求解偏微分方程三種數(shù)值方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)值模擬偏微分方程的三種方法介紹（有限差分方法、有限元方法、有限體積方法）I三者簡(jiǎn)介有限差分方法（Finite Difference Methods）是數(shù)值模擬偏微分方程最早采用的方法，至今仍被廣泛使用。該方法包括區(qū)域剖分和差商代替導(dǎo)數(shù)兩個(gè)步驟。首先將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解區(qū)域。其次，利用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)等方法將偏微分方程中的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上用函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知量的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問(wèn)題變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡(jiǎn)單，是發(fā)展較早且十分成熟的數(shù)值方法。差商代替

2、導(dǎo)數(shù)后的格式稱為有限差分格式，從格式的精度來(lái)考慮，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間離散形式來(lái)考慮，有中心格式和迎風(fēng)格式。對(duì)于瞬態(tài)方程，考慮時(shí)間方向的離散，有顯格式、隱格式、交替顯隱格式等。目前常見(jiàn)的差分格式，主要是以上幾種格式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的大小一般根據(jù)問(wèn)題模型和Courant穩(wěn)定條件來(lái)決定。有限元方法（Finite Element Methods）的基礎(chǔ)是虛位移原理和分片多項(xiàng)式插值。該方法的構(gòu)造過(guò)程包括以下三個(gè)步驟。首先，利用虛位移原理得到偏微分方程的弱形式，將計(jì)算區(qū)域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元（三角形、四邊形、四面體、六面

3、體等），在每個(gè)單元上選擇合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將偏微分方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的分片插值基函數(shù)組成的線性表達(dá)式，得到微分方程的離散形式。利用插值函數(shù)的局部支集性質(zhì)及數(shù)值積分可以得到未知量的代數(shù)方程組。有限元方法有較完善的理論基礎(chǔ)，具有求解區(qū)域靈活（復(fù)雜區(qū)域）、單元類型靈活（適于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格）、程序代碼通用（數(shù)值模擬軟件多數(shù)基于有限元方法）等特點(diǎn)。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展已經(jīng)滲透到計(jì)算物理、流體力學(xué)與電磁學(xué)等各個(gè)數(shù)值模擬領(lǐng)域。根據(jù)所采用的檢驗(yàn)函數(shù)（虛位移函數(shù)）和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從檢驗(yàn)函數(shù)的選擇來(lái)說(shuō)，有

4、配置法、最小二乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來(lái)劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多面體網(wǎng)格等，從插值函數(shù)的精度來(lái)劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為（1）建立積分方程，根據(jù)虛位移原理或方程余量，建立與微分方程初邊值問(wèn)題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。（2）區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問(wèn)題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐植捎糜邢拊椒ǖ那疤幚硗瓿?，并給出計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)相互之間的關(guān)系、節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出問(wèn)題的邊界的節(jié)點(diǎn)號(hào)和相應(yīng)的邊值條件。（

5、3）確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元的形函數(shù)。有限元方法中的形函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取形函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。（4）單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元形函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值)的單元矩陣與荷載。（5）總體合成：在得出單元矩陣與荷載之后，將區(qū)域中所有單元矩陣與荷載按一定法則進(jìn)行迭加，形成總體有限元方程。（6）邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(Dirichlet邊界條件 )、

6、自然邊界條件(Neumann邊界條件)、混合邊界條件(Cauchy邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則后對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正。（7）解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，采用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程組求解器，求出各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列互不重疊的控制體，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體；將待求解的微分方程對(duì)每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。該方法的未知量為網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值。為了求出控制體積的積分，須假定函數(shù)值在網(wǎng)格

7、點(diǎn)控制體邊界上的變化規(guī)律。從積分區(qū)域的選取方法來(lái)看，有限體積法屬于有限元方法中檢驗(yàn)函數(shù)取分片常數(shù)插值的子區(qū)域法；從未知量的近似方法看來(lái)，有限體積法屬于采用局部近似多項(xiàng)式插值逼近。有限體積法的基本思路易于理解，能夠保持物理量在控制體上的守恒性質(zhì)，也即離散方程保持了微分方程物理量在控制體滿足某種守恒原理的物理意義。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。此外，在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分，因此可以對(duì)微分方程中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。II三者各有長(zhǎng)短有限差分方法直觀，經(jīng)驗(yàn)豐富，格式眾多。但是不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣，雖然網(wǎng)格生成可以使FDM應(yīng)用于不規(guī)則區(qū)域，但是對(duì)區(qū)域的形狀有較大的限制，并且使用不方便，F(xiàn)DM是三種方法中計(jì)算量最少的一種，并且易于編程。有限元方法適合處理復(fù)雜區(qū)域和