x2)26。-1x1,3x21,1(x2)29,.3(x2

2、)265,.3y5。，函數(shù)yx24x2(x1,1)的值域?yàn)?,5。例3.求函數(shù)y2xx24x(x0,4)的值域?！窘馕觥勘绢}中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計(jì)算不妨設(shè)：22一.一_、f(x)x24x(f(x)0)配方得：f(x)(x2)24(x0,4)利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得f(x)0,4,從而得出：y0,2。說(shuō)明：在求解值域(最值)時(shí)，遇到分式、根式、對(duì)數(shù)式等類型時(shí)要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為：f(x)0。例4.若x2y4,x0,y0,試求lgxlgy的最大值。2【分析與解】本題可看成第一象限內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線x2y4上滑動(dòng)時(shí)函數(shù)lgxlgy1gxy的最大值。利用兩點(diǎn)(4,

3、0),(0,2)確定一條直線，作出圖象易得：x(0,4),y(0,2)，而1gx1gylgxy1gy(42y)1g2(y1)22,y=1時(shí)，1gxlgy取最大值1g2o【練習(xí)】2.求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：yx24x1；yx24x1,x3,4;yx24x1,x0,1;cx22x41,yx24x1,x0,5;(Dy-2,x一,4；yJx22x3。x473【參考答案】3,)；2,1；2,1；3,6；6,；0,24三.反函數(shù)法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。適用類型：分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)

4、類型。2x例5.求函數(shù)y的值域。x1分析與解：由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出x,從而便于求出反函數(shù)。故函數(shù)的值域?yàn)?,2) U(2,)。d的值域。ca、a);(,)U(一 ,)。c c2x一一yy反解得x-一，x12y【練習(xí)】2x31 .求函數(shù)y與上的值域。3x22 .求函數(shù)yax-b,c0,xcxd2 2【參考答案】1.(,-)U(-,3 3四分離變量法：適用類型1：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問(wèn)題一般也可以利用反函數(shù)法。例6:求函數(shù)y解：;y1 x的值域。2x 51-(2x 5)22x2x 572x 5722x 50'1一，函數(shù)22x

5、5的值域?yàn)?y | y適用類型2:分式且分子、分母中有相似的項(xiàng)，通過(guò)該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為f (x)( k為常數(shù))的形式。例7:求函數(shù)y-的值域。1分析與解：觀察分子、分母中均含有x2 x項(xiàng)，可利用分離變量法；則有y2x-2- xx2 x 1 12x x 11112 3 。(x -)24不妨令：f(x) (x1 2312)4，g(x)由(f(x) 0)從而 f(x)34,注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除f(x) 0,因?yàn)閒 (x)作為分母.所以g(x)0，91,1。3另解: 觀察知道本題中分子較為簡(jiǎn)單，可令2.x x 1t 2 x x,求出t的值域,進(jìn)而可得到y(tǒng)的值域。【練習(xí)】2x22x323的值

6、域。xx1五、換元法：對(duì)于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過(guò)換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的熟悉的基本函數(shù)。其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元。例8:求函數(shù)y2xg2x的值域。(t 1)2 勺。241t22解：令tJ12x(t0),則x-,，yt2t11355當(dāng)t,即x時(shí)，ymax-,無(wú)最小值。，函數(shù)y2x4去的值域?yàn)?-o28414例9：求函數(shù)yx2小(X1)2的值域。解：因1(x1)20,即(x1)21。故可令x 1 cos0, , , , y cos 1 J1 cos2 sincos 1

7、J2sin(-) 1 °4 053_7，%sin( -)10V2sin()1 1 點(diǎn)4244故所求函數(shù)的值域?yàn)?,1J2。例10.求函數(shù)y3x x 的值域。x4 2x2 1解：原函數(shù)可變形為:21 2x 1 x22 1 x2 1 x2可令x= tan ，則有 2x1 x2sin 21 x2,1 x22 cosy sin 2 cos2 2sin 4 4時(shí)，y.ymin8而此時(shí)tan有意義。的值域。12, 2故所求函數(shù)的值域?yàn)槔?1.求函數(shù)y(sinx1)(cosx1),x解：y(sinx1)(cosx1)sinxcosxsinxcosx11o令sinxcosxt，貝Usinxcosx(

8、t1)21 212y-(t21)t1-(t1)22 2由tsinxcosx、2sin(x)且x一,122可得：二t工2當(dāng)t隹時(shí)，ymax3亞當(dāng)t至?xí)r，y3及2242故所求函數(shù)的值域?yàn)閃Y23J2。422'例12.求函數(shù)yx4J5x2的值域。解：由5x20，可得|x|匹故可令x、.5cos,0,y.5cos45sin/0sin()40_5444當(dāng)4時(shí),ymax4.10當(dāng)時(shí)，ymin4而故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?萬(wàn),4.10六、判別式法： 把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于 x的二次方程F（x, y） 0；通過(guò)方程有實(shí)數(shù)根，判別式ax2 thx g0,從而求得原函數(shù)的值域，形如 y -2（ 4、a2不同時(shí)為零）

9、的函數(shù)的值域，常用此方a?x b?x C2法求解。例13:求函數(shù)y X x 3的值域。x2 x 1解：由y3一x-3變形得(y 1)x2 (y 1)x y 3x x 10,當(dāng)y 1時(shí)，此方程無(wú)解；當(dāng) y 1 時(shí)，. x R, . (y 1)2 4(y 1)(y 3) 0,解得1函數(shù)yx2 x 3的值域?yàn)閥|1 y 11 x2 x 13七、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例14：求函數(shù)y x .1 2x的值域。解：當(dāng)x增大時(shí)，1 2x隨x的增大而減少，1 2x隨x的增大而增大,，函數(shù)y x 1 2x在定義域（1 ， 一,3上是增函數(shù)。 y1函數(shù)y

