求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法、累加法1適用于：anAaAf(n)這是廣義的等差數(shù)列累加法是最基本的二個(gè)方法之一2. 解題步驟：若an1-an二f(n)(n_2),a2_aA-f(1)*3a?=f(2)則32')IIIIIIan1-an=f(n)n兩邊分別相加得and-aAf(n)kA例1已知數(shù)列an滿足an1an?2nT,2八1,求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。解：由ani=an2n1得an勺-an=2n1則an=(an-an)(an4-an_2)IH(a3-a2)(a2-a1)a1=2(n1)12(n2)1|l|(221)(211)1=2(n-1)(n-2)I1|21(n-1)1=2此加(n-1)

2、12=(n-1)(n1)12二n2所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a*=n練習(xí)？已知數(shù)列滿足內(nèi)二3an = an41(n-2)n(n-1)，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式1an=2答案：裂項(xiàng)求和n數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng)評(píng)注：已知a1 = %1 -弘=f(n),其中an血 ) 可以是關(guān)于n 的一次函數(shù)、二次函若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。、累乘法1.適用于：anf(n)an這是廣義的等比數(shù)列，累乘法是最基本的二個(gè)方法之2?解題步

3、驟:若空二f(n),則克二f(1)，冬二f(2),|(川,也二f(n)anala2ann兩邊分別相乘得,例2已知數(shù)列ann1二印|f(k)alk4滿足an1=2(n?1)5na.,a”，求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。a解：因?yàn)閍ni=2(n1)5na.,aA3,所以a.=0,則-=2(n1)5n，故ananann|%a2?anaananJ2a2ai二2(n11)5A2(n21)5nJI|2(21)522(11)513=2叫n(n_1)325(22"213n(n4n-12.=3252n!n(n-4)所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=32n452nL練習(xí).已知an1二nan?nT，a1一1,求數(shù)列伽

4、的通項(xiàng)公式答案：an=(n-1)!佝+1)4評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來(lái)的遞推關(guān)系式an1二nann1,轉(zhuǎn)化為有11=n(an1)'若令bn=an則問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為bn”二nbn形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式三、待定系數(shù)法適用于an.1二qanf(n)個(gè)函數(shù)?；舅悸肥寝D(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一can*d,(cH0,其中ai=a)型(1)若c=1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)列(2)若d=0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列(3)若 c"且 d = 0時(shí)，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列求.解題步驟：設(shè)an卅十扎=c(

5、an+>0,得an*=can+(c1)九，與題設(shè)an,1二can?d,比較系“n二)土心0),所以有：數(shù)得(c-,扎,所以因此數(shù)列所以例3已知數(shù)列anancan解：；&=2an4+c-1d+構(gòu)成以c-1(a1d)cnJc1中，al=1,an=2and1(n1(n-2),.a.1為首項(xiàng)，以C為公比的等比數(shù)列，/dnJan=(a1)c即：c12),求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式。2和1)又：&V=2,.'an-V是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列?anc-1八2n,即a八2n1±1練習(xí).已知數(shù)列an中，a1=2，an八2an2,求通項(xiàng)ann-Aan答案:(2)0,1)若P

6、 "時(shí),即：an 1P久q ,2?形如：九1（其中q是常數(shù)，且n=若p=1時(shí)，即：and=anq,累加即可.求通項(xiàng)方法有以下三種方向：n+i.兩邊同除以p?目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即：p（衛(wèi)）nq,然后累加求通項(xiàng)？ii.兩邊同除以目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即：qan1n：1an1qnbn睥令q,則可化為bn1q,然后轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法第一種情況來(lái)解。iii.待定系數(shù)法:列目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)n1設(shè)an1q-p(anp;通過(guò)比較系數(shù),n求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時(shí)，要求p=q,否則待定系數(shù)法會(huì)失效。例4已知數(shù)列滿足an1=2an3，aA求數(shù)列0J的

7、通項(xiàng)公式。比較系數(shù)得、解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)務(wù)則數(shù)列?n二3是首項(xiàng)為a一43八5,公比為2的等比數(shù)列，所以43n_1n_1一5'2,即務(wù)=43n1一52解法二（兩邊同除以q）：兩邊同時(shí)除以3得:33n.j432,下面解法略解法三（兩邊同除以p）pn十:兩邊同時(shí)除以2得:am_包42n12n3(2)3n,下面解法略3?形如an.1pan?kn?b（其中幼是常數(shù)，且k=0）待定系數(shù)法解題步驟：通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為(an?Xn?y)=p(an八X(n-1)y);'K* 的通項(xiàng)公式。X、y；解得數(shù)列（anxny）的通項(xiàng)公式；得數(shù)列例5 .在數(shù)列 &中,3 ai2,2a八一2川=6

