五種常見(jiàn)小波基函數(shù)及其matlab實(shí)現(xiàn)

1、與標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉變換相比，小波分析中使用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù) 具有多樣性。小波分析在工程應(yīng)用中，一個(gè)十分重要的問(wèn)題就是最優(yōu)小波基的選擇問(wèn)題，因?yàn)橛貌煌男〔ɑ治鐾粋€(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前我們主要是通過(guò)用小波分析方法處理信號(hào)的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來(lái)判定小波基的好壞，由此決定小波基。常用小波基有Haar小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet小波、Meyer小波等。l Haar小波Haar函數(shù)是小波分析中最早用到的一個(gè)具有緊支撐的正交小波函數(shù)，也是最簡(jiǎn)單的一個(gè)小波函數(shù)，它是支撐域在范圍內(nèi)的單個(gè)矩形波。Haar函數(shù)的定義如下

2、：Haar小波在時(shí)域上是不連續(xù)的，所以作為基本小波性能不是特別好。但它也有自己的優(yōu)點(diǎn):1. 計(jì)算簡(jiǎn)單。2. 不但與正交，而且與自己的整數(shù)位移正交，因此，在的多分辨率系統(tǒng)中，Haar小波構(gòu)成一組最簡(jiǎn)單的正交歸一的小波族。的傅里葉變換是：Haar小波的時(shí)域和頻域波形phi,g1,xval = wavefun('haar',20);subplot(2,1,1);plot(xval,g1,'LineWidth',2);xlabel('t')title('haar 時(shí)域');g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,1

3、,2);plot(g3,'LineWidth',2);xlabel('f')title('haar 頻域')l Daubechies(dbN)小波Daubechies小波是世界著名的小波分析學(xué)者Inrid·Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，簡(jiǎn)寫(xiě)為dbN，N是小波的階數(shù)。小波和尺度函數(shù)中的支撐區(qū)為，的消失矩為。除（Harr小波）外，dbN不具有對(duì)稱(chēng)性（即非線性相位）。除（Harr小波）外，dbN沒(méi)有明確的表達(dá)式，但轉(zhuǎn)換函數(shù)h的平方模是明確的:令，其中為二項(xiàng)式的系數(shù)，則有其中：Daubechies小波具有以下特點(diǎn)：1. 在時(shí)域是有限支撐的

4、，即長(zhǎng)度有限。2. 在頻域在處有N階零點(diǎn)。3. 和它的整數(shù)位移正交歸一，即。4. 小波函數(shù)可以由所謂“尺度函數(shù)”求出來(lái)。尺度函數(shù)為低通函數(shù)，長(zhǎng)度有限，支撐域在的范圍內(nèi)。db4的時(shí)域和頻域波形：phi,g1,xval = wavefun('db4',10);subplot(2,1,1);plot(xval,g1,'LineWidth',2);xlabel('t')title('db4 時(shí)域');g2=fft(g1);g3=abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,'LineWidth',2);xl

5、abel('f')title('db4 頻域')Daubechies小波常用來(lái)分解和重構(gòu)信號(hào)，作為濾波器使用:Lo_D,Hi_D,Lo_R,Hi_R = wfilters('db4'); %計(jì)算該小波的4個(gè)濾波器subplot(2,2,1); stem(Lo_D,'LineWidth',2);title('分解低通濾波器');subplot(2,2,2); stem(Hi_D,'LineWidth',2);title('分解高通濾波器');subplot(2,2,3); stem(L

6、o_R,'LineWidth',2);title('重構(gòu)低通濾波器');subplot(2,2,4); stem(Hi_R,'LineWidth',2);title('重構(gòu)高通濾波器');l Mexican Hat(mexh)小波Mexican Hat函數(shù)為Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：因?yàn)樗男螤钕衲鞲缑钡慕孛妫砸卜Q(chēng)為墨西哥帽函數(shù)。Mexihat小波的時(shí)域和頻域波形：d=-6; h=6; n=100;g1,x=mexihat(d,h,n);subplot(2,1,1);plot(x,g1,'LineWidth'

7、,2);xlabel('t');title('Mexihat 時(shí)域');g2=fft(g1);g3=(abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,'LineWidth',2);xlabel('f');title('mexihat 頻域');Mexihat小波的特點(diǎn)：1. 在時(shí)間域與頻率域都有很好的局部化，并且滿足。2. 不存在尺度函數(shù)，所以Mexihat小波函數(shù)不具有正交性。l Morlet小波它是高斯包絡(luò)下的單頻率副正弦函數(shù)：其中C是重構(gòu)時(shí)的歸一化常數(shù)。Morlet小波沒(méi)有尺度函數(shù)，而且是非正交

8、分解。Morlet小波的時(shí)域和頻域波形圖：d=-6; h=6; n=100;g1,x=morlet(d,h,n);subplot(2,1,1);plot(x,g1,'LineWidth',2);xlabel('t');title('morlet 時(shí)域');g2=fft(g1);g3=(abs(g2);subplot(2,1,2);plot(g3,'LineWidth',2);xlabel('f');title('morlet 頻域');l Meyer小波1. Meyer小波不是緊支撐的，但它收斂的速度很快2. 無(wú)限可微Meyer小波的時(shí)域和頻域波形圖：d=-6; h=6; n=128;psi,x=meyer(d,h,n,'psi');subplot(2,1,1);plot(x,psi,'LineWidth',2);xlabel('t');title(&#