10、x，12x的值域?yàn)椋?。2例15.求函數(shù)yjx_7jx7的值域。解：原函數(shù)可化為:令y1JT7,y2"7,顯然y1,y2在1,上為無(wú)上界的增函數(shù)所以yy1y2在1,上也為無(wú)上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，yy1丫2有最小值J2,原函數(shù)有最大值衛(wèi)2222顯然y0,故原函數(shù)的值域?yàn)?0,2適用類型2:用于求復(fù)合函數(shù)的值域或最值。(原理：同增異減)2例16:求函數(shù)y10g1(4xx)的值域。2分析與解：由于函數(shù)本身是由一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)(外層函數(shù))和二次函數(shù)(內(nèi)層函數(shù))復(fù)合而成，故可令：t(x)x24x(t(x)0)配方得：t(x)(x2)24所以t(x)(0,4)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)知：

11、y2,)。八、利用有界性：一般用于三角函數(shù)型，即利用sinx1,1,cosx1,1等。例17:求函數(shù)y8sx的值域。sinx3解：由原函數(shù)式可得：ysin x cos x3y ,可化為:.y2 1sin x(x)3y即 sin x(x3yy2 1sin x(x1,1即14yy21解得：上y4故函數(shù)的值域?yàn)樽ⅲ涸擃}還可以使用數(shù)形結(jié)合法。cosxsin x 38sx 0 ,利用直線的斜率解題。sin x 312x例18:求函數(shù)y1-2-的值域。yx12解：由yx1 2解得2x2x1y2x0,-0,1y11y，函數(shù)y1 2x1 2x的值域?yàn)?1,1)。九、圖像法(數(shù)形結(jié)合法) :其題型是函數(shù)解析式具

12、有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，例19：求函數(shù)y |x 3| x 51的值域。2x 2 (x解： y |x 3| |x 5|8( 32x 2 (x. . y |x 3| | x 5 |的圖像如圖所示，)由圖像知：函數(shù)y |x 3|x 5|的值域?yàn)?,例20.求函數(shù)y ,：(x 2)2(x 8)2的值域。B PAI!E» -802解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：y | x 2| |x 8|上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn) P (x)到定點(diǎn)A (2) , B( 8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn) P在線段AB上時(shí)，y |x 2| | x 8| |AB| 10當(dāng)點(diǎn)P在

13、線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí),y |x 2| |x 8| | AB| 10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0,例21.求函數(shù)yJx26x13&4x5的值域。解：原函數(shù)可變形為：y.(x3)2(02)2,(x2)2(01)2上式可看成x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(2,1)的距離之和,由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，ymin|AB|整2)2(21)2/3,故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?43例22.求函數(shù)y&26x13jx24x5的值域。解：將函數(shù)變形為：y：(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可看成定點(diǎn)A(3,2)到點(diǎn)P(x,0)的距離與定點(diǎn)B(2,1)到點(diǎn)P(x,

14、0)的距離之差。即：y|AP|BP|由圖可知：(1)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P1,則構(gòu)成ABP,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有|ap'|BP'111AB|132)2(21)226即：26y.26(2)當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有|ap|BP|AB|J26綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?J26J26|八(3,2)P尸'K3sinx例23、：求函數(shù)y3sinx的值域.2cosxy2y1分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式k將原x2Xi函數(shù)視為定點(diǎn)(2,3)到動(dòng)點(diǎn)(cosx,sinx)的斜率，又知?jiǎng)狱c(diǎn)(co

15、sx,sinx)滿足單位圓的方程，從而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)(2,3)到單位圓連線的斜率問(wèn)題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)取得，從而解得：點(diǎn)評(píng)：本題從函數(shù)本身的形式入手，引入直線的斜率，結(jié)合圖形，從而使問(wèn)題得到巧解。0,v 。，u2 v2 2, u v y,例24.求函數(shù)y、：1xJX的值域。分析與解答：令uJix,v11X,則u原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)直線uvy與圓u2v22在直角坐標(biāo)系uov的第一象限有公共點(diǎn)時(shí)，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當(dāng)uvy經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,J2)時(shí)，yminJ2；2當(dāng)直線與圓相切時(shí)，ymaxodJ2OCJ22。所以：值域?yàn)?y2十：不等式法：利用基本不等

16、式ab2/ab,abc33/abc(a,b,cR)，求函數(shù)的取值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過(guò)有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例25.求函數(shù)y(sjnx二一)2(cosx)24的值域。sinxcosx解：原函數(shù)變形為:12cos x22、1y(sinxcosx)-2-sinx221 cesxsecx3 tan2xcot2x4 2.tan2xcot2x當(dāng)且僅當(dāng)tanxcotx即當(dāng)xk時(shí)(kz),等號(hào)成立4故原函數(shù)的值域?yàn)椋?,)例26.求函數(shù)y2sinxsin2x的值域。解：y4sinxsinxcosx4sin2xcosxy16sin4xcos2x_22_28sinxsinx(22sinx)8(sin2xsin2x22sin2x)/336427當(dāng)且僅當(dāng)sin2x22sin2x，即當(dāng)sin2x2時(shí)，等號(hào)成立。3由y2 64可得:278x3V y8,39故原函數(shù)的值域?yàn)?8,3 8.39 , 9*十一、多種方法綜合運(yùn)用：例27.求函數(shù)y -x 2的值域。y x 3解：令 t Vx 2(t 0)，則 x 3 t2 1t 11(1)當(dāng)t 0時(shí)，y n 1 a，當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即x t -t(2)當(dāng) t=0 時(shí)，y=0。1時(shí)取等號(hào)，所以0 y2綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?1