8、n '3 a求通項(xiàng)an. （待定系數(shù)法 ）解：原遞推式可化為2（anxn?y）8nx（n-iry比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為2bn=bn八b所以bn'是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)bi=ai6n+9=；2，公比為2。91n_l5=二(二)22an -6n 91n=9()21nan=9()6n-92練習(xí)在數(shù)列an中，al=1，an八3an2n，求通項(xiàng)嘰（逐項(xiàng)相減法）解：an卅=3an+2n,n八2時(shí)，an=3an/+2(n1),bn =an 卅 一 an ，則bn = 3bn + 2兩式相減得an卅an=3(ananJ)+2令知bn=53n42即an1-an=5-3n4-15n

9、-lan=3再由累加法可得2n25an=3亦可聯(lián)立解出2n-1n24?形如an八PananbnC（其中a,b,c是常數(shù)，且a=0）基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個(gè)函數(shù)。2例6已知數(shù)列an滿足an1-2an'3n?4n?5,a八1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2解：設(shè)an1'x(n1)y(n1)z=2(anxnynz)比較系數(shù)得x=3,y=10,z=18,所以an彳3(n1)210(n1)18=2(an3n210n18)22由a3110118=131=32=0，得an3n10n18八02則an13(n1210(nD18=2,故數(shù)列an3n210

10、n18為以an3n10n182a131101*18=1*31=32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此an3n210n18=322n-,則an=2n4-3n2-10n-18o5.形如anpan1qan時(shí)將a作為f(n)求解分析：原遞推式可化為an2?an1=(P?(anan)的形式，比較系數(shù)可求得？，數(shù)列fanan?為等比數(shù)列。例7已知數(shù)列an,滿足an2=5an1-6如？=-1?=2,求數(shù)列n的通項(xiàng)公式。解.設(shè)an2'an1=(5')(an1'an)比較系數(shù)得=-3或二-2，不妨取=-2,(取-3結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同)則an2-2an3(%1-細(xì))，則aV-2a

11、n是首項(xiàng)為4,公比為3的等比數(shù)列nnJnAan+-2an=43所以a八4352練習(xí)數(shù)列中，若a1=8，a2二2,且滿足有吃一4有1'3an=°,求an答案:an=113n四、不動(dòng)點(diǎn)法目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列的方法不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在f(x)x(TD,使f(x0)=X。成立，則稱X。為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)或稱(Xo,f(Xo)為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)分析：由f(x)二X求出不動(dòng)點(diǎn)X0,在遞推公式兩邊同時(shí)減去X0,再變形求解。類型一：形如an.1二qan?d例8已知數(shù)列an中，aA1,aA2anj-1(n_2)，求數(shù)列：a/?的通項(xiàng)公式。解：遞推關(guān)

12、系是對(duì)應(yīng)得遞歸函數(shù)為f(x)=2x?1,由f(x)=x得，不動(dòng)點(diǎn)為-1二an1A2(an1),類型二：形如an, = a anc ?ban +d分析：遞歸函數(shù)為f(x)二(1)若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q時(shí)，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn)p,q ,再將兩式相除得an十一P|,an-P甘中a_pc.小_(a1q_pq)k(a1pPq)k，其中k,-an百一an1qanqaqc(aA-p)k-*q)(2)若有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)p,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動(dòng)點(diǎn)p，然后用1除，得1an1一Pan一P5a+4尸43n)2例9.設(shè)數(shù)列an滿足a1=2,an1n，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(答案:an43nJ-1)2

13、an+7分析：此類問(wèn)題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t,得：an1t50t2an-7(2t5)an7t2an7-(2t5)an7t42t52an7令t=HA,解之得t=1,-22t+5代入an1t=(2t5)an-4得2an+7an1an12an72an相除得an，一1an十+2色A1,即旦匚1是首項(xiàng)為an2an2a<i-'1a1-2公比為1的等比數(shù)列，二1313a.+24解得an43心243n4-1.練習(xí).已知數(shù)列an滿足2,an1n(nN2a-1),求數(shù)列an4an+6*的通項(xiàng)an答案:135nan10n6五、對(duì)數(shù)變換法適用于apanr（其中p,r為常數(shù)）型

14、p>0,an0例10.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足1=1.n=2a篇（n»2）?求數(shù)列乩的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得log2n=12log；log；n+1=2(log2n"1),設(shè)bn=lOg:+1,則練習(xí)數(shù)列乩中,答案:an二2八、倒數(shù)變換法bn'是以2為公比的等比數(shù)歹U,log；n=2n,1；n=22心bibn=12心二2心,a1,an2-n2-2=2pan（n2）,求數(shù)列右n的通項(xiàng)公式.適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例1匕知數(shù)列an滿足an1二尹2"1,求數(shù)列an，的通項(xiàng)公式。解：求倒數(shù)得1.112anan1an2!為等差數(shù)列，!an-1anI首項(xiàng)±=1,公差為-,a12an 1七、階差法(逐項(xiàng)相減法)1、遞推公式中既有Sn,又有an1S,n=1分析：把已知關(guān)系通過(guò)an二轉(zhuǎn)化為數(shù)列或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的ISi-Si,n±2方法求解。1例12已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn(an1)(an-2),且a2,a4,a9成6等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。+1解：？?對(duì)任一1上nN有Sn(an1)(an2)6(1