求動點的軌跡方程

1、求動點的軌跡方程求動點的軌跡方程(例題，習題與答案)在中學數(shù)學教學和高考數(shù)學考試中，求動點軌跡的方程和曲線的方程是一個難點和重點內(nèi)容(求軌跡方程和求曲線方程的區(qū)別主要在于：求軌跡方程時，題目中沒有直接告知軌跡的形狀類型；而求曲線的方程時，題目中明確告知動點軌跡的形狀類型)。求動點軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、相關點法、參數(shù)法與交軌法等；求曲線的方程常用“待定系數(shù)法”。求動點軌跡的常用方法動點P的軌跡方程是指點P的坐標(x,y)滿足的關系式。1 .直接法(1)依題意，列出動點滿足的幾何等量關系；(2)將幾何等量關系轉(zhuǎn)化為點的坐標滿足的代數(shù)方程。例題已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C:

2、,動點M到圓C的切線長等與，求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.解：設動點M(x,y),直線MNI®圓C于N。依題意：，即而，所以MQMO(x-2)+y=x+y-1化簡得：x=。動點M的軌跡是一條直線。2 .定義法分析圖形的幾何性質(zhì)得出動點所滿足的幾何條件，由動點滿足的幾何條件可以判斷出動點的軌跡滿足圓(或橢圓、雙曲線、拋物線)的定義。依題意求出曲線的相關參數(shù)，進一步寫出軌跡方程。例題：動圓M過定點P(4,0),且與圓C:相切，求動圓圓心M的軌跡方程。解：設M(x,y),動圓M的半徑為r。xxM與圓C相外切，則有IM。=r+4xxM與圓C相內(nèi)切，則有IMCI=r-4而IMPI=r

3、,所以IMCI-IMPI=±4動點M到兩定點P(-4,0),C(4,0)的距離差的絕對值為4,所以動點M的軌跡為雙曲線。其中a=2,c=4。動點的軌跡方程為:4123.相關點法若動點P(x,y)隨已知曲線上的點Q(x,y)的變動而變動，且x、y可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程。這種方法稱為相關點法。例題：已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。解：設M(x,y),A(),依題意有：x=,y=則：x=2x-4,y=2y-3,因為點A()在圓上，所以(2x4)2(2y3)24點M的軌跡方程為：(x2)2

4、(y罰i動點M的軌跡為以(2,)為圓心，1為半徑的圓4.參數(shù)法例題：已知定點A(-3,0),MN分別為x軸、y軸xx的動點(MN不重合)，且，點P在直線MNxx。求動點P的軌跡C的方程。¥巾解：設N(0,t),P(x,y)直線AN的斜率，因為，所以直線MN勺斜率直線MN勺方程為y-t=,令y=0得x=,所以點M(,0)由，得x=),y-t=,貝Uxt2y2t所以動點P的軌跡方程為：5.交軌法例題：如圖，在矩形中，分別為四邊的中點，且都在坐標軸上，設。求直線與的交點的軌跡的方程。解：設，由已知得，則直線的方程為，直線的方程為，即y+2=y-2=-兩式相乘，消去即得的軌跡的方程為.練習與

5、答案1 .設圓C與圓x2+(y.3)2=1外切，與直線y=0相切，則C的圓心軌跡為AA.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓2 .已知圓，圓，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。2L 112(x>0)3 .過點A(4,0)作圓O：x+y2=4的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡。(x-2)+y=4(0<x<1)求動點的軌跡方程4. 已知圓C：+（y-4）=1,動點P是圓外一點，過P作圓C的切線，切點為M，且|PM|=|P0|（O為坐標原點）。求動點P的軌跡方程。提示：|P0|=IPM|=3x+4y-12=05. 已知圓，圓，動點到圓,上點的距離的最小值相等.求點的軌跡方

6、程。解：動點P到圓C的最短距離為IPC|-1,動點P到圓C的最短距離為|PC|-1,依題意有：IPC|-1=|PC|-1,即IPC|=|PC|所以動點P的軌跡為線段CC勺中垂線。所以動點P的軌跡方程為：2x+y-5=06. 已知雙曲線的左、右頂點分別為,點P（），Q（）是雙曲線上不同的兩個動點。求直線與交點的軌跡E的方程。解：由為雙曲線的左右頂點知，兩式相乘，因為點在雙曲線上，所以，即，故，所以，即直線與交點的軌跡的方程為7.已知曲線與直線交于兩點和，且.記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為.設點是上的任一點，且點與點和點均不重合.若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方

7、程。解：（1）聯(lián)立與得，則中點，設線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，中點的軌跡方程為（）.8 .已知點C（1,0）,點A、B是。Q上任意兩個不同的點，且滿足，設P為弦AB的中點。求點P的軌跡T的方程。解：連結(jié)CP,由，知ACLBC.|CP|=|AP|=|BP|=,由垂徑定理知設點P(x,y),有化簡，得到。9 .設橢圓，過點的直線交橢圓于AB,O為坐標原點，點P滿足，當繞著M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程。解：直線過點，設其斜率為k，則直線的方程為，記，由題設可得點A、B的坐標是方程組的解，其方程組中消取得點P的坐標為即：點P為，設點P為

8、，則P點的軌跡參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)得：當斜率不存在時，A、B的中為原點（0，0）也滿足上述方程，故：動點P的軌跡方程為。10 .設圓C與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切。求圓C的圓心軌跡L的方程。解：兩圓半徑都為2,設圓C的半徑為R,兩圓心為、，由題意得或，可知圓心C的軌跡是以為焦點的雙曲線，設方程為，則,所以軌跡L的方程為.11 .如圖所示，已知P(4,0)是圓內(nèi)的一點。AB是圓上兩動點,且滿足，求矩形APBQ勺頂點Q的軌跡方程.解：設R(x,y),依題意，有IOR+|RA|=36，而|RA|=|RP|,所以|OR+|RP|=36,即x2y2(x4)2y236化簡得：設Q(X,Y),因為

9、R(x,y)是QP的中點，所以有x=,y=,故化簡得：X12 .在平面直角坐標系中，直線交軸于點A,設是上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足/MPO=AOP當點P在上運動時，求點M的軌跡E的方程。解：如圖1,設MQ線段OP的垂直平分線，交。阡點Q,求動點的軌跡方程QMPQAOP,MP1,且|MO|MP|.因此即另一種情況，見圖2（即點M和A位于直線OP的同側(cè)）MQ線段OP的垂直平分線,MPQMOQ.又因此M在軸上，止匕時，記M的坐標為為分析的變化范圍，設為上任意點由（即）得，x1-a21.4故的軌跡方程為4(x1),x1,0,x1.13.點M是橢圓上的動點。如圖，點的坐標為，是圓上的點，是點在軸上的射影，點滿足條件：，=0,